基于張量網(wǎng)絡算法的自旋梯子系統(tǒng)的弦序參量的研究

李生好, 雷國平

(1.重慶工程職業(yè)技術學院, 重慶 402260; 2.重慶大學現(xiàn)代物理中心, 重慶 400060; 3.重慶三峽學院電子與信息工程學院, 重慶 404000)

1 引 言

近年來, 量子信息理論為量子多體系統(tǒng)的量子相變的研究掀開了嶄新的一頁. 通過量子多體系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)得到的局域序參量或非局域序參量來研究量子相變, 這主要由于兩方面的進展, 一是不斷發(fā)展的基于張量網(wǎng)絡表示的準嚴格數(shù)值算法, 為量子多體系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)研究提供了更加有效的工具; 二是量子多體系統(tǒng)不管是否存在朗道對稱性破缺序還是存在其他非局域序, 為了更好地理解所涉及的內(nèi)稟序, 系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)均可以用來刻畫重整化群流和相應的量子相變[1-4].

在凝聚態(tài)物理研究中, 自旋梯子系統(tǒng)已經(jīng)成為一個課題, 并取得了很大的進展[4-8]. 人們通過對自旋1/2的海森堡多腿自旋梯子類物質的研究, 如對應的兩腿自旋梯子模型的SrCu2O3[9]和對應的三腿自旋梯子模型的Sr2Cu3O5[10], 發(fā)現(xiàn)自旋梯子系統(tǒng)存在著緩慢衰減的反鐵磁關聯(lián), 會隨著自旋梯子的自旋鏈條(支腿)的數(shù)目的增加, 漸漸轉變到二維系統(tǒng)所具有的長程關聯(lián), 形成復雜得令人驚訝的維度過渡行為. 在這個維度過渡過程中, 自旋梯子系統(tǒng)自旋鏈條(支腿)的數(shù)目的奇偶性與其性質有著密切的關系, 也就是偶數(shù)自旋鏈條(支腿)系統(tǒng)和奇數(shù)自旋鏈條(支腿)系統(tǒng)的性質有著本質的不同[11]. 當系統(tǒng)自旋鏈(支腿)的數(shù)目越多時, 其準一維結構空間將越趨向于二維結構空間, 因而對于自旋梯子層狀類物質的探討可以為二維自旋結構物質的理解提供豐富的信息. 當對具有自旋梯子層狀類物質摻入空穴類雜質時, 系統(tǒng)為了能量體系最穩(wěn)定, 空穴將占據(jù)自旋梯子鏈間(橫檔)兩端的格點形成空穴對, 從而可能導致超導態(tài)的出現(xiàn)[12, 13].

自旋梯子系統(tǒng)存在著很強的量子漲落, 因而絕大多數(shù)自旋梯子模型幾乎是不能嚴格求解的. 為了得到自旋梯子系統(tǒng)的基態(tài), 人們相繼提出了多種數(shù)值方法來研究自旋梯子系統(tǒng), 主要使用的數(shù)值方法包括有變分量子蒙特卡洛方法(VQMC)、平均場理論[14]、精確對角化方法(ED)[15]、密度矩陣重整化群方法(DMRG)[16]、張量網(wǎng)絡算法(TN)[6, 7]等. 如含有次近鄰相互作用(即自旋梯子系統(tǒng)的對角相互作用)的兩腿自旋1/2阻挫梯子系統(tǒng), 人們通過多種數(shù)值方法來研究發(fā)現(xiàn)其具有復雜的相圖. 在梯子系統(tǒng)鏈間(橫檔)存在鐵磁耦合競爭的情況下, 王孝群等人[17]與Hikihara等人[18]運用DMRG進行了研究, 在Rung-Singlet (RS)相與Haldane相之間是否存在一個狹窄區(qū)域, 即Columnar dimer (CD)相, 分別給出了不同的結果. 在梯子系統(tǒng)鏈間(橫檔)存在反鐵磁耦合競爭的情況下, 也存在著這類情況[6]. 而對于基于矩陣乘積態(tài)(MPS)的自旋梯子系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡算法來說, 可以通過弦序參量來研究自旋梯子系統(tǒng)的量子相變和量子臨界現(xiàn)象, 解決此類問題, 其所模擬的系統(tǒng)結果將有著有著相當高的精度和相當快的效率.

