基于模型簡化法的含有隨機時延的多智能體系統(tǒng)一致性研究

張弘燁，彭世國

（廣東工業(yè)大學 自動化學院，廣東 廣州 510006）

近年來隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，多智能體協(xié)調(diào)控制問題引起了社會各界越來越多的關(guān)注[1-3]，在分布式編隊控制[4]、神經(jīng)系統(tǒng)穩(wěn)定控制[5]、脈沖控制[6]等領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用. 多智能體系統(tǒng)一致性是協(xié)調(diào)控制的重要組成部分. 多智能體一致性指的是系統(tǒng)中所有智能體的信息最終趨于相同. 為實現(xiàn)多智能體的一致性，需要設(shè)計出能使各個智能體相互交換彼此信息從而實現(xiàn)所有智能體信息最終趨于相同的規(guī)則，即一致性協(xié)議.

目前，在多智能體系統(tǒng)一致性問題的研究中，許多學者已經(jīng)取得了豐碩的成果. Vicsek等[7]從統(tǒng)計學角度出發(fā)，建立了經(jīng)典離散時間模型. Olfati等[8]則對無向聯(lián)通并且權(quán)值對稱的多智能體系統(tǒng)進行研究，認為只要系統(tǒng)強聯(lián)通，則多智能體系統(tǒng)就能實現(xiàn)一致性. 而Ren等[9]在文獻[8]的基礎(chǔ)上得到了有向拓撲的多智能體系統(tǒng)收斂條件.

然而在實際應(yīng)用中，系統(tǒng)不可避免地遇到各種外界影響，例如網(wǎng)絡(luò)堵塞或者其他因素等，造成通信延遲，從而導(dǎo)致智能體之間的信息傳遞存在一定時延. 針對這種現(xiàn)象，文獻[10-13]對含有時延的多智能體系統(tǒng)一致性進行了廣泛研究. 由于環(huán)境的復(fù)雜性，多智能體系統(tǒng)中智能體之間輸入時延隨機存在更具有普遍性. 本文受文獻[14]的啟發(fā)，研究系統(tǒng)中存在隨機時延的情形. 文獻中對含有時延的多智能體系統(tǒng)的分析一般利用線性矩陣不等式給出系統(tǒng)一致性的條件，但線性矩陣不等式法計算量大且復(fù)雜，不便于分析含有隨機時延的多智能體系統(tǒng). 本文將采用文獻[15]提出的模型簡化法對含有隨機時延的的多智能體系統(tǒng)的一致性進行討論.

1 預(yù)備知識

1.1 圖論

令G(ν，ε，A)表示具有n個節(jié)點的有向圖，ν={ν1，ν2，···，νn}表示圖G 頂點集，ε?ν×ν表示圖G 邊集，A=[aij]表示圖G 的鄰接矩陣，若存在由節(jié)點νi到νj的有向邊 eij∈ε，則aij＞0，否則 aij=0. 令矩陣D=diag{di，i=1，2，···，n}，其中為節(jié)點i的出度，則Laplacian矩陣L可定義為L=D-A.

假設(shè)1 Laplacian矩陣的0特征值是一個單一特征值.

對于網(wǎng)絡(luò)連接，這個情形代表了這個網(wǎng)絡(luò)存在一個生成樹從而連接任意兩個子系統(tǒng)，對于一致性協(xié)議的設(shè)計，只需考慮0特征值是單一特征值[16].

1.2 模型

本文考慮具有n個智能體的一階多智能體系統(tǒng)，智能體之間的拓撲圖用圖G 表示，每個智能體可看作圖G 的一個節(jié)點，且滿足以下動態(tài)方程

其中xi表示智能體 i的狀態(tài)，ui則表示控制輸入，A,B表示常數(shù)可控矩陣，h＞0表示系統(tǒng)輸入時延，同時為了表征系統(tǒng)時延可能存在也可能不存在，引入變量δ(t)，當δ(t)=1時表示系統(tǒng)不存在時延，而δ(t)=0表示系統(tǒng)存在時延，其中δ(t)滿足如下分布變換：

引理1 一個含輸入時延的系統(tǒng)：

令

則原系統(tǒng)(3)穩(wěn)定性與如下系統(tǒng)(5)相同,

證明

對系統(tǒng)(3)，提出以下控制器如果控制器(7)能使得系統(tǒng)(5)達到穩(wěn)定，則原系統(tǒng)(3)也能用相同控制器達到穩(wěn)定[17-18].

