基于混合系統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制的列車優(yōu)化運(yùn)行

王攀琦,湯旻安,2

(1.蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院,蘭州 730070； 2.蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,蘭州 730050)

隨著人工智能的發(fā)展，對(duì)高速鐵路自動(dòng)駕駛的研究也越來越廣泛，干線鐵路也開始自動(dòng)駕駛的研究。列車自動(dòng)駕駛系統(tǒng)(ATO)可以代替司機(jī)，被證明是有效提高運(yùn)輸系統(tǒng)的效率的方法[1]。而針對(duì)列車的建模大多是建立列車單質(zhì)點(diǎn)模型，未充分考慮運(yùn)行工況的變化影響，對(duì)列車動(dòng)力學(xué)行為描述不夠精確。對(duì)列車動(dòng)力學(xué)特性的掌握，關(guān)系到列車運(yùn)行的安全性，同時(shí)影響列車速度的調(diào)整和舒適性的提高，因此，建立準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型，是提高列車各項(xiàng)性能的基礎(chǔ)[2]。文獻(xiàn)[3]利用模糊PID軟切換控制算法來對(duì)模糊控制與PID之間進(jìn)行切換，實(shí)現(xiàn)了ATO系統(tǒng)調(diào)速控制的平滑過渡。文獻(xiàn)[4]將模糊推理系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行結(jié)合，用兩級(jí)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)高速列車運(yùn)行過程進(jìn)行控制。以上皆是基于連續(xù)狀態(tài)變量對(duì)列車進(jìn)行建模，對(duì)列車進(jìn)行建模的方法隨著研究的深入也不斷改進(jìn)。文獻(xiàn)[5]通過對(duì)列車車輛、列車編隊(duì)、滾動(dòng)阻力、軌道環(huán)境等方面的研究，提出了一種高速列車的非線性縱向動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)列車自動(dòng)運(yùn)行的縱向控制器設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[6]提出了混合動(dòng)力系統(tǒng)模型來描述高速列車的新特性，研究具有固定旅行時(shí)間的高速列車的最小能量駕駛策略。但是，以上文獻(xiàn)未充分考慮列車運(yùn)行過程中離散變量對(duì)列車運(yùn)行狀態(tài)的影響。因此，需要建立一種更有效的動(dòng)力學(xué)模型來描述列車的運(yùn)動(dòng)過程。近年來，關(guān)于混合系統(tǒng)的研究逐漸熱門起來?；旌舷到y(tǒng)內(nèi)部連續(xù)狀態(tài)和離散狀態(tài)相互作用相互耦合。列車運(yùn)行過程本身是一種連續(xù)變量和離散變量相互作用影響的過程，基于混合系統(tǒng)進(jìn)行建模將更有效地分析列車的運(yùn)行狀態(tài)。本文基于混合系統(tǒng)建立列車運(yùn)行動(dòng)力學(xué)方程，引入整數(shù)變量，建立基于混合系統(tǒng)的列車混合邏輯動(dòng)態(tài)模型，采用模型預(yù)測(cè)控制來設(shè)計(jì)控制器。由于列車在運(yùn)行過程中需要滿足對(duì)控制量和輸出量一定的約束條件，而必須采用二次規(guī)劃來獲得控制律的最優(yōu)解。同時(shí)為了克服預(yù)測(cè)控制計(jì)算量大的特點(diǎn)，引入階梯式控制策略，簡化運(yùn)算過程，降低控制器運(yùn)算量，提高控制器精度。

