幾道上海高考題引發(fā)的思考

杜忠輝

【摘要】 梳理近幾年上海高考題，筆者發(fā)現(xiàn)不定方程問題常常出現(xiàn)，問題主要是通過函數(shù)、三角函數(shù)、統(tǒng)計等形式來呈現(xiàn)，本質(zhì)上是考查變量及函數(shù)的最值，借助極端原理，將不定方程轉(zhuǎn)化為一元不等式求解，將多元化歸到一元.不定方程求解方法很多，極端思想只是其中一種，最后筆者探究和歸納了一類極端原理可求解的不定方程.

【關(guān)鍵詞】 上海高考題;不定方程;極端原理

一、題 目

題1? （2017年上海秋考數(shù)學(xué)11題）設(shè)α1，α2∈ R ，且 1 2+sinα1 + 1 2+sin2α2 =2，則|10π-α1-α2|的最小值等于 .

題2? （2015上海高考理13題）已知函數(shù)f（x）=sinx，若存在x1，x2，…，xm滿足0≤x1<x2<…<xm≤6π，且 |f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|= 12（m≥2，m∈ N *），則m的最小值為 .

題3? （2014高考數(shù)學(xué)上海卷）某游戲的得分為1，2，3，4，5，隨機(jī)變量ξ表示小白玩該游戲的得分.若E（ξ）=4.2，則小白得5分的概率至少為 .

二、背景及解析

前兩道題以三角函數(shù)為載體考查不定方程求解或求相應(yīng)變量最值問題.具體求解如下：

題1? 由-1≤sinα1≤1，-1≤sin2α2≤1，

可得 1 3 ≤ 1 sinα1+2 ≤1， 1 3 ≤ 1 sin2α2+2 ≤1，

故 2 3 ≤ 1 sinα1+2 + 1 sin2α2+2 ≤2，

又已知 1 2+sinα1 + 1 2+sin2α2 =2，

可得sinα1=1，sin2α2=1.

于是α1= π 2 +2kπ，2α2= π 2 +2mπ（m，k∈ Z ），

所以α1+α2= 3π 4 +2kπ+mπ（m，k∈ Z ），

α1+α2= 3π 4 +tπ（t∈ Z ），

則|10π-α1-α2|=? π 4 +（9-t）π ≥ π 4 .

題2? 由|f（x）-f（y）|≤|f（x）max-f（x）min|=|f（x）min- f（x）max|=2，可知

|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|≤2（m-1），于是12≤2（m-1），

即m-1≥6，至多6個2，然而，結(jié)合正弦函數(shù)圖像相鄰最值點最多5組，最多5×2=10，再添2個端點，一共8個點，故m的最小值為8.如下圖：

這兩個不定方程問題，解法都是抓住三角函數(shù)最值，將不定方程轉(zhuǎn)化為不等式問題，這其實是極端原理思想的應(yīng)用.

一般地，把直接抓住全體對象中的極端情形或它們所具有的某種極端性質(zhì)加以研究、解決問題的思想方法稱為極端原理.特別地，代數(shù)變量或函數(shù)的極端情形就是最大或最小值.

題3? 由已知得 1·P1+2·P2+…+5·P5=4.2，P1+P2+…+P5=1，

這是一個多元不定方程組，消去P4本質(zhì)上是一個多元不定方程

1P1+2P2+3P3+4（1-P1-P2-P3-P5）+5P5=4.2，

即（P5-0.2）-3P1-2P2-P3=0，這里0≤Pi≤1，i=1，2，3，5，

所以P5-0.2=3P1+2P2+P3≥（3P1+2P2+P3）min=0，當(dāng)且僅當(dāng)P1=0，P2=0，P3=0時取等號，故P5≥0.2.

那極端原理能不能解決一類不定方程呢？解決哪一類？下面筆者進(jìn)行了探究和歸納.

三、極端原理可求解一類不定方程

多元不定方程f（x1，x2，x3，…，xn）=0，x1∈D1，x2∈D2，…，xn∈Dn可分解為f1（x1）+f2（x2）+…+fn（xn）=0型，且f2（x2），f3（x3），…，fn（xn）有界，求變量x1的最值.

記Mi=max{fi（xi）}或sup{fi（xi）}，i=2，3，…，n為函數(shù)fi（xi）的最大值或者上確界;

mi=min{fi（xi）}或inf{fi（xi）}，i=2，3，…，n為函數(shù)fi（xi）最小值或下確界.

