基于MATLAB似大地水準面精化的區(qū)域應(yīng)用

封華梅

(陜西省一八五煤田地質(zhì)有限公司，陜西 榆林 719000)

0 引言

似大地水準面指的是從地面點沿正常重力線量取正常高所得端點構(gòu)成的封閉曲面，與大地水準面的差值為正常高與正高之差[1]。大地高與正高或正常高之間的差距，分別稱為大地水準面差距和高程異常[2]。求解大地水準面差距或高程異常的主要方法有幾何法[3]、重力法[4]及組合法等[5]。利用GNSS/水準擬合法是幾何確定似大地水準面的一種方法，其中多項式擬合是建立擬合模型的一種。其原理就是在區(qū)域范圍內(nèi)的GNSS網(wǎng)中，存在若干個聯(lián)測了水準高程的GNSS點(稱GNSS水準重合點)，根據(jù)GNSS水準重合點上已知的大地高和正常高確定GNSS水準重合點上的高程異常，然后再由GNSS水準重合點的平面坐標(biāo)與高程異常的函數(shù)關(guān)系構(gòu)造某一曲面來逼近似大地水準面，進而推算出測區(qū)中未進行水準聯(lián)測的GNSS點的高程異常，從而得到測區(qū)內(nèi)所需GNSS點的正常高[6]。

1 函數(shù)模型理論

函數(shù)模型擬合的最大優(yōu)點是對于趨勢性變化的擬合效果較好，但需要合適的函數(shù)模型形式，并需要確定合適的參數(shù)個數(shù)。若函數(shù)模型的針對性強，則擬合與推估的效果好。函數(shù)模型的形式一經(jīng)確定，計算過程中一般不再變化?；谶x定的函數(shù)模型及其相應(yīng)的擬合原則，很容易求得模型中的待估參數(shù)，如此即完成了函數(shù)模型的構(gòu)造與擬合?；跀M合的函數(shù)模型，即可求解未知點的信號。然而，任何待定的模型均難以“準確”地表征逼近場的一切特征。于是難免有部分“剩余誤差”；另一方面，任何函數(shù)模型逼近均基于足夠的已知點信息，這類已知信息的任何誤差都將對函數(shù)模型的待估參數(shù)的估計帶來影響。這種影響又必將對后續(xù)未知點值的推估帶來誤差[7]。

1.1 多項式擬合模型

多項式函數(shù)的數(shù)學(xué)模型是

ξ(x，y)=F(x，y，β)

(1)

式中:ξ(x，y)—點(x，y)處的高程異常值；F(x，y，β)—所選擇的函數(shù)形式。

將(1)式表示成

ξ(x，y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xy

(2)

式中:a0～a5—待定系數(shù)。

通常采用較多的模型是二次多項式模型，以此推導(dǎo)平差過程：

利用公共點上GNSS測定的大地高和水準測量的正常高計算出該點上的高程異常，若測區(qū)內(nèi)有n(n>6)個這樣的公共點，則可算出高程異常ξi(i=1，2，…，n)，根據(jù)模型可以列出n個誤差方程

(3)

寫成矩陣形式為

V=BX-L

(4)

其中：

V=[v1v2…vn]T

X=[a0a1a2a3a4a5]T

L=[ξ1ξ2…ξn]T

根據(jù)最小二乘法原理VTPV=min可得

X=(BTB)-1BTL

(5)

就可解算出擬合方程的待定系數(shù)，然后根據(jù)模型解算出未知點上的高程異常值。

1.2 GNSS/水準擬合的精度分析

目前GNSS/水準擬合的精度主要通過內(nèi)符合精度和外符合精度來評定[8]。

內(nèi)符合精度：根據(jù)參與擬合的已知點的實測高程異常ξi與擬合高程異常ξ＇i的差值vi進行計算，若參與擬合的已知點數(shù)為n，則內(nèi)符合精度σ內(nèi)為

(6)

外符合精度:根據(jù)檢核點的實測高程異常ξi與擬合高程異常ξ＇i的差值vi進行計算，若檢核點的數(shù)為m，則外符合精度σ外為

(7)

2 基于MATLAB程序的實例分析計算

為了分析GNSS/水準擬合法在實際生產(chǎn)中應(yīng)用的可靠性，在此將利用小保當(dāng)煤礦工業(yè)廣場和風(fēng)井廣場的實測控制點進行驗證分析，采用以下評定精度的標(biāo)準：最小擬合誤差Vmin、最大擬合誤差Vmax、內(nèi)符合精度σ內(nèi)、外符合精度σ外。

2.1 測區(qū)概況介紹

該區(qū)域位于小保當(dāng)煤礦工業(yè)廣場和風(fēng)井廣場之間，形狀為長方形，東西長約3.6 km，南北寬約1.4 km，面積約5 km2。本區(qū)域西高東低，局部均相對平坦。在該區(qū)域均勻分布GNSS/水準重合點21個，在相對獨立坐標(biāo)系的成果見表1。

2.2 參與計算的已知點選取

根據(jù)選點原則，在測區(qū)均勻選擇部分GNSS/水準重合點進行參與計算，通過分析選擇XG02、XG03、XG04、XG05、XG06、XG07、XG08、XG10、XG11、XG12、XGJ8、YF04、YF06、EF03等14個點參與計算。

表1 GNSS/水準重合點成果表

2.3 基于MATLAB程序計算求取擬合系數(shù)

通過Matlab程序?qū)?shù)據(jù)進行計算，部分代碼顯示如下

format long g；

m=length(P(：，1))；

B=zeros(m，6)；

for i=1：m；

B(i，：)=[1，P(i，1)，P(i，2)，P(i，1)×P(i，1)，P(i，2)×P(i，2)，P(i，1)×P(i，2)]；

end

ss=P(：，3)；

cs=pinv(B′×B)×B′×ss。

將數(shù)據(jù)代入計算出二次多項式擬合模型系數(shù)為

a0=-0.000 000 233 687 411 332 634

a1= 0.000 104 563 005 212 421

a2=-0.000 261 039 683 129 869

a3= 0.000 000 004 476 835 742 444 78

a4=0.000 000 054 012 643 907 004 7

a5=-0.000 000 029 420 139 308 138 1

2.4 通過計算的模型系數(shù)進行精度評定

通過Matlab程序?qū)?shù)據(jù)計算精度，部分代碼顯示如下

m=length(P(：，1))；

fori=1：m；

v(i，：)=[cs(1)+cs(2)×P(i，1)+cs(3)×P(i，2)+cs(4)×P(i，1)×P(i，1)+cs(5)×P(i，2)×P(i，2)+cs(6)×P(i，1)×P(i，2)]；

end

v

利用Matlab程序進行計算，并分別給出計算結(jié)果。參與計算的點殘差值見表2，未參與計算的點殘差值見表3。

表2 參與計算點殘差值表

表3 未參與計算點殘差值表

根據(jù)上述(6)式計算，內(nèi)符合精度為σ內(nèi)=0.030 m；上述(1～10)式計算，外符合精度為σ外=0.058 m。

3 結(jié)論

(1)各種GNSS/水準擬合法的精度都達到了厘米級的精度，選用合適的模型可以代替三、四等水準測量。

(2)在平緩地區(qū)GNSS/水準擬合法的精度大于起伏地區(qū)，所以地形對GNSS/水準擬合法精度的影響較大。

(3)選擇不同擬合點數(shù)對精度的影響不是很大，通過比較并不是點數(shù)選擇的越多其擬合精度就越好。