一個(gè)新型四維混沌系統(tǒng)的構(gòu)造與應(yīng)用

盧輝斌，薛 瑤，趙 玲，孫海艷

(1.燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 河北省信息傳輸與信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004；3.河北建材職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，河北 秦皇島 066004)

0 引言

混沌具有的混合特性與密碼學(xué)中的擴(kuò)散和混亂存在一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系[1]。并且，混沌系統(tǒng)所具有的特殊特性，如對(duì)初始值的敏感性、較強(qiáng)的偽隨機(jī)特性、長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性等[2]，使混沌在密碼學(xué)中廣泛應(yīng)用，保證了加密信息的安全。一個(gè)有效的加密算法要想抵御窮舉攻擊[3]，必須對(duì)密鑰有極端的敏感性，并且有足夠大的密鑰空間。低維混沌映射具有數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單、產(chǎn)生混沌序列效率高等優(yōu)點(diǎn)[4]，但存在安全性低、隨機(jī)性較差、密鑰空間小等缺點(diǎn)。與之相比，高維超混沌具有良好的序列隨機(jī)特性，密鑰空間足夠大，動(dòng)力學(xué)行為更不可預(yù)測(cè)，安全性高[5]，所以對(duì)基于超混沌系統(tǒng)的信息加密來說，一般的破譯方法很難破譯。

本文利用新四維超混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列，結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有記憶反饋的特點(diǎn)[6-7]，將其應(yīng)用到圖像的像素值置亂中，使加密算法得到優(yōu)化。文獻(xiàn)[8]采用自治三維混沌系統(tǒng)對(duì)彩色圖像單像素比特位進(jìn)行加密操作，可有效抵抗差分攻擊，克服了對(duì)圖像整體像素置亂的缺點(diǎn)。但是該算法采用三維混沌系統(tǒng)，密鑰空間小，安全性不高。文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了一種具有動(dòng)態(tài)可變的基于超混沌系統(tǒng)的加密算法，若明文與混沌序列發(fā)生微小的變化，都會(huì)帶來完全不同的密鑰流，具有較好的安全性。但是該算法采用超混沌Chen系統(tǒng)，其產(chǎn)生的混沌信號(hào)隨機(jī)特性不強(qiáng)，初值敏感性不高。

針對(duì)上述問題，本文在三維混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，引入第四維系統(tǒng)變量w，構(gòu)建了一個(gè)新型的四維超混沌系統(tǒng)，并分析了其非線性動(dòng)力學(xué)特征。結(jié)果表明，其具有良好的混沌特性并且在混沌程度、初值敏感性以及混沌信號(hào)的隨機(jī)性方面均優(yōu)于超混沌Chen系統(tǒng)。然后將新系統(tǒng)應(yīng)用到圖像加密算法中，該算法基于Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)圖像各分量的單像素比特位進(jìn)行加密操作。最后利用MATLAB對(duì)研究成果進(jìn)行仿真，分析加密效果。

1 新四維超混沌系統(tǒng)

1.1 數(shù)學(xué)模型

新四維超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可用下式表示：

(1)

式中，w為新引入的系統(tǒng)變量，m和f為新引入的系統(tǒng)參數(shù)，取m=2，f=0.01，當(dāng)a=30，b=6，c=15時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)典型的混沌吸引子。下面驗(yàn)證混沌吸引子運(yùn)動(dòng)軌跡的遍歷性特征，利用MATLAB仿真各平面的吸引子相圖，如圖1所示。

圖1 新四維超混沌系統(tǒng)的吸引子相圖
Fig.1 Attractor phase diagram of the new four-dimensional hyperchaotic system

1.2 耗散性和吸引子存在性

通過計(jì)算

(2)

的值來判斷新系統(tǒng)的耗散性。將系統(tǒng)參數(shù)a、b、m、c、f的值代入可得ΔV=-a-b+c-f=-30+15-6-0.01=-21.01<0,可知新系統(tǒng)是耗散的，并且會(huì)以

(3)

形式收斂，即體積元V0在t時(shí)刻收斂為V0e-a-b+c-f,當(dāng)t→∞時(shí)，所有體積元以指數(shù)率e-a-b+c-f收斂到0，所以軌跡線被限定在一個(gè)體積為0的集合上，且它漸進(jìn)地固定在一個(gè)吸引子上。

1.3 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

(4)

求解上式方程組，可得該系統(tǒng)有5個(gè)平衡點(diǎn)S1、S2、S3、S4、S5，它們的值分別為

S1=(0,0,0,0)，
S2=(-16.043 7,0.148 4,2.140 0,1.080 9)，
S3=(16.043 7,-0.148 4,-2.140 0,1.080 9)，
S4=(-29.658 5,-0.142 9,3.983 8,-2.075 9)，
S5=(29.658 5,0.142 9,-3.983 8,-2.075 9)。

