核心素養(yǎng)下的數(shù)學文化教學

摘? ? 要：數(shù)學教育是數(shù)學文化的教育，教師應當將數(shù)學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數(shù)學的發(fā)展歷程，認識數(shù)學在科學技術、社會發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和文化素養(yǎng).

關鍵詞：數(shù)學文化;核心素養(yǎng);教學活動

數(shù)學是一門科學，也是一種文化.數(shù)學教育是數(shù)學文化的教育，數(shù)學知識的傳授也是一種文化的傳承.數(shù)學教育的目的不僅僅要讓學生理解數(shù)學知識，掌握基本技能，感悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經驗，還應讓學生學會關注數(shù)學的本質，了解數(shù)學的發(fā)展進程，體會數(shù)學家的創(chuàng)新精神，欣賞數(shù)學的美妙，形成數(shù)學式的理性思維，養(yǎng)成嚴謹求真、實事求是、鍥而不舍的科學精神，自覺接受數(shù)學文化的熏陶，感受數(shù)學的無窮魅力.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出，數(shù)學文化應融入數(shù)學教學活動.在教學活動中，教師應當有意識地結合相應的教學內容，將數(shù)學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數(shù)學的發(fā)展歷程，認識數(shù)學在科學技術、社會發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和文化素養(yǎng);將數(shù)學文化融入教學，還有利于激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，有利于學生進一步理解數(shù)學，有利于開拓學生視野、提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)[1].筆者在江蘇省中學青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動中開設了一節(jié)《函數(shù)的奇偶性》的研究課，在浸潤數(shù)學文化、發(fā)展核心素養(yǎng)方面做了一些嘗試和探索，下面結合這節(jié)課談談個人的認識和體會.

一、教學實錄

（一）創(chuàng)設情境? ?提出問題

首先展示如圖1所示的圖片.

師：很高興來到遠近聞名的木瀆中學和同學們一起研究數(shù)學，今天一進校門，我就被校園美景深深地吸引，學校的大門和我們平?？吹降拿利惡⒘切窝┗ňw……都具有一個共同的特征——對稱，對稱是大自然的一種美，數(shù)學中也有對稱美，希望同學們都擁有一雙發(fā)現(xiàn)數(shù)學美的慧眼.我們初中學過哪幾種對稱？

眾生：軸對稱、中心對稱.

師：能不能列舉一些圖象具有對稱性的具體函數(shù)？

生1：[f（x）=x-1]，[f（x）=x]，[f（x）=x2].

師：類似的，我們借助幾何畫板再畫出一些函數(shù)的圖象，如[f（x）=x-2]，[f（x）=x3]，[f（x）=x4].

評析：通過創(chuàng)設情境，讓學生體會到數(shù)學來源于生活，與自然和社會生活密切相連.通過聯(lián)系生活實際，注重從學生知識背景中尋找關聯(lián)點來激發(fā)學生學習興趣，學生在體味數(shù)學的美——對稱美、簡約美、和諧美、奇異美中，接受美的熏陶.

活動1：觀察這些函數(shù)的圖象，請根據(jù)它們的特點給這些函數(shù)分類，并說說你的依據(jù).

生2：函數(shù)[f（x）=x2]，[f（x）=x-2]，[f（x）=x4]的圖象都關于y軸對稱;[f（x）=x-1]，[f（x）=x]，[f（x）=x3]的圖象都關于原點中心對稱.

師：分別給這兩類函數(shù)起個什么名字比較好？

生3：偶函數(shù)，指數(shù)都是偶數(shù);奇函數(shù)，指數(shù)都是奇數(shù).

師：同學們很了不起，1727年瑞士數(shù)學家歐拉首次提出偶函數(shù)與奇函數(shù)的概念時，就是根據(jù)指數(shù)的奇偶特點來定義的，有興趣的同學課后可查閱相關資料做進一步的研究.這樣來定義有它的局限性，后來數(shù)學家們將概念進行了推廣， 才得到今天奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義.

師：（引出課題）今天我們就一起來研究函數(shù)的奇偶性.

評析：數(shù)學家由指數(shù)的奇偶特點來定義概念的思維方式，自然而然，有其合理性.適當穿插數(shù)學史的知識，讓學生了解函數(shù)奇偶性概念的發(fā)展歷程，認識到人類認識數(shù)學概念具有“漸進性”，感受數(shù)學家研究問題的思維方式，增強學好數(shù)學的自信.

