全空間?N上的漸近線性Schr?dinger方程

朱亞杰，朱紅波

（廣東工業(yè)大學 應用數(shù)學學院，廣東 廣州 510006）

本文的研究動機來自于尋找以下非線性Schr?dinger方程的駐波其中 ψ(x，t)：RN×[0，+∞)→ C，且對所有的. 方程(1)出現(xiàn)在許多物理應用中. 例如，在非線性光學、等離子體物理和凝聚態(tài)物理中出現(xiàn)的一些問題中，許多粒子的存在導致人們考慮用非線性項來模擬它們之間的相互作用.

對于方程(1)，筆者感興趣的是尋找它的穩(wěn)態(tài)解，即ψ(x，t)=u(x)eiωt，其中u (x)＞0,ω ＞0(頻率)，易推導出函數(shù)u (x)滿足下列方程

在本文中，將討論如下帶有一般非線性項的非線性方程

當位勢函數(shù) V(x)是一個常數(shù)或當| x|→ ∞時極限存在，非線性項 f(x，t)關于t在無窮遠處漸近線性時，關于方程(3)存在性和多解性結論有很多，具體可見文獻[1-7]. 但是在這些文獻中， f(x，t)關于t在原點超線性，即當 t→0時， f(x，t)→ 0，并且q (x)是一個常數(shù)或f(x，t)≡ f(t). 本文的結果推廣了文獻[8]中的部分結論，在文獻[8]中位勢 V(x)=λ ＞0, f (x，t)關于 x是徑向對稱，即 f(x，t)=f(|x|，t)，并且當t ≥0時， f(|x|，t)單調非減，這兩個條件的假設對文獻[8]中結論的證明都起著至關重要的作用.

本文的結構如下. 在第1節(jié)中，類似于文獻[8]，定義：

(消失)對所有的R ＞0，

本文證明了這兩種情況都不可能發(fā)生，這樣就導出矛盾. 最后，文證明了有界序列收斂到能量泛函I的非平凡的臨界點. 通常有兩種方法可以得到這種收斂性. 一種是要證明方程(3)對應的能量泛函與該方程在無窮遠的方程的能量泛函之間存在嚴格的大小關系. 但是，這種方法通常要求在 f(x，t)關于t 是單調非減；另一種方法是利用伸縮變換t →u(x/t)，這種方法通常處理自治問題有效，而對于本文中的非自治情況，這種處理技巧在這里不起作用.

為了避免證明過程中使用集中緊致原理的技術性的麻煩，受到文獻[9-10]的啟發(fā)，本文采用了一種較簡單清晰的方法證明了有界序列{ un}的收斂性.

在本文中，假設 f，V 滿足下列條件：

(V1)并且對所有的，

(V2)，并且對所有的

(F1)f(x，t)∈并且存在0≤ p(x)≤，使得一致成立.

(F2)對任意的

(F3)對所有的使得

主要結果如下:

設p，q滿足

其中

記號：在本文中，字母C 和Ci表示正常數(shù).

BR(y)是球

1 變分泛函的性質

由( V1)和 (V2)可知的標準范數(shù)等價. 在條件( F1)和( F2)下，可以證明 I滿足山路幾何條件.

引理1 設 E 是一個實的Banach空間， E?是其對偶空間，

滿足

這里

引理1的證明可參見文獻[11]或[12]中的第4章.帶有式(8)的這種序列通常叫做臨界值處的序列，簡記為. 顯然序列也是通常的序列.

為了應用上述山路定理，下述引理中等價范數(shù)的引入是有必要的.

定義

這里由式(9)可知，

這就意味著

證明 為了證明這個引理，結合文獻[6, 13]中的的一些想法. 令由可知關于一致成立. 由式(10)，存在使得對所有的，，

證明 這個引理的證明與文獻[13]中引理4.2的證明類似. 為了完整起見，本文在這里給出了完整的證明.

這樣，由式(14—15)和控制收斂定理，

所(以，當時，，那么存在，使得.

其中

證明這兩種情況都不可能發(fā)生.

這樣

特別地，

于是

由式(21)和式(26)，有

因為

由式(21)～(23)可知，對所有的φ ∈C0∞，

且

使得

由強極值原理可得

而且，

顯然，

接下來，證明

因此，

3 主要結果的證明

因為

這樣，

且

因此，

因此，式(51)得證.

即

取φ =u-=min{0，u}，可以看出

證明定理2 令