1 混合系統(tǒng)列車動(dòng)力學(xué)模型

在系統(tǒng)離散部分和連續(xù)部分聯(lián)系比較緊密時(shí)，需要對(duì)系統(tǒng)的連續(xù)部分和離散部分進(jìn)行動(dòng)態(tài)的描述，混合系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)在于可以有效地描述這種復(fù)雜的系統(tǒng)?；旌舷到y(tǒng)的建模方法在描述混合系統(tǒng)的行為特征方面的能力各不相同，不同的建模方法有各自的特點(diǎn)和便利之處，并有各自適合的混合系統(tǒng)的模型。分段仿射模型(PWA)能夠比較方便的分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；混合邏輯動(dòng)態(tài)模型(MLD)能夠很容易地建立并求解混合系統(tǒng)的優(yōu)化控制、狀態(tài)估計(jì)、系統(tǒng)的故障檢測(cè)等。研究結(jié)果表明，混合系統(tǒng)的模型在一定的附加條件下都是等價(jià)的[7-8]。目前為止，對(duì)于混合系統(tǒng)的研究也逐漸廣泛。文獻(xiàn)[9]提出用一個(gè)混合模型預(yù)測(cè)控制(MPC)框架來設(shè)計(jì)ATO系統(tǒng)的控制器，用于在硬約束條件下實(shí)現(xiàn)速度控制，但是追蹤精度還不盡理想。這里先建立分段仿射模型，便于轉(zhuǎn)化為混合邏輯動(dòng)態(tài)模型。

1.1 分段仿射模型

動(dòng)車組一般有8節(jié)車廂。令第i節(jié)車廂的質(zhì)量、速度、位移分別為mi，vi，xi，F(xiàn)qi，F(xiàn)zi，fri分別為第i節(jié)車廂受到的牽引力、制動(dòng)力和運(yùn)行阻力。一般來說，運(yùn)行阻力又包括基本運(yùn)行阻力和附加運(yùn)行阻力。運(yùn)行阻力可以表示為

(1)

由于運(yùn)行阻力的非線性，隨著列車速度的增加，運(yùn)行阻力也跟隨速度逐漸變化，因而需要對(duì)其進(jìn)行線性化處理。運(yùn)行阻力分段線性化函數(shù)表示為

fri=aj+bjvi，j=1，2，3

(2)

線性化處理后參數(shù)取值見表1。

表1 列車運(yùn)行阻力分段參數(shù)

選取其中任意一節(jié)車廂，例如第2節(jié)車廂，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

mivi(t)=Fqi-Fzi-fri(i=2，3，…，n-1)

(3)

通過分段線性化的方法處理之后，對(duì)非線性列車模型進(jìn)行離散化，得到狀態(tài)空間方程為[10]

(4)

仿真過程為了簡化計(jì)算，取列車車廂數(shù)為3，則有

x=[v1，v2，…，vn]T為列車運(yùn)行系統(tǒng)狀態(tài)變量；u=[u1，u2，…，un]T為系統(tǒng)輸入。定義δ為列車運(yùn)行狀態(tài)變量，δ=1表示牽引工況，δ=0表示制動(dòng)工況。當(dāng)δ取不同的值時(shí)，式(4)可表示為

(5)

其中，Bt，Bb分別為牽引力矩陣和制動(dòng)力矩陣。

1.2 列車運(yùn)行約束

列車運(yùn)行過程中，需要滿足一定的約束條件，包括線路、機(jī)車以及控制輸入輸出的限制。這里主要考慮的約束有：

(1)由線路條件限制的列車最大允許速度；

(2)車廂額定功率限制的最大牽引力、制動(dòng)力；

(3)乘客乘坐舒適度，即對(duì)加速度變化量的控制，其最大變化率應(yīng)控制在0.8 m/s3。

以上約束可用不等式表示為

(6)

1.3 混合邏輯動(dòng)態(tài)模型

MLD模型具有一般性，混合系統(tǒng)的多個(gè)模型都可以轉(zhuǎn)化為MLD模型。利用MLD模型可在一個(gè)集成的框架下方便地對(duì)混合系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合[11-12]。其主要思想是把命題邏輯變換成混合整數(shù)線性不等式，同時(shí)需要引人輔助變量[13]。這里建立混合邏輯動(dòng)態(tài)模型所要解決的最優(yōu)控制問題可以表述為：已知系統(tǒng)的初始狀態(tài)、期望曲線尋求最優(yōu)控制作用序列，使系統(tǒng)在該控制序列的作用下有效跟蹤目標(biāo)曲線，并使性能指標(biāo)函數(shù)最小。