本文基于張量網(wǎng)絡算法的自旋梯子系統(tǒng)的弦序參量, 來研究刻畫系統(tǒng)的量子相變, 從而得到相應的量子系統(tǒng)相圖. 對于自旋梯子系統(tǒng)來說, 張量網(wǎng)絡算法能夠模擬生成基態(tài)波函數(shù), 從而可以計算系統(tǒng)可能存在的非局域序參量, 來探測自旋梯子系統(tǒng)的量子相變點, 以及自旋梯子系統(tǒng)的量子相圖[6,19-21], 這為我們提供了一個研究自旋梯子系統(tǒng)的量子多體物理性質強有力的工具. 為了說明這個方法, 本文研究了兩腿與三腿Staggering dimerization (SD)海森堡自旋梯子模型, 通過張量網(wǎng)絡算法得到的基態(tài)波函數(shù), 來研究系統(tǒng)存在的非局域序參量, 即弦序參量, 從而來說明自旋梯子系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡算法是有效的, 運用非局域的弦序參量來探測自旋梯子系統(tǒng)的量子相變和量子臨界性是成功的.

2 弦序參量

如果系統(tǒng)沒有破壞任何對稱性, 或系統(tǒng)缺乏相關的局域序參量, 或者系統(tǒng)不存在朗道對稱性破缺序, 為了更好地理解系統(tǒng)所涉及量子態(tài)的內(nèi)稟序, den Nijs和Rommelse引入了所謂的拓撲弦序參量[22-24]的概念, 來完整地研究一些缺乏局域序的拓撲量子相變的量子系統(tǒng). 系統(tǒng)沒有破壞任何對稱性的一些非局域的拓撲弦序參量, 會通過對偶變換, 成為類似于系統(tǒng)的局域序參量的形式, 這也給傳統(tǒng)意義上的朗道對稱性破缺序的相變理論帶來一些豐富和發(fā)展.

對于缺乏傳統(tǒng)意義上的局域序參量的自旋梯子系統(tǒng)的某些相, 如Rung-Singlet相中, 系統(tǒng)鏈間上格點自旋反向形成成對自旋單態(tài), 其乘積可以直接看成基態(tài)波函數(shù)的表示. 系統(tǒng)的激發(fā)態(tài)有能隙, 其關聯(lián)函數(shù)呈指數(shù)性衰減, 故Rung-Singlet相的基態(tài)沒有破壞任何對稱性, 所以缺乏局域序參量, 而是存在非局域的弦序序參量. 對于自旋梯子系統(tǒng)的Haldane相, 鏈間上格點自旋同向, 由兩個自旋1/2形成一個自旋1的自旋三態(tài), 其局域自旋三態(tài)的乘積可以直接看成基態(tài)波函數(shù)的表示. 因此, Haldane相與Rung-Singlet相都可以通過非局域序參量(弦序參量)來進行刻畫, 其在本質上完全相同. 這里, 定義自旋梯子系統(tǒng)的弦序參量為

(1)

對于自旋梯子系統(tǒng)來說, 其傳統(tǒng)意義上的局域序參量能夠由基態(tài)波函數(shù)得到的約化密度矩陣讀出, 如果系統(tǒng)不存在傳統(tǒng)意義上的朗道對稱性破缺序, 而存在非局域的弦序參量, 那么其能夠從式(1)得到.

3 理論模型與數(shù)值模擬

3.1 兩腿Staggering dimerization(SD)自旋梯子模型

無限長自旋1/2兩腿SD自旋梯子模型的哈密頓量為

(2)

其中,Si,α為作用在第α條自旋鏈條(支腿)的第i個格點上的Pauli算符.J表示在鏈間(橫檔)上的耦合系數(shù).Ji,α表示在第α條自旋鏈條(支腿)的第i個格點與第i+1個格點之間的耦合系數(shù), 按照i+α奇偶性進行交錯取值,Ji,α=1+(-1)i+αδ, 如圖1.

圖1 兩腿SD自旋1/2海森堡自旋梯子示意圖. 系統(tǒng)具有沿腿方向平移兩個格點不變性. 其中Ji,α為沿腿方向最近鄰耦合常數(shù), J為橫檔上耦合常數(shù).Fig. 1 Generalized infinite two-leg SD spin ladders with exchange interaction constants Ji,α and J along the leg and rung directions, respectively.