根據(jù)mi≤fi（xi）≤Mi，可得 f1（x1）+∑ n i=2 mi≤0，f1（x1）+∑ n i=2 Mi≥0，

即-∑ n i=2 Mi≤f1（x1）≤-∑ n i=2 mi，

從而求解出主元x1的取值范圍.

【參考文獻(xiàn)】

[1]方先進(jìn)，程國元.例說極端化原理在解題中的運(yùn)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2006（1）：32-34.

[2]張棟平.例說極端性原理的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2004（3）：38-39.

淺談高中數(shù)學(xué)的解題技巧

淺談高中數(shù)學(xué)的解題技巧

◎王湛茹 （本溪市高級中學(xué)，遼寧 本溪 117000）

【摘要】 高中數(shù)學(xué)同初中數(shù)學(xué)相比，除了知識點內(nèi)容更加復(fù)雜以外，題目類型的多種多樣也是一大難點.因此，要想學(xué)好高中數(shù)學(xué)，會解題是基礎(chǔ).另一方面，做題除了多做，掌握不同種類的題型外，還要善于思考，對各種題型以及題目考查的內(nèi)容和側(cè)重方向進(jìn)行深入的分析，并注意領(lǐng)會和總結(jié).筆者在高中學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)一直是筆者的強(qiáng)項，筆者認(rèn)為造成數(shù)學(xué)成績差距的主要原因就是在學(xué)習(xí)過程中的總結(jié)和歸納.下面筆者簡單談一談自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心得體會.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué);解題技巧;高中

一、高中數(shù)學(xué)的特點

（一）高中知識的特點

（1）高中知識面更加廣泛.在升入高中之后，數(shù)學(xué)在知識的內(nèi)容涵蓋的范圍更加廣泛.高中數(shù)學(xué)的試題量也越來越大.而許多試題考查的知識點在課堂上并沒有學(xué)到，這一部分知識主要是通過做卷子來獲得.（2）知識的針對性變強(qiáng).高中數(shù)學(xué)的另個特點就是知識考查更加具有針對性，同初中數(shù)學(xué)“泛泛而考”有所不同，高中數(shù)學(xué)在考試時會針對性的考查學(xué)生對固定幾個知識點的掌握情況，因此，除了要具備基本的邏輯推理和計算能力外，知識點掌握情況也是高中數(shù)學(xué)考查的另一個重點.另一方面，高中數(shù)學(xué)的專業(yè)詞匯也越來越多高中數(shù)學(xué)綜合了符號語言、邏輯運(yùn)算語言、函數(shù)語言、圖形語言等內(nèi)容.抽象化程度大大提高.（4）更加注重考查解題思路.高中數(shù)學(xué)解題思維與初中不大相同.① 形成初中階段在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中習(xí)慣用一些固定的解題模式，而高中數(shù)學(xué)在解題時，很多時候需要變換解題思路才能解題.

（二）高中數(shù)學(xué)試題的考查點

從筆者自身的角度來看，高中數(shù)學(xué)在解題上更加側(cè)重于考查學(xué)生的解題思路，筆者在解題過程中經(jīng)常會遇到一題多解的情況，很多時候一道題可以代數(shù)法解，用幾何方法也能解，這些解題方法的區(qū)別在于解題花費(fèi)的時間以及解題的出錯率.有些題目用某種解題方法就會非常耗時耗力，而且容易出錯，而用另一種算法就“省時省力”，而且不容易出錯.也就是說，高中數(shù)學(xué)試題的考查點主要放在對學(xué)生使用哪種解題方法上，選擇解題方法也占據(jù)了高中數(shù)學(xué)解題中的很大一部分內(nèi)容.

（三）高中數(shù)學(xué)同初中數(shù)學(xué)的區(qū)別

筆者在剛升入高中的時候成績不是很理想，在初中上學(xué)時筆者的數(shù)學(xué)成績還是很優(yōu)秀的.筆者分析了下原因，發(fā)現(xiàn)自己是由于缺乏對高中數(shù)學(xué)特點的了解，高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)沒有打牢，起步?jīng)]有開好頭，數(shù)學(xué)成績總是墊底，然后再怎么努力學(xué)習(xí)都沒有多大的提升.針對這個情況，筆者進(jìn)行深入的反思，發(fā)現(xiàn)是自己的學(xué)習(xí)方法出了問題，筆者把高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法總結(jié)為幾個詞語：分析，邏輯，總結(jié).② 這三個關(guān)鍵詞也是筆者認(rèn)為在升入高中后需要堅持的學(xué)習(xí)方法.

