基于波原子稀疏優(yōu)化與組稀疏表示的壓縮感知算法

胡春海，馬雙娜，李永發(fā)

(燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

隨著信息技術(shù)迅猛發(fā)展，人們對信息的需求日益劇增，從模擬到數(shù)字信號的轉(zhuǎn)換一直嚴(yán)格遵守采樣率必須達(dá)到超過信號頻率2倍的奈奎斯特采樣定理才能滿足信號的準(zhǔn)確重建。傳感系統(tǒng)為獲得更精準(zhǔn)的信號，需要處理的數(shù)據(jù)量大大增加，對其信號處理的能力提出了更高要求，也給相應(yīng)硬件設(shè)備帶來極大的挑戰(zhàn)。為解決以上問題，學(xué)者們提出了一種壓縮感知[1-2]理論。壓縮感知指出信號可以通過遠(yuǎn)低于奈奎斯特定理的采樣頻率來恢復(fù)和重建。它能夠大大降低信號采樣頻率、信號處理時(shí)間以及計(jì)算、儲存和傳輸數(shù)據(jù)的成本。壓縮感知通過對信號的采樣實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮，壓縮后的信號更有利于傳輸和儲存，壓縮信號通過特定的壓縮感知重構(gòu)算法進(jìn)行信號重建，只需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行測量就可以對原始信號實(shí)現(xiàn)高壓縮比、高效率的數(shù)據(jù)處理。2014年Zhang提出組稀疏表示(Group-based Sparse Representation，GSR)[3]的圖像壓縮感知算法。根據(jù)自然圖像的非局部相似性，將圖像分塊并尋找每個(gè)相似塊組的稀疏表示進(jìn)行壓縮感知。傳統(tǒng)的組稀疏重構(gòu)算法缺乏對圖像整體稀疏性的研究，本文提出一種約束矩陣對圖像的波原子變換系數(shù)進(jìn)行約束實(shí)現(xiàn)圖像稀疏化預(yù)處理，并采用組稀疏表示的圖像重構(gòu)算法進(jìn)行實(shí)現(xiàn)圖的壓縮感知重建。

1 壓縮感知理論

壓縮感知理論主要包括三個(gè)方面：信號的稀疏表示、測量矩陣的設(shè)計(jì)和重建算法[4]。信號可以進(jìn)行壓縮感知的必要條件為信號能夠在某特定的變換域中稀疏表示[5]或自身稀疏。壓縮感知利用測量矩陣[6]對信號進(jìn)行測量獲得測量值，測量矩陣要求符合約束等距性條件(Restricted Isometry Property,RIP)[7]，最后通過壓縮感知的重構(gòu)算法完成信號重建。

1.1 稀疏表示

信號本身一般不是稀疏的，但是能夠通過某種變換使其稀疏。文獻(xiàn)[1]中Donoho指出：如果信號x∈RN×1，在變換域Φ中有L個(gè)非零系數(shù)，且信號x在變換域Φ中是L-稀疏的，則稀疏表示能夠使信號通過在變換域中用有限的基函數(shù)表示。正交變換基Ψ下信號x的稀疏表示為

x=Ψ·s，

(1)

s是稀疏向量，采用測量矩陣Φ(大小為M×N)對x進(jìn)行采樣，則有

y=Φ·Ψ·x。

(2)

得到測量值y中包含重構(gòu)x所需的信息，其中Φ與Ψ不相干。常用的稀疏表示方法有離散余弦變換、傅里葉變換和小波變換[8-9]等。

1.2 測量矩陣

若滿足信號重建要求，稀疏變換矩陣Ψ和測量矩陣Φ則需要具有不相干性，且測量矩陣Φ要求滿足RIP特性。對任意的l=1，2，…，L，定義矩陣Φ的等距常量δl為滿足下式的最小值：

(3)

式中，x為L項(xiàng)稀疏向量，0<δl<1，稱矩陣Φ滿足l階RIP。

壓縮感知中用作測量矩陣的有隨機(jī)高斯矩陣、哈達(dá)瑪矩陣、伯努利矩陣和Toplitz矩陣[10]。等。隨機(jī)測量矩陣的列數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于行數(shù)M?N,當(dāng)測量數(shù)M≥clog(N/K)時(shí),便會以極大的概率滿足RIP條件，且隨機(jī)高斯矩陣Φ與大多數(shù)變換基矩陣Ψ高度不相關(guān)。Candes等[11]證明在壓縮感知中高斯隨機(jī)測量矩陣能夠以很大概率滿足RIP特性，可以作為普適的測量矩陣。