對(duì)(6)式展開得到

x(k+1)=[Ax(k)+Btu(k)+fAj]δ(k)+

[Ax(k)+Bbu(k)+fj][1-δ(k)]=

Ax(k)+Bbu(k)+(Bt-Bb)u(k)δ(k)+fj

(7)

引入連續(xù)輔助變量z，令z(k)=u(k)δ(k)，可得

x(k+1)=Ax(k)+Bbu(k)+(Bt-Bb)z(k)+fj

(8)

轉(zhuǎn)換得到的MLD方程為[14-15]

(9)

輔助變量及輸入需要滿足的約束為

(10)

2 性能指標(biāo)

列車在實(shí)際運(yùn)行過程中，需要考慮執(zhí)行器飽和特性、列車安全限速和車間最大耦合力等約束條件，同時(shí)還需綜合考慮運(yùn)營準(zhǔn)時(shí)性、節(jié)能高效和乘客乘坐舒適度等性能指標(biāo)。性能指標(biāo)函數(shù)的選取是保證控制器設(shè)計(jì)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的保障，同時(shí)需要滿足列車自動(dòng)駕駛的條件，通過優(yōu)化指標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，使系統(tǒng)在未來的輸出滿足系統(tǒng)跟蹤要求[16]。

(1)準(zhǔn)時(shí)性和定點(diǎn)停車

(x1(k+i|k)-xr(k+i))2}

(11)

vr，xr分別為參考曲線的速度和位移。

(2)乘客乘坐舒適度

(12)

(3)運(yùn)行節(jié)能

(13)

綜上所述，總的性能指標(biāo)函數(shù)J將由上面3個(gè)部分組成，根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的權(quán)重，總的優(yōu)化函數(shù)為

(14)

將其化簡為向量形式有

(15)

M是優(yōu)化變量的個(gè)數(shù)，也即控制增量的維數(shù)，P為預(yù)測(cè)時(shí)域的步長，即是對(duì)未來P個(gè)時(shí)刻進(jìn)行預(yù)測(cè)。M越小，控制機(jī)動(dòng)性越弱。Q為誤差權(quán)重矩陣，R為控制權(quán)矩陣?？刂茩?quán)重矩陣R的作用是對(duì)Δu的變化加以適度的限制。它可以防止控制量過于劇烈的變化。

在預(yù)測(cè)控制中，為了使輸出y(k)按一定響應(yīng)速度平滑地過渡到設(shè)定值，參考軌跡通常取為下一階滯后模型，有

(16)

式中，α∈[0，1)為輸出柔化系數(shù)，當(dāng)需要緩慢過渡時(shí)，可選擇α接近于1。這樣可以使w(k+j)平滑地過渡到設(shè)定值yr，同時(shí)也可使未來控制序列得到“柔化”[17]。

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 預(yù)測(cè)控制

預(yù)測(cè)控制只注重模型的功能，而不注重模型的結(jié)構(gòu)，通常只實(shí)施當(dāng)前時(shí)刻的控制作用。采用模型預(yù)測(cè)控制來設(shè)計(jì)列車控制器，其優(yōu)勢(shì)在于可以充分考慮系統(tǒng)輸入及狀態(tài)約束同時(shí)處理多目標(biāo)優(yōu)化問題等優(yōu)點(diǎn)[18]。

模型預(yù)測(cè)控制一般包括預(yù)測(cè)模型、滾動(dòng)優(yōu)化、反饋校正3個(gè)部分。令γ為優(yōu)化變量

未來輸出預(yù)測(cè)表示為

假定系統(tǒng)是時(shí)不變的，由混合邏輯動(dòng)態(tài)模型的一般形式可得x(k)，y(k)相應(yīng)的預(yù)測(cè)值

B2δ(k+j-1-i)+B3z(k+j-1-i)]