接下來驗(yàn)證5個(gè)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，先將系統(tǒng)平衡點(diǎn)線性化，然后根據(jù)Jacobian矩陣求解特征根，根據(jù)特征根的分布分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。以S1為例，在平衡點(diǎn)S1(0,0,0,0)處進(jìn)行線性化，得到Jacobian矩陣J1：

其特征方程為

|λI-J1|=0,

(5)

得到S1的特征根分別為：λ1=-30.022 2，λ2=15.022 2，λ3=-6.000 0，λ4=-0.010 0。四個(gè)特征根中，λ1、λ3、λ4為負(fù)實(shí)根，λ2為正實(shí)根，不全為負(fù)實(shí)根，則S1為不穩(wěn)點(diǎn)鞍點(diǎn)[11]。對(duì)于平衡點(diǎn)S2和S3，S4和S5，它們是兩兩關(guān)于w軸對(duì)稱存在的，只分析其中的一個(gè)即可，計(jì)算方法和S1相同，S2的特征根為λ1=-29.950 2，λ2=5.520 3+37.997 0j，λ3=5.520 3-37.997 0j，λ4=-2.100 4，其中j2=-1。λ1、λ4為負(fù)實(shí)根，λ2、λ3是一對(duì)實(shí)部為正的共軛復(fù)根，所以平衡點(diǎn)S2和S3為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)，同理可得S4和S5也為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。

上述計(jì)算結(jié)果表明不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)分布滿足Shilnikov定理[12]，從而證明了該系統(tǒng)在一定條件下會(huì)產(chǎn)生混沌。

1.4 Lyapunov指數(shù)

新系統(tǒng)的兩個(gè)正的Lyapunov指數(shù)分別為1.379 4和0.609 5，可以看出，該系統(tǒng)符合超混沌系統(tǒng)具有兩個(gè)正的Lyapunov指數(shù)的條件。

超混沌Chen系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

(6)

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)a=35，b=3，c=12，d=7，0.085≤r≤0.798時(shí)，系統(tǒng)變現(xiàn)為超混沌態(tài)，本文中取r=0.6，此時(shí)，超混沌Chen系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)為0.567，顯然，新系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)比較大，指數(shù)越大，說明混沌特性越明顯，混沌程度越高，整個(gè)吸引子域被軌道覆蓋的速度越快。

下面驗(yàn)證新系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)是否為分?jǐn)?shù)維，若是，則其為混沌系統(tǒng)，驗(yàn)證公式為

(7)

1.5 系統(tǒng)對(duì)初值的敏感性

對(duì)于初始值的微小改變，混沌系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)的十分敏感，這個(gè)性質(zhì)對(duì)圖像加密十分有利。對(duì)四個(gè)系統(tǒng)變量的初值作微小改變，即x，y，z，w均加上0.000 000 000 1，經(jīng)過系統(tǒng)的數(shù)次迭代后，觀察新系統(tǒng)的變量波形變化圖，如圖2(a)所示。在相同條件下，觀察超混沌Chen系統(tǒng)的變量波形圖，如圖2(b)所示。

圖2 新系統(tǒng)和超混沌Chen系統(tǒng)的敏感性比較
Fig.2 Comparison of sensitivity between new system and hyperchaotic Chen system

如圖2所示，兩個(gè)系統(tǒng)在使初始值發(fā)生微小改變的同等情況下，超混沌Chen系統(tǒng)的波形變化不明顯，而新系統(tǒng)的波形變化則十分明顯。通過比較圖2(a)和圖2(b)可知，新系統(tǒng)對(duì)初始值的敏感性更好，更適合應(yīng)用到圖像加密領(lǐng)域。

1.6 混沌信號(hào)

如果混沌信號(hào)的隨機(jī)性不強(qiáng)[13]，容易受AR模型預(yù)測(cè)和相空間重構(gòu)法的攻擊。所以參考文獻(xiàn)[14]對(duì)系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌信號(hào)進(jìn)行處理，使其分布均勻,處理方法為

(8)

圖3 新系統(tǒng)和超混沌Chen系統(tǒng)混沌信號(hào)的隨機(jī)性比較
Fig.3 Comparison of randomness of chaotic signal between new system and hyperchaotic Chen system