本文研究的無限長兩腿SD自旋梯子模型, 耦合系數(shù)為Ji,α=1+(-1)i+αδ,Ji,α隨δ改變而改變,即i+α為奇數(shù)與i+α為偶數(shù)時,Ji,α取值會有差異. 在圖1中, 當i+α為奇數(shù)時,Ji,α=J1,2; 當i+α為偶數(shù)時,Ji,α=J1,1. 考慮dimerization發(fā)生沿自旋梯子的兩條鏈條(支腿)方向上, 給定一個δ值, 選擇系統(tǒng)鏈間(橫檔)上的耦合系數(shù)J作為控制參量. 對于這樣的(δ,J)取值, 很容易得出無限長兩腿SD海森堡自旋梯子的性質[16]: (i)δ=1時, 此自旋梯子系統(tǒng)是交錯二聚物梯子系統(tǒng); (ii)δ=0,J>0時, 此自旋梯子系統(tǒng)是兩條相同自旋鏈條耦合的有能隙的海森堡系統(tǒng); (iii)δ=0,J=0時, 此自旋梯子系統(tǒng)退化成兩條沒有耦合的無能隙的海森堡自旋鏈.

通過基于矩陣乘積態(tài)(MPS)的自旋梯子系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡算法, 給定一個δ值, 選取自旋梯子模型鏈間(橫檔)上的耦合系數(shù)J, 作為控制參量來進行計算機模擬, 得到自旋梯子系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù), 根據(jù)系統(tǒng)的約化密度矩陣, 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)不存在朗道對稱性破缺序, 也就是說自旋梯子系統(tǒng)沒有局域序參量, 我們通過應用非局域的奇偶弦序參量來探測量子相變點, 得到系統(tǒng)相圖. 對于兩腿SD自旋1/2梯子系統(tǒng), 奇弦序參量Oodd與偶弦序參量Oeven可以由式(1)計算得到. 一般地說, 通過計算奇弦序參量Oodd與偶弦序參量Oeven, 可以確定這個相為Rung-Singlet相還是Haldane相.

圖2 兩腿梯子系統(tǒng)奇弦序參量的計算示意圖. 紅色實線方框表示或作用, 黑色虛線方框表示作用. (i)abcd單位元胞的AB結構; (ii)abcd單位元胞的AA結構; (iii)badc單位元胞的BA結構; (iv)badc單位元胞的BB結構. 其中和是轉移矩陣E1的最大左、右本征矢量,和是轉移矩陣E2的最大左、右本征矢量.Fig. 2 Sketch of calculation of odd string order parameters in the two-leg spin ladder system.

圖3 兩腿梯子系統(tǒng)偶弦序參量的計算示意圖. 紅色實線方框表示或作用, 黑色虛線方框表示作用. (i)abcd單位元胞的AB結構; (ii)abcd單位元胞的AA結構; (iii)badc單位元胞的BA結構; (iv)badc單位元胞的BB結構. 其中和是轉移矩陣E1的最大左、右本征矢量,和是轉移矩陣E2的最大左、右本征矢量.Fig. 3 Sketch of calculation of even string order parameters in the two-leg spin ladder system.

選擇系統(tǒng)數(shù)值模擬截斷維數(shù)為D=6, 經(jīng)過計算,AA結構的弦序參量Oodd、Oeven與BB結構的弦序參量Oodd、Oeven數(shù)值均為0;AB結構的弦序參量Oodd、Oeven與BA結構的弦序參量Oodd、Oeven數(shù)值分別相同, 如圖4所示. 原因在于, 具有平移兩個格點不變性的兩腿梯子模型, 存在著特定對稱性, 即在交換兩自旋鏈的同時, 加上沿自旋鏈方向平移一個格點的一并操作下, 模型具有不變性, 所以不管選擇哪一種單位元胞來計算奇弦序參量Oodd與偶弦序參量Oeven, 都能得到完全相同的值.

在圖4中, 對于兩腿SD海森堡自旋1/2梯子系統(tǒng), 畫出了δ=0.4,J作為控制參數(shù)時的奇弦序參量Oodd和偶弦序參量Oeven. 我們選擇系統(tǒng)格點j-i為奇數(shù), 這時Oodd和Oeven為系統(tǒng)的弦序參量. 當J<1.03時, 自旋梯子系統(tǒng)只有Oodd≠0和Oeven=0, 顯示這是Haldane相; 而當J>1.03時, 自旋梯子系統(tǒng)只有Oodd=0和Oeven≠0, 顯示這是Rung-Singlet相; 當然當J=1.03時, 系統(tǒng)有Oodd=0和Oeven=0. 此時弦序參量為連續(xù)的, 說明系統(tǒng)相變是連續(xù)相變, 當增大截斷維數(shù)D時, 連續(xù)相變點Jc=1.03保持不變.

