高階振型振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置研制與教學(xué)應(yīng)用

龐新宇, 江旺旺, 任智軍

(1. 太原理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 山西 太原 030024； 2. 煤礦綜采裝備山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山西 太原 030024； 3. 西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 陜西 西安 710049)

振動(dòng)學(xué)涉及機(jī)械類(lèi)的多門(mén)專(zhuān)業(yè)課程,高階振動(dòng)系統(tǒng)又是振動(dòng)學(xué)中的一類(lèi)研究對(duì)象。為了使學(xué)生對(duì)振動(dòng)現(xiàn)象有更深刻的認(rèn)識(shí),加深對(duì)理論知識(shí)的理解,各種振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置及教學(xué)系統(tǒng)相繼開(kāi)發(fā)。江蘇大學(xué)的李建康等[1]建立了多自由度系統(tǒng)模態(tài)振型實(shí)驗(yàn)臺(tái),用于研究在頻率可變的水平激勵(lì)下各個(gè)質(zhì)量塊的振型狀態(tài)；中國(guó)礦業(yè)大學(xué)的張曉光等[2]搭建了含有故障的齒輪減速器振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置；華中科技大學(xué)的何嶺松[3]設(shè)計(jì)了用于描述多自由度振動(dòng)模型的仿真系統(tǒng)；蔣志峰[4]等、張予等[5]利用Matlab對(duì)單自由度系統(tǒng)受不同激振頻率的受迫振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了仿真分析；付志一等[6]設(shè)計(jì)了三自由度扭振實(shí)驗(yàn)裝置,研究系統(tǒng)本身的振型及附加質(zhì)量和剛度對(duì)于系統(tǒng)振型的影響；梁慶等[7]基于LabVIEW開(kāi)發(fā)了多自由度懸臂梁振動(dòng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)系統(tǒng),可實(shí)現(xiàn)單自由度、兩自由度和三自由度等多種實(shí)驗(yàn)方案,并利用有限元軟件對(duì)模型進(jìn)行模態(tài)分析與比較；張蔚波等[8]研制了簡(jiǎn)支梁形式的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)裝置,分析了不同性質(zhì)激勵(lì)下的響應(yīng)；李兆軍等[9]研制了包含離散質(zhì)量、連續(xù)梁、軸和組合結(jié)構(gòu)的綜合振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置。上述的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置及教學(xué)系統(tǒng),有的局限于單自由度的振動(dòng)研究,有的則專(zhuān)門(mén)針對(duì)某一實(shí)體部件而進(jìn)行研究,有關(guān)高階振動(dòng)的振型可視化及固有頻率的計(jì)算則涉及非常少,能夠在理論和實(shí)驗(yàn)兩方面都能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)學(xué)生的理解能力的裝置更少。

為此本文研制了一套適用于高階振型振動(dòng)系統(tǒng)教學(xué)的實(shí)驗(yàn)裝置。該裝置可實(shí)現(xiàn)對(duì)固有頻率的理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)試,可直接觀察不同階次的振型。該實(shí)驗(yàn)裝置可根據(jù)需要設(shè)計(jì)為不同的階數(shù),本文以三階系統(tǒng)為例進(jìn)行介紹。

1 實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

本實(shí)驗(yàn)裝置主要由主體框架、振動(dòng)傳感器、千分表、磁性表座、立柱、定滑輪、激振器、信號(hào)發(fā)生器、數(shù)據(jù)采集儀和頻閃儀等組成,如圖1所示。主體框架為3層鋼架結(jié)構(gòu),由空心鋼管和側(cè)板固接；振動(dòng)傳感器為加速度傳感器,固定在主體框架的頂層側(cè)板上；千分表主要用來(lái)測(cè)量框架受到靜力作用時(shí)各層的位移變化量；立柱用于固定測(cè)算振動(dòng)體柔度矩陣的定滑輪；激振器為主體框架提供受迫振動(dòng)的激勵(lì),通過(guò)信號(hào)發(fā)生器改變其振動(dòng)頻率,經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,激振器與主體框架的連接位置對(duì)系統(tǒng)的固有頻率沒(méi)有影響,為了方便安裝,本文將激振器與底層側(cè)板相連；數(shù)據(jù)采集儀主要將測(cè)得的振動(dòng)信號(hào)傳遞給安裝有動(dòng)態(tài)分析軟件的上位機(jī),以此來(lái)實(shí)時(shí)顯示振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域及頻域波形圖,便于學(xué)生更為直觀地了解振動(dòng)信號(hào)的固有頻率及振幅。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置結(jié)構(gòu)圖