由圖3可以看出，經(jīng)式(8)處理后，新系統(tǒng)與超混沌Chen系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號(hào)均呈現(xiàn)出均勻分布的態(tài)勢(shì)，但仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，新系統(tǒng)的混沌信號(hào)分布更加均勻，即隨機(jī)特性更優(yōu)，具有更強(qiáng)的抵御相空間重構(gòu)法攻擊和AR模型預(yù)測(cè)攻擊的能力。

2 新四維超混沌系統(tǒng)的應(yīng)用

將新四維超混沌系統(tǒng)應(yīng)用于彩色圖像加密算法中，參考文獻(xiàn)[15]，將基于Hopfield網(wǎng)絡(luò)的彩色圖像加密算法，與四維超混沌系統(tǒng)相結(jié)合，通過實(shí)驗(yàn)仿真觀察加密效果與算法性能。

2.1 圖像像素位置的置亂算法

利用數(shù)學(xué)模型(1)通過系統(tǒng)迭代產(chǎn)生混沌序列，提取大小為M×N×3的彩色圖像的R、G、B三分量，分別選擇混沌序列的三個(gè)序列置亂彩色圖像的三分量。下面以X、Z和W序列對(duì)R分量進(jìn)行置亂為例，來說明此算法的像素位置置亂思路，步驟如下：

步驟1：選取Z序列中M項(xiàng)，W序列中M項(xiàng)，相加構(gòu)成{z1m,m∈[1,M]}{z1m,m∈[1,M]}，選取X序列中N項(xiàng)構(gòu)成{x1n,n∈[1,N]}{x1n,n∈[1,N]}。

步驟2：根據(jù)式(9)得到置亂序列{hrm,m∈[1,M]}，其中hrm∈[0,N-1]。將分量R從第1行到第M行，根據(jù)其與序列hrm相對(duì)應(yīng)的值進(jìn)行循環(huán)右移，然后轉(zhuǎn)置，得到大小為N×M的矩陣

hrm=?|zlm×1014|」%N。

(9)

步驟3：根據(jù)式(10)得到置亂序列vrn，vrn∈[0,M-1]，對(duì)經(jīng)過第一次置亂得到的分量R再次置亂。根據(jù)其與序列vrn相對(duì)應(yīng)的值，從第1行到第N行進(jìn)行循環(huán)右移，然后再次轉(zhuǎn)置，得到置亂后大小為M×N的R分量

vrn=?|xln×1014|」%M。

(10)

G分量和B分量的置亂方法和R分量的類似。可從Y序列和W序列中各選取M項(xiàng)相加，從Z序列中選取N項(xiàng)對(duì)G分量進(jìn)行置亂；從X序列和W序列中各選取M項(xiàng)相加，從Y序列中選取N項(xiàng)對(duì)B分量進(jìn)行置亂。若想取得更好的加密效果，可重復(fù)進(jìn)行上述步驟。

2.2 圖像像素值的置亂算法

利用離散型Hopfield網(wǎng)絡(luò)具有反饋這一特點(diǎn)，將其應(yīng)用于圖像像素值的置亂算法中。具體操作步驟如下：

步驟1：提取大小為M×N×3的彩色圖像的R，G，B三基色分量，按列將三分量的像素值展成向量{Irk}，{Igk}，{Ibk}，然后將這三個(gè)向量轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制序列，用{prk，i}，{pgk，j}，{pbk，i}表示，其中k∈[1,M×N]，i∈[0,7]。Irk，Igk，Ibk與prk,j，pgk,i，pbk,i之間滿足

(11)

式中，k表示第k個(gè)像素值，i表示第i比特位。

步驟2：利用數(shù)學(xué)模型(1)產(chǎn)生四維混沌序列，選取X序列、Y序列和Z序列，將它們的長(zhǎng)度截取為M×N，以便進(jìn)行圖像像素值置亂。對(duì)截取后的序列進(jìn)行處理映射，得到序列{xk}，{yk}，{zk}，計(jì)算方法為

(12)

步驟3：將{xk}，{yk}，{zk}轉(zhuǎn)換為用{w1k,i}，{w2k,i}，{w3k,i}表示的二值序列，如式(13)所示：

(13)

步驟4：根據(jù)二值序列{w1k,i}，{w2k,i}，{w3k,i}的取值，得到置亂的權(quán)值序列{ww1k,i}，{ww2k,i}，{ww3k,i}，當(dāng)二值序列值取1時(shí)，權(quán)值為1，當(dāng)二值序列取0時(shí)，權(quán)值為-1。然后利用混沌序列的二值序列{w1k,i},{w2k,i},{w3k,i}圖像三基色分量的二進(jìn)制序列{prk,i}，{pgk,i}，{pbk,i}和置亂的權(quán)值{ww1k,i},{ww2k,i},{ww3k,i}產(chǎn)生閾值序列{yu1k,i}，{yu2k,i}，{yu3k,i}，它們之間的變換關(guān)系為