圖4 兩腿自旋梯子系統(tǒng)的弦序參量Oodd與Oeven. 這里, 截斷維數(shù)為6.δ=0.4時, Jc =1.03為連續(xù)相變點.Fig. 4 The string order parameters Oodd and Oeven for the two-leg spin ladder as a function of J at δ=0.4. The phase transition takes place at Jc =1.03. Here, the truncation dimension is 6.

圖5 兩腿SD自旋梯子系統(tǒng)的(δ,J)相圖. 分別對應著RS相與Haldane相.Fig. 5 The phase diagram of the two-leg spin ladder with staggering dimerization in the (δ,J) plane. These are the RS and Haldane phases.

3 .2 三腿SD海森堡自旋梯子模型

研究的無限長三腿SD海森堡自旋梯子模型的哈密頓量為

(3)

其中,Si,α為作用在第α條自旋鏈條(支腿)的第i個格點上的Pauli算符;J為在相鄰鏈間(橫檔)上的耦合系數(shù);Ji,α為在第α條自旋鏈條(支腿)上的第i個格點與第i+1個格點之間的耦合系數(shù),Ji,α=1+(-1)i+αδ, 如圖6所示.

圖6 三腿SD海森堡自旋梯子示意圖. 系統(tǒng)具有沿腿方向平移兩個格點不變性, 其中Ji,α為沿腿方向最近鄰耦合常數(shù), J為橫檔上耦合常數(shù).Fig. 6 Generalized infinite three-leg SD spin ladders with exchange interaction constants Ji,α and J along the leg and rung directions, respectively.

本文研究的無限長三腿SD海森堡自旋梯子模型的耦合系數(shù)Ji,α=1+(-1)i+αδ, 隨δ改變而改變.無限長三腿SD海森堡自旋梯子模型和上文中研究的兩腿SD自旋梯子模型的性質有著一些不同[25]: (i)δ=0時, 此系統(tǒng)變?yōu)槿龡l相同的自旋鏈條且沒有dimerization的無能隙的海森堡梯子; (ii)δ=1時, 此系統(tǒng)變成三條相同的相互交錯二聚物的自旋鏈; (iii)δ≠0,J≠0時, 此系統(tǒng)中的交錯二聚物相, 除了在臨界點處沒有能隙之外, 其它情況都是有能隙的. 近來人們用DMRG對δ≠0,J≠0這樣的參數(shù)取值條件, 進行了研究[25,26].

通過基于矩陣乘積態(tài)(MPS)的自旋梯子系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡算法, 給定一個δ值, 以相鄰鏈間(橫檔)上的耦合系數(shù)J為控制參量, 來進行計算機模擬而得到系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù). 根據(jù)系統(tǒng)的約化密度矩陣, 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)同樣不存在朗道對稱性破缺序, 我們同樣可以通過應用非局域的奇偶弦序參量來探測量子相變點, 區(qū)分不同的相, 得到系統(tǒng)相圖.

選擇系統(tǒng)數(shù)值模擬截斷維數(shù)為D=6, 經(jīng)過計算, 如圖9所示,AB結構的弦序參量Oodd、Oeven(上圖)與BA結構的弦序參量Oodd、Oeven(下圖)數(shù)值分別不一致. 而AA結構的弦序參量Oodd、Oeven與BB結構的弦序參量Oodd、Oeven數(shù)值均為0. 這一點與上文中研究兩腿SD海森堡梯子系統(tǒng)的結果不一樣. 這是因為對于此自旋梯子系統(tǒng), 交換第一條與第三條這兩條自旋鏈, 中間的那條自旋鏈保持不變, 與此同時在沿自旋鏈方向平移一個格點一起進行操作, 這時自旋梯子系統(tǒng)不會再保持不變性, 因而此自旋梯子系統(tǒng)弦序參量Oodd與Oeven數(shù)值會有兩個結果.

圖7 三腿梯子系統(tǒng)奇弦序參量的計算示意圖. 紅色實線方框表示或作用, 黑色虛線方框表示作用. (i)abcdef單位元胞的AB結構; (ii)abcdef單位元胞的AA結構; (iii)badcfe單位元胞的BA結構; (iv)badcfe單位元胞的BB結構. 其中和是轉移矩陣E1的最大左、右本征矢量,和是轉移矩陣E2的最大左、右本征矢量.Fig. 7 Sketch of calculation of odd string order parameters in three-leg spin ladder system.