（二）探究發(fā)現(xiàn)? ?建構概念

師：剛才我們是根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性來分類的，當我們遇到不熟悉的函數(shù)時，因為不清楚函數(shù)圖象的特征，如[f（x）=x-1x]，我們就無法迅速判斷其對稱性，怎么辦？

生4：是否可以考慮從代數(shù)的角度來研究？在研究函數(shù)單調性時，我們就是先從幾個特殊函數(shù)的圖象開始，通過對函數(shù)圖象的觀察，從直觀上體驗到函數(shù)圖象的上升或下降，再進一步從數(shù)的角度給出函數(shù)單調性定義.我們可以用同樣的方法來研究函數(shù)的奇偶性.

評析：在基于學生的認知基礎上，通過緊貼學生最近發(fā)展區(qū)的舉例引起學生的認知沖突，激起學生探究新知的好奇心.教學生學會學習，重要的是對學生學習進行方法引領，讓學生學會研究數(shù)學概念的方式，如從特殊到一般、數(shù)形結合、類比學習等，以數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程為載體，為學生的概括活動搭建平臺，實現(xiàn)對新概念的意義建構.

活動2：怎樣用數(shù)量關系來刻畫函數(shù)圖象這種對稱性？

師：我們以[f（x）=x2]為例，它的圖象關于y軸對稱，怎么樣用數(shù)量關系來刻畫？請同學們注意觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？（幾何畫板演示圖象上任意一點在運動，其關于y軸的對稱點隨之運動）

生5：當自變量互為相反數(shù)時，函數(shù)值相等.（文字語言）

生6：[f（-1.5）=f（1.5）]，[f（-2.3）=f（2.3）]……

師：能用更一般性的式子來表示嗎？

生6：[f（-x）=f（x）]（符號語言）

師：如圖2，推廣到圖象關于y軸對稱的一般函數(shù)[f（x）]呢？

生6：對函數(shù)f（x）定義域內任意的x，都有[f（-x）=f（x）].

師：若對函數(shù)f（x）定義域內任意的x，都有f（-x）=f（x），那么其圖象關于y軸對稱嗎？

（學生沉思，稍等片刻后）

師：如何說明一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱？

生7：函數(shù)圖象上的任意一點關于y軸對稱的點也在這個函數(shù)圖象上.

生8：如圖3，對函數(shù)f（x）定義域內任意的x，對應著圖象上一點[P（x，f（x））]，點[P（x，f（x））]關于y軸對稱的點為[P1（-x，f（x））]，函數(shù)f（x）的圖象上橫坐標為[-x]的點[Q（-x，f（-x））]，因為[f（-x）=f（x）]，所以[P1]與[Q]兩點重合，即圖象上任意一點[P（x，f（x））]關于y軸對稱的點也在這個函數(shù)圖象上.

評析：培養(yǎng)學生主動探究，善于抓住問題的數(shù)學本質，并能夠熟練地用準確、簡明、規(guī)范的文字語言、數(shù)學符號語言、圖形語言表述研究對象的特征[2].讓學生經歷概念的建構過程，學生在理解數(shù)學的同時，在思維品質、問題解決能力、意志品質等方面得到發(fā)展，豐富了學生的文化底蘊.

定義：設函數(shù)[y=f（x）]的定義域為[A].如果對于任意的[x∈A]，都有[f（-x）=f（x）]，那么稱函數(shù)[y=f（x）]是偶函數(shù).

根據(jù)偶函數(shù)的定義可知，偶函數(shù)的圖象關于[y]軸對稱，反之也成立.

活動3：類比偶函數(shù).

由學生分組討論、合作探究、交流展示后給出奇函數(shù)的定義和性質.

定義：設函數(shù)[y=f（x）]的定義域為[A].如果對于任意的[x∈A]，都有 [f（-x）=-f（x）]，那么稱函數(shù)[y=f（x）]是奇函數(shù).

奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，反之也成立.

如果函數(shù)[f（x）]是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說函數(shù)[f（x）]具有奇偶性.

師：定義中的“任意”就是“所有”，奇偶性反映的是函數(shù)的整體性質，而單調性定義中的x是屬于定義域的某一子區(qū)間，單調性反應的可能是某函數(shù)的局部性質，也可能是其整體性質.

師：函數(shù)刻畫的是兩個變量之間的關系，研究函數(shù)自然要關心一個變量隨著另一個變量的變化怎樣變化（或者不變）這個特點.當自變量的值增大時，相應的函數(shù)值是增大還是減少？——單調性;當自變量變號，成為相反數(shù)時，相應的函數(shù)值怎么變化？也變成相反數(shù)嗎？——函數(shù)的奇偶性.