引理2[16]如果Laplacian矩陣L只含有一個0特征值，其余特征值均大于0，則存在一個相似變換T，同時T的第一列T(1)=?, ? =[1，···，1]T使得

當Jk∈ Rnk×nk, k =2，3，···，p ，是Jordan塊中的nk重實數(shù)特征值λk＞ 0的形式，即

I2是R2×2的單位矩陣且

2 主要結(jié)果

根據(jù)引理1，對多智能體系統(tǒng)(1)，使用變換(4)作簡化. 令

則系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)化為

針對簡化后的系統(tǒng)(10)，采用如下控制協(xié)議

其中，K表示控制增益.

定理1 當控制增益K滿足

系統(tǒng)(1)可達到一致性.

證明 令

則系統(tǒng)(10)可寫成

定義 r∈RN為矩陣L的0特征值對應(yīng)的左特征值向量，即rTL=0，同 時 使 之 單 位 化 ，即 rT?=?,? =[1，···，1]T. 從 引 理2可 知 存 在 矩 陣T使 得T-1LT=J.

定義

此時 M=IN-?rT. 由于 rT?=?即 M?=0，因此系統(tǒng)(13)的穩(wěn)定性相當于e=0，因為此時相當于y1=y2= ···=yN，則一致性問題轉(zhuǎn)化成了系統(tǒng)穩(wěn)定性問題.

定義

則

根據(jù)轉(zhuǎn)化式(14)和(17)，

因此只需要證明 σi收斂到0，則可以證明一致性可達成基于laplacian矩陣的結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)

同時，n1=1, Nq=N，且k =2，3，···，q.

當Jk為實數(shù)特征值，即 2≤k≤p ，

當Jk為復(fù)數(shù)特征值，即k＞p，可考慮一對動態(tài)狀態(tài)方程，為方便，讓

則當 j=1，2，···，nk/2-1，σi1(j)和σi2(j)的動態(tài)方程為

當 j=nk/2,

對于系統(tǒng)(8)構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

當i=Nk，V的導(dǎo)數(shù)為

對等式兩邊求解期望，

存在某個K值使得(9)恒成立. 由于 P＞0，即需要

所以

對兩邊求期望

存在某個K值使得式(33)恒成立. 由于 P＞0，即

所以

因此結(jié)合式(28)、式(30)、式(34)和式(36)，只要滿足

多智能體系統(tǒng)(1)可達到一致性.

3 仿真驗證

如圖1所示，假設(shè)多智能體系統(tǒng)拓撲圖包含以下4個節(jié)點，分別記作節(jié)點1、2、3、4，令A(yù)=1，B=3任意選擇初始狀態(tài) x1(0)=-20， x2(0)=-5， x3(0)=15，x4(0)=30， δ=0.8，時延h=0, 03，各智能體連接權(quán)重為1.

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)拓撲圖Fig.1 Topology of MAS

根據(jù)該拓撲圖可寫出Laplacian矩陣L，

可求得最小非0特征值 λ=0.5858,

代入式(12)可得K ＞0.5724.

圖2 K=1各智能體之間誤差曲線Fig.2 The status errors of subsystems with K=1

圖3 K=0.562各智能體之間誤差曲線Fig.3 The status errors of subsystems with K=0.562

當K=0.582略大于臨界值，如圖4所示. 可以看出當K值大于臨界值時，各智能體誤差曲線呈收斂趨勢，經(jīng)過一定時間能夠收斂于0，各智能體能夠達到一致性.

4 結(jié)束語

本文研究了一階含隨機時延的多智能體一致性問題，并通過模型簡化法，引入一個新變量，將原本含有時延的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個不含時延的系統(tǒng)，并提出一個一致性算法，使用Lyapunov函數(shù)，找出多智能體系統(tǒng)在這個算法下達到一致的充分必要條件. 最后給出模型仿真，驗證出這個結(jié)論的正確性以及通過模型簡化法對含有隨機時延的多智能體系統(tǒng)分析的可行性.

圖4 K=0.582各智能體之間誤差曲線Fig.4 The status errors of subsystems with K=0.582