1.3 重構(gòu)算法

測量值y經(jīng)過儲存?zhèn)魉偷冗^程，最后需要在終端進(jìn)行重構(gòu)。由y重構(gòu)信號x的方程屬于欠定問題，未知數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于方程數(shù)量導(dǎo)致方程存在無數(shù)解。故可以將問題轉(zhuǎn)換為由y恢復(fù)s，因?yàn)閟是k稀疏的且未知數(shù)遠(yuǎn)小于x。稀疏過程為

y=Φx=Φ·Ψ·s。

(4)

根據(jù)以上條件可以從y中采取非線性優(yōu)化的方法來恢復(fù)信號x。壓縮感知信號重構(gòu)問題最直接有效的方法是利用最優(yōu)l0范數(shù)式的方法來重構(gòu)稀疏信號s，即

xopt=Ψsopt，

(5)

sopt=arg min‖s‖0s.t.ΦΨs=y。

(6)

這是壓縮感知的核心思想，壓縮感知由少量線性測量通過求解最優(yōu)化問題(5)直接得到信號x的壓縮表示，使得超高分辨率信號獲取成為可能。在此利用最優(yōu)l0范數(shù)重構(gòu)信號方法的基礎(chǔ)上又提出了范數(shù)類、匹配追蹤類等各類壓縮感知算法[12]。

2 組稀疏表示壓縮感知算法

圖1 圖像塊與圖像塊組
Fig.1 Image block and image block group

(7)

引入平衡參數(shù)λ將式(7)轉(zhuǎn)換為無約束問題：

(8)

采用迭代收縮閾值算法求解，利用式(9)重構(gòu)圖像：

(9)

3 波原子變換稀疏優(yōu)化

3.1 波原子變換

由于小波基無法較好地去逼近奇異性曲線，二維圖像通過小波變換進(jìn)行表示時(shí)造成圖像幾何特征會包含不同的小波系數(shù)子帶，導(dǎo)致圖像的小波變換并不能很好的用于稀疏表示。2007年Demanet等人提出了波原子變換[15]，波原子振蕩周期和支撐域尺寸滿足關(guān)系：wavelength≈(diameter)2。波原子可以看作方向小波與Garbo原子的“插值”形式，相對與Bendelet、Contourlet和曲波等對圖像的紋理細(xì)節(jié)信息有更好的稀疏表示[16]。

在二維波原子變換中：

(10)

(11)

(12)

二維波原子變換系數(shù)：

(13)

在j=3，m=(3,2)的尺度下二維波原子基函數(shù)的空域和頻域圖形如圖2所示。

圖2 二維波原子基函數(shù)圖形
Fig.2 2-D wave atoms basic function graph

波原子具有最優(yōu)表示圖像方法的特征，能夠很好的非線性逼近奇異值曲線，對紋理細(xì)節(jié)信息表征優(yōu)于曲線波。圖3(a)為大小為256×256的指紋圖像,(b)、(c)為分別經(jīng)小波變換和波原子變換后以最大的512個(gè)系數(shù)的重構(gòu)圖像。

圖3 圖像小波變換與波原子變換重構(gòu)結(jié)果
Fig.3 Image wavelet transform with wave atoms transform reconstruction results

3.2 優(yōu)化矩陣設(shè)計(jì)

波原子變換可以使數(shù)據(jù)變得稀疏，但稀疏后數(shù)據(jù)壓縮感知重建效果仍不太理想。根據(jù)變換域系數(shù)數(shù)據(jù)顯示逐漸遞減的趨勢，所以對波原子變換較小系數(shù)進(jìn)行抑制[17]。因此針對變換系數(shù)特點(diǎn)設(shè)計(jì)了系數(shù)約束矩陣：

(14)

系數(shù)約束矩陣為n維的對角矩陣，m為所在行數(shù)。其中變量j滿足

(15)

圖像經(jīng)過波原子變換得到圖像波原子變換系數(shù)，波原子變換系數(shù)乘以約束矩陣得到優(yōu)化后波原子變換系數(shù)。圖4為圖像barbara.bmp的波原子變換系數(shù)，圖5～6為系數(shù)抑制與逆抑制結(jié)果，從圖4～6對比可以看出優(yōu)化后波原子變換系數(shù)中較小系數(shù)被抑制，變換系數(shù)稀疏度大大改善，此優(yōu)化稀疏過程可逆。