評析：類比學習是學生一種重要的學習方式，通過類比研究函數(shù)的單調性去研究奇偶性，類比偶函數(shù)去探究奇函數(shù).從整體上把握函數(shù)的性質，即函數(shù)值隨著自變量的變化規(guī)律，為后面學習函數(shù)的周期性奠定基礎.

練習1：對于定義在R上的函數(shù)[f（x）]，下列判斷正確的是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

（1）若[f（x）]是偶函數(shù)，則[f（-2）=f（2）];

（2）若[f（-2）=f（2）]，則函數(shù)[f（x）]是偶函數(shù);

（3）若[f（-2）≠f（2）]，則函數(shù)[f（x）]不是偶函數(shù);

（4）若[f（-2）=f（2）]，則函數(shù)[f（x）]不是奇函數(shù)（過程略）.

評析：這里用一個概念辨析題來進一步鞏固加深學生對新學概念內涵與外延的理解，同時也有效地培養(yǎng)學生的思辨能力，這也是學生終身學習、可持續(xù)發(fā)展的重要素質.如否定一個命題，只需一個反例即可，而要保證命題正確，則需充分考慮各種情形;再如學會從數(shù)與形兩個角度去分析與判斷、反復求證等.

練習2：你能舉出幾個具有奇偶性的函數(shù)例子？（過程略）

評析：由于前面概念教學過程中學生充分參與概念建構的過程，對奇偶函數(shù)定義域的特點問題解決就水到渠成.課堂上適時的追問引領學生進一步探究問題的本質，培養(yǎng)學生執(zhí)著的刨根究底的科學精神，有助于學生逐步形成精益求精、凡事追求完美的習慣和風格.

（三）應用數(shù)學? ?深化理解

判定下列函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù).

（1）[f（x）=x2-1]

（2）[f（x）=x+1x]

（3）[f（x）=（x-1）2]（過程略）

評析：這里總結出“一看二驗三定”的三步驟，便于學生理解記憶，學生喜聞樂見、興趣盎然.

（四）回顧反思? ?提升素養(yǎng)

讓學生反思通過本節(jié)課的學習有什么收獲，并梳理還有哪些疑問.

二、教學思考

通過“函數(shù)的奇偶性”一課的教學實踐，筆者認為在數(shù)學課堂上浸潤數(shù)學文化，發(fā)展核心素養(yǎng)不能僅僅停留在“貼標簽”層面，要結合具體的教學內容，從教學目標的確定、教學過程的實施到教學評價都要有數(shù)學文化的意識，在充分挖掘教學內容的文化內涵的基礎上，找準切入點，關注生長點，細細浸潤，長期熏陶，逐步提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

（一）挖掘教學內容的文化內涵

數(shù)學知識具有豐富而深刻的文化內涵，數(shù)學文化是蘊含在數(shù)學知識之中，通過數(shù)學教學內容反映出來的.在數(shù)學課堂上浸潤數(shù)學文化，要求數(shù)學教師既要準確理解數(shù)學文化的內涵，還要深刻挖掘教學內容的文化內涵.那么什么是數(shù)學文化？狹義理解主要指數(shù)學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發(fā)展;廣義的還包含數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育、數(shù)學發(fā)展中的人文成分、數(shù)學與社會的聯(lián)系、數(shù)學與各種文化的關系等.教師在教學設計時要從顯性和隱性兩個角度去挖掘教學內容的文化內涵.顯性的如教材內容所涉及的數(shù)學史料、數(shù)學的美、數(shù)學應用等.本節(jié)課中函數(shù)奇偶性概念的發(fā)展史、奇偶函數(shù)圖象的對稱美、數(shù)學圖形文字符號三種語言等都是顯性的文化元素;除了顯性的相關數(shù)學文化元素，那些源于教材、高于教材的內容所蘊含的數(shù)學思想方法、理性思維、情感態(tài)度、問題解決的能力等文化內涵更需要教師對教材從文化的視角進行適當?shù)募庸?、設計和挖掘.本節(jié)課中數(shù)學家研究概念的思維方式，通過類比、從特殊到一般、數(shù)形結合等研究函數(shù)性質的一般方法，善于抓住本質、學會表征、思辨能力，刨根究底、嚴謹求真的科學精神等這些學生所看不到的又很有價值的隱性的文化元素，會影響學生一生的發(fā)展，是數(shù)學教育實現(xiàn)立德樹人的目標應該著力培養(yǎng)的.