圖8 三腿梯子系統(tǒng)偶弦序參量的計算示意圖. 紅色實線方框表示或作用, 黑色虛線方框表示作用. (i)abcdef單位元胞的AB結構; (ii)abcdef單位元胞的AA結構; (iii)badcfe單位元胞的BA結構; (iv)badcfe單位元胞的BB結構.Fig. 8 Sketch of calculation of even string order parameters in three-leg spin ladder system.

在圖9中, 對于三腿SD海森堡梯子系統(tǒng), 畫出了δ=0.4,J作為控制參數(shù)時的弦序參量Oodd和Oeven. 我們選擇系統(tǒng)格點j-i為奇數(shù), 這時Oodd和Oeven為系統(tǒng)的弦序參量. 對于選擇“abcdef”元胞即AB結構, 圖9(上圖)所示, 當橫檔耦合系數(shù)J<0.80時, 弦序參量Oodd≠0和Oeven=0, 類似于Haldane相; 當橫檔耦合系數(shù)J>0.80時, 弦序參量Oodd=0和Oeven≠0, 類似于RS相. 對于另一種選擇“badcfe”元胞即BA結構, 圖9(下圖)所示, 當橫檔耦合系數(shù)J<0.80時, 弦序參量Oodd=0和Oeven≠0, 類似于RS相; 當橫檔耦合系數(shù)J>0.80時, 弦序參量Oodd≠0和Oeven=0, 類似于Haldane相. 但不管怎么選擇AB結構或BA結構, 都能發(fā)現(xiàn)當橫檔耦合系數(shù)J=0.80時, 弦序參量Oodd=0和Oeven=0, 這說明三腿SD海森堡梯子系統(tǒng)在δ=0.4時, 其相變點在Jc=0.80, 為連續(xù)相變. 當增大截斷維數(shù)D時, 系統(tǒng)量子相變點Jc與弦序參量幾乎沒有漂移. 在圖9中, 我們注意到當選擇元胞abcdef時, 獲得的奇弦序參量Oodd與文獻[25,26]中由DMRG方法計算出來的奇弦序參量值幾乎一致.

圖9 三腿SD自旋梯子系統(tǒng)的弦序參量Oodd與Oeven. 這里, 兩種不同的元胞選擇(上圖與下圖)都顯示在截斷維數(shù)為6時,Jc=0.80為連續(xù)相變點.

Fig. 9 The string order parametersOoddandOevenfor the three-leg spin ladder with staggering dimerization as a function ofJatδ=0.4. Here, the top and the bottom panels correspond to two different choices of the unit cell for the ladder system, respectively. For both choices, the phase transition point is located atJc=0.80. The truncation dimension is 6.

圖10 三腿SD自旋梯子系統(tǒng)的(δ,J)相圖.Fig. 10 The phase diagram of the three-leg spin ladder with staggering dimerization in the (δ,J) plane.

本算法應用于三腿梯子系統(tǒng)與兩腿梯子系統(tǒng), 同樣是收斂的, 同樣可以得到基態(tài). 對于本文中的三腿梯子系統(tǒng)具有平移兩個格點不變性, 所以弦序參量是有兩種選擇方式, 而這兩種選擇方式所計算出來的奇偶弦序的值恰恰是不同的.

4 結 論

近幾年, 張量網(wǎng)絡算法成為在數(shù)值計算領域中的研究強關聯(lián)電子量子格點系統(tǒng)最為重要的算法, 是基于張量網(wǎng)絡表示的高效的數(shù)值模擬算法. 人們一直在發(fā)展和優(yōu)化, 以盡可能的利用有限的計算資源, 直接對熱力學極限下的量子強關聯(lián)系統(tǒng)進行最大程度的數(shù)值模擬. 本文通過基于矩陣乘積態(tài)(MPS)的自旋梯子系統(tǒng)的張量網(wǎng)絡算法, 摸索研究自旋梯子量子多體系統(tǒng)的弦序參量,探測系統(tǒng)的量子相變點, 刻畫系統(tǒng)的量子臨界現(xiàn)象, 獲取系統(tǒng)的量子相圖, 這為我們提供了一個研究自旋梯子系統(tǒng)的量子多體物理性質強有力的工具和方法: 在不知道系統(tǒng)是否缺乏朗道對稱性破缺序或者系統(tǒng)是否存在相關的拓撲弦序的情況下, 可以先得到系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù), 如果基態(tài)缺乏朗道對稱性破缺序, 或者通過另外方式找出系統(tǒng)存在若干非局域的弦序參量, 來完整地描述一些拓撲量子相變點, 獲得系統(tǒng)的量子相圖, 從而豐富和發(fā)展了傳統(tǒng)的朗道對稱性破缺的相變理論.