二、高中數(shù)學(xué)的解題技巧

（一）善于總結(jié)解題方法

高中的試題量非常大，在做題中總結(jié)題型，并對解題思路和解題方法進(jìn)行歸納對學(xué)好高中數(shù)學(xué)有很大的作用，只有掌握數(shù)學(xué)的思想，靈活的運(yùn)用各種解題方法，才能達(dá)到輕 松學(xué)習(xí)，快速準(zhǔn)確解題的效果.以下是幾種常用到的解題思路：

（1）換元思想.換元思想是數(shù)學(xué)解題中的一個重要思想.要想把高中數(shù)學(xué)題解的又快、準(zhǔn)確率又高，就要善于找到數(shù)學(xué)題中的規(guī)律，其中換元思想是一個經(jīng)?？梢杂玫降慕忸}思路.其具體的方法是：找到式子中的可換變量，將把陌生的式子變?yōu)槭煜さ男问?，方便我們快速解題.換元的難點在于準(zhǔn)確的找出式子中的可換部分，這一部分可以是一個組合式，然后我們通過設(shè)元來代替它，通過一系列計算將式子簡化，然后在將元替換回來達(dá)到快速準(zhǔn)確解題.

換元的優(yōu)點在于使復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理.換元思想可以應(yīng)用于很多類型的題型中，主要形式可以是降次、變分式為整式等，在許多的問題中都可以用到.③ 例如，

已知：x=2，y=3，求（2x+2y）·（2x-6y）-（2x+2y）·（4x+6y）.

就可以設(shè)t=（2x+2y），

化簡上述方程式得到t·（-2x），

得到結(jié)果為-40.

（2）逆向思維.高中數(shù)學(xué)題中，選擇是一塊占很大分值的題.在做選擇題時很多時候我們不能直接找到正確的答案，這時我們需要進(jìn)行答案排除，這也是數(shù)學(xué)解題中一個重要的思路.同樣，我們在做證明題時還可以用到反證法，或者在一些不需要計算過程的試題中使用結(jié)論反推過程的方法來進(jìn)行解題.在使用這一解題思路時，需要注意思維的縝密型，還要對數(shù)學(xué)的定理、公式以及他們的變形熟練掌握，因為如果依據(jù)是錯的，那么往往不會得到正確的答案.

（3）歸納思想.高中數(shù)學(xué)很多知識都來源于試題之中，我們需要不斷地解試題來鞏固理論知識，熟悉解題方法.在做試題的過程中我們可以對做過的題型進(jìn)行有效的歸納.許多題型都是老題型的變形，我們在做試題時很多時候可以輕易想到這類試題的考點和難點.所以，我們平時在做試題時，要學(xué)會歸納，把做過的題型進(jìn)行記錄梳理，找出最優(yōu)解法.對于涉及的知識點內(nèi)容要進(jìn)行復(fù)習(xí).這樣我們在此遇到類似的題目時，就可以想到這一類試題的考點內(nèi)容，我們就能更加快速地進(jìn)行解題.當(dāng)我們把所有類型的試題都?xì)w納全面時，我們在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時就可以非常熟練了.

四、結(jié)束語

許多同學(xué)普遍反映對于課堂上教師講授的內(nèi)容都沒有深入理解，學(xué)生只是單純的可以聽懂教師講授的知識點，但是仍然不能夠很熟練地運(yùn)用到解題中.高中的數(shù)學(xué)需要不斷地總結(jié)解題方法，并且還要注意多做題來進(jìn)行鞏固，這樣才能熟練解題.高中數(shù)學(xué)是一個不斷積累和學(xué)習(xí)的過程，需要在學(xué)習(xí)中不斷培養(yǎng)自己的解題思路，養(yǎng)成自己的解題習(xí)慣，同時還要靈活的掌握和運(yùn)用各種解題方法，這樣才能更快、更準(zhǔn)確地做好數(shù)學(xué)試題.以上是我對高中數(shù)學(xué)一些粗淺的認(rèn)識，希望可以給大家起到借鑒的作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]袁昕晨.“數(shù)形結(jié)合”——高中代數(shù)解題的分析[J].考試周刊，2018（28）：108.

[2]竇立群.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何化錯為利[J].考試周刊，2018（25）：83.