(14)

(15)

(16)

(17)

步驟5：對(duì)像素值進(jìn)行置亂，得到序列{Crk,i}，{Cgk,i}，{Cbk,i}，計(jì)算方法為

(18)

式中，Crk,i，Cgk,i，Cbk,i分別表示Crk-1,i，Cgk-1,i，Cbk-1,i后一個(gè)像素值的密文。在求解Cr1,i，Cg1,i，Cb1,i的過程中，需要知道Cr0,i，Cg0,i，Cb0,i將三分量最后一個(gè)像素值的二進(jìn)制序列{prM×N,i}，{pgM×N,i}，{pbM×N,i}代入公式進(jìn)行計(jì)算，即可得到Cr0,i，Cg0,i，Cb0,i。

步驟6：將經(jīng)過置亂后的二進(jìn)制像素值轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制，對(duì)R、G、B分量的十進(jìn)制信息進(jìn)行重新組合，形成置亂圖像，圖像的加密過程至此結(jié)束。

在解密求解原像素值pr0,i，pg0,i，pb0,i時(shí)，可用prM×N,ipgM×N,i，pbM×N,i代替Cr0,i，Cg0,i，Cb0,i，即為加密的逆過程，計(jì)算方法為

(19)

3 實(shí)驗(yàn)仿真及加密效果分析

3.1 圖像加密效果分析

在MATLAB R2013a環(huán)境下，對(duì)此算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，分析圖像加密效果圖。設(shè)置新四維超混沌系統(tǒng)的參數(shù)、初始值以及積分步長(zhǎng)，其中a=30,b=15,c=6,m=2,f=0.01；x0=2，y0=1，z0=3,w0=1;h=0.01。系統(tǒng)迭代M×N+5 000次，并舍棄前5 000次。選擇大小為256×256×3的彩色圖像，并按照上述的加密算法進(jìn)行操作，得到的仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 圖像加密效果圖
Fig.4 The result figures of image encryption

從圖4(a)中可以看出，該算法成功地對(duì)圖像進(jìn)行了加密，效果明顯，原圖像的像素點(diǎn)和像素值被徹底地置亂，密圖和原圖相差巨大，說明單像素混沌加密算法能夠有效的加密圖像。從圖4(b)中可以看出，加密前后，圖像R、G、B分量的像素直方圖完全不一致，加密圖像的直方圖分布更加均勻，這說明置亂操作已擴(kuò)散到每一個(gè)像素點(diǎn)，加密效果良好。

3.2 密鑰敏感性測(cè)試

下面實(shí)驗(yàn)仿真正確解密和錯(cuò)誤解密的效果圖。以x0為例，對(duì)加密密鑰的敏感性進(jìn)行測(cè)試，將初始值x0加上10-10，即x0存在10-10的誤差時(shí)，得到錯(cuò)誤解密圖像，如圖5所示。

圖5 圖像正確解密與錯(cuò)誤解密效果圖
Fig.5 The result figures of image correct decryption and error decryption

圖5(a)對(duì)比了正確解密與錯(cuò)誤解密的圖像變化，可見該算法的正確解密操作可以恢復(fù)出原圖，然而當(dāng)有微小誤差的時(shí)候，則無法進(jìn)行正確解密，說明該算法對(duì)密鑰極端敏感。圖5(b)對(duì)比了正確解密與錯(cuò)誤解密時(shí)，R、G、B分量的像素直方圖分布情況，可見正確解密可以得到原直方圖，錯(cuò)誤解密則不能恢復(fù)原直方圖，并且直方圖分布仍然十分均勻，說明該算法抗攻擊性能良好，錯(cuò)誤解密操作不會(huì)泄露原圖像的信息。

3.3 統(tǒng)計(jì)特性分析

從像素相關(guān)性和抗差分性能兩個(gè)方面對(duì)加密后的圖像進(jìn)行統(tǒng)計(jì)特性分析。

3.3.1 像素相關(guān)性

一般通過分析像素的相關(guān)性來進(jìn)一步分辨算法的優(yōu)劣。原圖像的像素相關(guān)性比較強(qiáng)，經(jīng)過一系列的加密操作，得到加密圖像，加密圖像相鄰像素的相關(guān)性越弱，說明加密算法越優(yōu)良。根據(jù)式(20)～(22)計(jì)算相鄰像素的相關(guān)系數(shù)：

(20)

(21)

(22)

(23)