（二）確立教學目標的文化定位

讓數(shù)學成為一種文化，這是數(shù)學教育工作者應該牢固確立的教學理念，也是數(shù)學課堂的一個教學追求.因此，數(shù)學教學應將“讓數(shù)學變得文化些，還數(shù)學以文化之本來面目”作為追求的目標.要實現(xiàn)這樣的目標，則要求教師教學設計時要先確立教學目標的文化定位，在確定教學目標時要設計數(shù)學文化層面的目標，在教學評價時更要關注數(shù)學文化浸潤目標的達成與效果.確定數(shù)學文化層面的教學目標要堅持科學性、漸進性和準確性的原則.數(shù)學學科自身特有內容抽象、推理嚴謹、結論明確、應用廣泛等特征[3]，這些特征是數(shù)學文化的重要組成部分，決定了數(shù)學思想、理性精神、思維品質等的培養(yǎng)應該作為主要的數(shù)學文化層面目標.要浸潤數(shù)學文化，必須立足數(shù)學課程，防止矯枉過正，不能把數(shù)學課上成其他的課，充滿文化氣息的數(shù)學課堂還應關注數(shù)學本質.學生數(shù)學文化素養(yǎng)的提升是一個循序漸進的過程，數(shù)學文化的浸潤要在潛移默化中得以實現(xiàn)，不能急功近利，是通過教師長期的堅持滲透，通過耳濡目染、潤物細無聲、水到渠成實現(xiàn)自然生長.文化目標的確定應緊扣教學內容，符合學生已有的認知基礎，貼近學生的最近發(fā)展區(qū)，還要可測量、可操作.

（三）注重教學過程的文化浸潤

學好數(shù)學，不等于拼命做題、背公式，而是要著重領會數(shù)學的思想方法和精神實質，了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中所起的關鍵作用，自覺接受數(shù)學文化的熏陶.數(shù)學課堂要注重教學過程的文化浸潤，從新課的引入、問題情境的創(chuàng)設到數(shù)學概念的建構、例題教學、實際應用，每一個教學環(huán)節(jié)都可以適時地結合具體的教學內容進行文化浸潤.數(shù)學文化的價值不僅在于知識本身，也在于它的應用價值，數(shù)學應用是數(shù)學文化融入數(shù)學課程的結合點，多聯(lián)系實際，關注數(shù)學在日常生活中的應用;數(shù)學史是數(shù)學文化的一種載體，在數(shù)學課堂上融入數(shù)學史有助于學生理解數(shù)學、感受數(shù)學文化，從數(shù)學歷史的視角讓學生了解古今中外數(shù)學發(fā)展演變的真實過程，追溯數(shù)學問題、思想方法的來龍去脈，學習中外數(shù)學家為探索數(shù)學真理、上下求索、不畏失敗的精神品質，體悟數(shù)學文化的博大精深、數(shù)學創(chuàng)造的曲折艱辛.解題教學過程中教學生學會數(shù)學地、理性地、有條理地思考，借助數(shù)學符號、概念與原理，從數(shù)與形兩方面入手思考數(shù)學問題，并且能夠有理、有據(jù)、有事實、有方法、有方向感，思維合乎邏輯，嚴謹周密、有條理，思路清晰.如本節(jié)課中函數(shù)奇偶性概念的形成本身具有一定人文背景，通過對概念的適當追溯本源，既可以激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情，讓學生感受概念中蘊含的豐厚的歷史文化底蘊，還可以讓學生學習數(shù)學家在探求真理過程中思維方式和執(zhí)著的精神;如在上立體幾何起始課時，可以讓學生先觀察荷蘭埃舍爾的《景觀樓》圖片（圖4），在培養(yǎng)學生直觀想象能力的同時，讓學生了解數(shù)學演變發(fā)展過程中繪畫悖論這一奇妙有趣的數(shù)學歷史;再如一曲《悲傷的雙曲線》促進學生對漸近線的感性認識和本質理解，讓學生接受音樂的熏陶，也使得數(shù)學課堂情趣橫生.

數(shù)學文化源遠流長，輻射出歷史的智慧、至美的光華、意趣的高雅、大用的力量，數(shù)學教育工作者傳播數(shù)學文化義不容辭，當數(shù)學文化的魅力真正浸潤我們的教材，到達課堂、融入教學時，數(shù)學就會更加平易近人，數(shù)學教學就會通過文化層面讓學生進一步理解數(shù)學、喜歡數(shù)學、熱愛數(shù)學.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：82-83.

[2]王開林.讓數(shù)學核心素養(yǎng)根植于課堂[J].中學數(shù)學教學參考，2017（11）：10-13.

[3]戴風明.數(shù)學文化在數(shù)學教學中的缺失與對策[J].數(shù)學教育學報，2011（6）：74-77.