(17)

j-1-i)+B2δ(k+j-1-i)+

B3z(k+j-1-i)]

(18)

由式(8)可知，B2=0，所以有

X(k)=Fxx(k)+Gxγ

Y(k)=Fyx(k)+Gyγ

(19)

其中

(20)

Fy=CFx，Gy=CGx

(21)

(22)

將預(yù)測(cè)輸出量代入性能指標(biāo)中，得到將最小化性能指標(biāo)等價(jià)于函數(shù)最小化混合整數(shù)二次規(guī)劃問題如下[19]

J=min{1/2γTHγ+f′γ}

s.t.Aeqγ≤beq

中國高鐵國際化，為中國發(fā)展提供了更加廣闊的地域空間。高鐵作為連接世界的紐帶，將不斷把中國的產(chǎn)業(yè)、文化和思想傳播出去，讓全世界見到一個(gè)全新的中國，實(shí)現(xiàn)中華民族的偉大復(fù)興。

(23)

其中

f=(Gy′Q′-(Fy-W))′

(24)

W為柔化后的參考軌跡曲線。由于邏輯變量及不等式約束的出現(xiàn)，上式?jīng)]有解析解，需要將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)混合整數(shù)二次規(guī)劃問題進(jìn)行求解。

考慮約束條件式(5)、式(10)，對(duì)其轉(zhuǎn)化得到

(25)

式中，F(xiàn)t，F(xiàn)b分別為每節(jié)車廂的最大牽引力和最大制動(dòng)力。

選取有效集法來解決二次規(guī)劃問題，通過求解等式約束的可行解，并不斷加以改進(jìn)，直至獲得最優(yōu)解。主要步驟為：

(1)假設(shè)在第j次迭代中獲得可行解γ(j)；

(2)考慮改進(jìn)可行解γ(j)+Δγ，代替γ；

(3)將有條件約束轉(zhuǎn)化為無條件約束，即將其寫成拉格朗日函數(shù)，從中獲得優(yōu)化解Δλ(j)和λ(j)；

(4)判斷是否獲得了最優(yōu)解。

3.2 階梯式控制策略

列車控制系統(tǒng)要求快速響應(yīng)的實(shí)時(shí)控制，計(jì)算量大，除了要求輸出有效地跟蹤期望值，控制增量Δu需要避免劇烈變化。這里在預(yù)測(cè)控制的基礎(chǔ)上引入階梯式控制策略，可以避免控制量頻繁波動(dòng)，使控制量盡可能朝著一個(gè)方向變化。具體方法為使控制量以成比例的形式顯示，實(shí)現(xiàn)對(duì)預(yù)測(cè)控制算法的優(yōu)化。

用增量形式來表示控制量，可以得到從k時(shí)刻開始的未來控制表示為

(26)

對(duì)于用增量形式表示的控制量，引入階梯因子

(27)

其中，β即為階梯因子。β的大小可對(duì)控制量變化快慢進(jìn)行控制。因而有

(28)

(29)

基于模型預(yù)測(cè)控制算法步驟如下：

(1)根據(jù)預(yù)測(cè)模型和運(yùn)行約束集合式形成優(yōu)化問題；

(2)采樣當(dāng)前時(shí)刻k列車的速度和位置，獲得系統(tǒng)初始狀態(tài)x(k)；

(3)選取合適的控制器參數(shù)和性能指標(biāo)函數(shù)權(quán)重矩陣；

(4)求解混合整數(shù)二次規(guī)劃問題，得到最優(yōu)序列Δu(k)；

(5)將最優(yōu)解序列的第一項(xiàng)用于系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)；