式中，rxy越接近于1，表示像素相關(guān)性越強(qiáng)，rxy越接近于0，表示像素相關(guān)性越弱。

隨機(jī)取原圖和密圖三分量在橫向、縱向、對(duì)角方向的1 000對(duì)像素值，計(jì)算相鄰像素相關(guān)性，結(jié)果以絕對(duì)值的形式表示，如表1所示。

表1 原圖與密圖相鄰像素的相關(guān)系數(shù)對(duì)比
Tab.1 Comparison of the correlation coefficient of adjacent pixels of an original image and an encrypted image

分量RGBR1G1B1橫向0.990 90.994 30.993 50.002 10.017 50.019 1縱向0.988 20.994 00.993 60.000 10.008 00.005 9對(duì)角0.978 60.984 40.986 50.015 70.011 60.014 7

由表1可看出，原圖R、G、B分量在3個(gè)方向上的像素相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值都十分接近于1，相關(guān)性很強(qiáng)，而密圖相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值都十分接近于0，相關(guān)性很弱，說明該算法通過一系列操作，降低了像素的相關(guān)性，達(dá)到了加密的目的，加密效果良好。

3.3.2 抗差分性能

我們常用兩個(gè)變化率的值來定量說明加密算法的抗差分攻擊性能：像素變化率和像素平均強(qiáng)度變化率。在MATLAB R2013a環(huán)境下，設(shè)加密后原圖像和改變一個(gè)像素值后的圖像的矩陣形式為HD、HD1，比較像素值，若有HD(i,j)≠HD1(i,j)，則D(i,j)=1，反之D(i,j)=0，計(jì)算公式為

(24)

(25)

分別改變?cè)瓐D像三分量的一個(gè)像素點(diǎn)，得到對(duì)應(yīng)的像素變化率和像素平均強(qiáng)度變化率值，見表2。

表2 R、G、B分量的像素變化率值和像素平均強(qiáng)度變化率值Tab.2 Values of NRCP and UCAI of the R，G，and B components %

像素變化率和像素平均強(qiáng)度變化率的理想值為99.609%和33.464%[16]，由表2可以看出，圖像R層、G層和B層的像素變化率值和像素平均強(qiáng)度變化率值都十分接近理想值，也就是說該算法對(duì)作用于原圖的微小變化會(huì)表現(xiàn)的非常敏感，從而說明了其可以有效地抵御差分攻擊。

3.4 抗干擾性分析

本文通過對(duì)加密圖像進(jìn)行剪切，加入不同強(qiáng)度不同種類的噪聲干擾，來驗(yàn)證該加密算法的抗干擾能力，在MATLAB R2013a環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，測(cè)試結(jié)果如圖6所示。

圖6 抗干擾攻擊仿真圖
Fig.6 Simulation images of resisting jamming attack

在現(xiàn)實(shí)情況中，信息的傳輸容易受到各種干擾與攻擊，所以要求圖像加密算法具有較強(qiáng)的魯棒性。由圖6可以看出，對(duì)于剪切與噪聲攻擊，該算法可以正確地解密恢復(fù)出原始圖像，說明其安全有效，具有良好的抗干擾能力。

4 結(jié)論

本文闡述了一個(gè)新型四維超混沌系統(tǒng)的構(gòu)造與應(yīng)用。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新構(gòu)造的四維系統(tǒng)符合混沌系統(tǒng)的各個(gè)指標(biāo)，具有良好的混沌動(dòng)力學(xué)特征，并且在敏感性、混沌信號(hào)的隨機(jī)性等方面均優(yōu)于超混沌Chen系統(tǒng)。將新系統(tǒng)應(yīng)用于基于Hopfield網(wǎng)絡(luò)的單像素加密算法中，結(jié)果顯示，加密效果良好，并且該算法可有效抵抗差分攻擊、剪切攻擊和噪聲攻擊，安全有效。本系統(tǒng)的4個(gè)初始值和參數(shù)m、f可作為密鑰，再加上初始迭代次數(shù)，說明有足夠大的密鑰空間，可以抵御窮舉攻擊。新引入的第四維方程為非線性方程，其復(fù)雜度更高，混沌特性更優(yōu)良，將其應(yīng)用到加密算法中安全性更高，但是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行迭代產(chǎn)生混沌序列時(shí)，計(jì)算量大且計(jì)算過程復(fù)雜，致使算法的時(shí)間復(fù)雜度相比較三維混沌系統(tǒng)和第四維為線性方程的超混沌系統(tǒng)有稍許差距。在今后的工作中，考慮盡量均衡混沌特性與算法復(fù)雜度的關(guān)系，做到最優(yōu)。