圖7為圖像barbara.bmp與圖像經(jīng)過波原子稀疏優(yōu)化后結(jié)果，波原子稀疏優(yōu)化增強(qiáng)圖像稀疏性。

圖4 圖像波原子變換系數(shù)
Fig.4 Image wave atoms coefficients

圖5 波原子系數(shù)抑制結(jié)果
Fig.5 Wave atoms coefficients suppression result

圖6 波原子系數(shù)逆抑制結(jié)果
Fig.6 Wave atoms coefficients inverse suppression result

圖7 原圖像與波原子稀疏優(yōu)化結(jié)果
Fig.7 The original image with wave atoms transform sparse optimization results

4 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)硬件環(huán)境為Intel Pentium E5405,CPU 2.5G主頻，4G內(nèi)存的計(jì)算機(jī)，軟件環(huán)境為Win10 64位操作系統(tǒng)，MATLAB R2012a。本文采用大小為256×256的barbara等國際標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像進(jìn)行壓縮感知重建的仿真實(shí)驗(yàn)。為了消除實(shí)驗(yàn)隨機(jī)性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果取在相同的采樣率下200次的平均值，實(shí)驗(yàn)以峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)作為圖像質(zhì)量評價(jià)指標(biāo)。

算法具體實(shí)現(xiàn)步驟：

1) 構(gòu)建抑制矩陣對原始圖像進(jìn)行波原子變換系數(shù)稀疏優(yōu)化并重建；

2) 對圖像按像素大小為32×32分塊并重組，采用高斯測量矩陣壓縮采樣；

3) 自適應(yīng)字典學(xué)習(xí)獲取字典DGk；

4) 通過本文算法重構(gòu)原圖像；

5) 對重構(gòu)圖像進(jìn)行波原子系數(shù)逆抑制，恢復(fù)原圖像。

表1為barbara等4幅圖像在采樣率為0.1、0.2和0.3下GSR算法和本文方法實(shí)現(xiàn)圖像壓縮感知重構(gòu)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從實(shí)驗(yàn)得到的重構(gòu)圖像PSNR相比較可以看出，本文方法在采用不同圖像和不同采樣率情況下重構(gòu)圖像質(zhì)量均明顯高于GSR算法。由于圖像本身復(fù)雜程度和稀疏程度不同，重構(gòu)圖像質(zhì)量有所差異。

表1 圖像壓縮感知重構(gòu)PSNR

Tab.1 Image comprised sensing reconstruction PSNR dB

圖8為采樣率為0.08的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從以上4組實(shí)驗(yàn)重構(gòu)圖像結(jié)果可以看出GSR算法在較低采樣率下無法準(zhǔn)確恢復(fù)圖像邊緣紋理等信息，本文算法相較于GSR算法能更有效地恢復(fù)原圖像的細(xì)節(jié)邊緣部位，重構(gòu)圖像質(zhì)量更清晰。

圖8 圖像壓縮感知重構(gòu)結(jié)果
Fig.8 Image compressed sensing reconstruction results

圖9為圖像barbara由GSR算法和本文方法在采樣率0.05到0.5下的重構(gòu)質(zhì)量對比結(jié)果。從圖9中可以看出本文算法相較于原有的GSR算法在不同的采樣率下的PSNR均有所提高，尤其在低采樣率下效果明顯高于GSR算法。

圖9 圖像重構(gòu)質(zhì)量對比
Fig.9 Image reconstruction quality

從圖8和圖9實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出本文算法對于不同的圖像在各個(gè)采樣率下的重建效果相較于原有的算法重構(gòu)質(zhì)量更好,在相同采樣率下峰值信噪比更高，能夠更好地恢復(fù)圖像紋理細(xì)節(jié)信息，峰值信噪比更高。

5 結(jié)論

本文提出一種基于波原子系數(shù)稀疏優(yōu)化的組稀疏表示圖像壓縮感知算法，通過構(gòu)建一種約束矩陣對圖像波原子變換系數(shù)進(jìn)行約束使得圖像變得更加稀疏。圖像的整體稀疏性增強(qiáng)能夠有效地提高圖像壓縮感知重構(gòu)算法圖像重構(gòu)質(zhì)量，仿真實(shí)驗(yàn)表明在相同采樣率下本文算法較GSR算法具有更高的峰值信噪比，使得圖像的重建效果更好，尤其是在低采樣率下表現(xiàn)出的對圖像邊緣細(xì)節(jié)恢復(fù)能力更高，從而使得本文方法能以更低采樣率實(shí)現(xiàn)滿足需求的圖像壓縮。