(6)在k=k+1時(shí)刻重復(fù)上述步驟，反復(fù)迭代，直到控制過程結(jié)束[20]。

4 仿真結(jié)果分析

高速鐵路列車現(xiàn)多為動(dòng)力分散型動(dòng)車組，速度一般不超過350 km/h，本文選取CRH3型動(dòng)車組參數(shù)如表2所示?？刂破鞯膮?shù)如表3所示。速度控制器的功能實(shí)質(zhì)上是保證被控列車能夠準(zhǔn)確及時(shí)地跟隨列車運(yùn)行過程中的目標(biāo)曲線(該曲線在1 100 s和1 400 s進(jìn)行制動(dòng)減速)。這里讓列車跟隨一條時(shí)變的線段，如輸出圖形中紅色曲線所示。

表2 CRH3列車參數(shù)

表3 控制器參數(shù)

case1選取表3中控制器參數(shù)進(jìn)行Matlab仿真，結(jié)果如圖1所示。

圖1 case1仿真結(jié)果

在輸出曲線圖中，紅色為參考曲線，藍(lán)色為輸出曲線。case1結(jié)果表明，當(dāng)控制器權(quán)重及預(yù)測(cè)時(shí)域選擇恰當(dāng)時(shí)，不僅可以保證列車速度能夠很好地跟蹤上目標(biāo)曲線，還可使輸入在約束范圍內(nèi)。

case2選取表3中控制器參數(shù)，得到傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制方法仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 case2仿真結(jié)果

case1與case2對(duì)比可得，兩種控制器都能保證速度追蹤的效果，引入階梯式控制策略后的控制器相比較傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制，響應(yīng)速度更快，追蹤精度較好。在實(shí)際運(yùn)用中，應(yīng)根據(jù)線路、環(huán)境等各項(xiàng)情況，應(yīng)用合適的控制器。

case3在case1的基礎(chǔ)上，減小預(yù)測(cè)時(shí)域，使P=6，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 case3仿真結(jié)果

case4在case3的基礎(chǔ)上，保持控制時(shí)域不變，繼續(xù)減小預(yù)測(cè)時(shí)域，使P=3，結(jié)果如圖4所示。

圖4 case4仿真結(jié)果

case1、case3、case4對(duì)比可知，當(dāng)逐漸減小預(yù)測(cè)時(shí)域時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度越來越慢，誤差也越來越大。說明預(yù)測(cè)時(shí)域?qū)τ谙到y(tǒng)的穩(wěn)定性與快速性有較大影響。因此，預(yù)測(cè)時(shí)域和控制時(shí)域需要進(jìn)行考量后再進(jìn)行選擇，避免過大或者過小極端情況出現(xiàn)。

case5在case1的基礎(chǔ)上，增大控制權(quán)重R′=2R，結(jié)果如圖5所示。

圖5 case5仿真結(jié)果

case1、case5對(duì)比可知，當(dāng)保持預(yù)測(cè)時(shí)域不變，增大控制權(quán)重為原來的2倍時(shí)，系統(tǒng)輸入值變小，同時(shí)也導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)慢，但波動(dòng)較小，控制律的變化更為平緩。因此，應(yīng)根據(jù)實(shí)際的需求來調(diào)節(jié)權(quán)重矩陣，來保證目標(biāo)曲線跟蹤的效果。

5 結(jié)語

針對(duì)列車自動(dòng)駕駛系統(tǒng)，首先基于混合系統(tǒng)建立列車混合邏輯動(dòng)態(tài)模型，其次基于傳統(tǒng)的模型預(yù)測(cè)控制，采用基于階梯式策略的預(yù)測(cè)控制。利用基于混合系統(tǒng)的混合邏輯動(dòng)態(tài)模型，對(duì)列車建模可充分地考慮離散變量的影響。該控制算法通過二次規(guī)劃逐步逼近方式求得最優(yōu)控制律，能有效地滿足約束條件。實(shí)施階梯式策略的控制器，達(dá)到了減小計(jì)算負(fù)擔(dān)的目的，在實(shí)際應(yīng)用中有更強(qiáng)的適應(yīng)能力。