2 實(shí)驗(yàn)方案

該裝置的實(shí)驗(yàn)方案如圖2所示,主要包括理論計(jì)算、自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)、受迫振動(dòng)實(shí)驗(yàn)3部分。理論計(jì)算通過(guò)重物在主體框架的某個(gè)節(jié)點(diǎn)上作用一定的載荷,使得各層鋼管產(chǎn)生一定的變形,由千分表測(cè)得位移變化量并輸入基于柔度法編寫(xiě)的Matlab程序中,從而在理論上計(jì)算出各階振動(dòng)的固有頻率及振型。實(shí)驗(yàn)方法分別通過(guò)錘擊法模擬自由振動(dòng)，和由激振器模擬的強(qiáng)迫振動(dòng),使得主體框架產(chǎn)生振動(dòng),由加速度傳感器將振動(dòng)信號(hào)傳遞給數(shù)據(jù)采集儀和安裝有DHDAS動(dòng)態(tài)信號(hào)采集分析軟件的上位機(jī),以此來(lái)直觀地觀察高階振動(dòng)的各階固有頻率及振幅變化。利用頻閃儀可觀察到受迫振動(dòng)時(shí)各階頻率的振型,并與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃退惴ǖ臏?zhǔn)確性。

圖2 實(shí)驗(yàn)方案

該實(shí)驗(yàn)裝置的主要目的在于給學(xué)生提供一個(gè)能夠?qū)Ω唠A振動(dòng)的振型及固有頻率產(chǎn)生一種直觀印象的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。通過(guò)理論計(jì)算方法和實(shí)驗(yàn)方法,學(xué)生不僅可以從理論上掌握求解相關(guān)高階振動(dòng)的固有頻率及其振型的方法,而且還可以運(yùn)用所學(xué)的理論知識(shí),通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得和觀察高階振動(dòng)的固有頻率及振型,加深對(duì)高階振動(dòng)的理解。

3 理論計(jì)算方法

本文基于柔度法計(jì)算固有頻率及振型。根據(jù)柔度影響系數(shù)aij的定義,在j點(diǎn)上作用的單位載荷所引起的i點(diǎn)的位移,可以通過(guò)施加在主體框架上力的大小以及各層框架的位移變化量來(lái)計(jì)算出該系統(tǒng)的柔度矩陣,進(jìn)而求出固有頻率及振型。

3.1 柔度法

由動(dòng)力學(xué)理論[10-11]可知,多自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)的微分方程為

K-ω2MX=0

(1)

式中，K為系統(tǒng)剛度矩陣,M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣,ω為系統(tǒng)固有角頻率，X為位移列矩陣。

(λ2I-D)X=0

(2)

式中I為單位矩陣。

方程(2)有非零解的充分、必要條件是其系數(shù)行列式為零,即：

|λ2I-D|=0

(3)

由于柔度矩陣H與剛度矩陣K之間的關(guān)系為H=K-1,所以可通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的柔度矩陣進(jìn)行測(cè)算來(lái)計(jì)算固有頻率。

3.2 編程思路

基于上述的柔度法編寫(xiě)Matlab程序,實(shí)現(xiàn)軟件計(jì)算固有頻率和振型。

測(cè)量原理如圖3所示,在實(shí)驗(yàn)裝置的節(jié)點(diǎn)1處施加15 N的載荷F,由千分表測(cè)量各層的位移變化量,得到x11、x21、x31,同理分別在節(jié)點(diǎn)2、3處作用相同的載荷,可以測(cè)得各層相應(yīng)的變化量。根據(jù)柔度影響系數(shù)的定義,并結(jié)合載荷大小,即可求出柔度矩陣。

圖3 柔度矩陣測(cè)量原理圖

程序編制步驟如下：

(1) 綜合考慮各層空心鋼管、側(cè)板以及振動(dòng)傳感器的質(zhì)量,并輸入各層框架的質(zhì)量：m1、m2、m3,單位為g；

(2) 輸入各層的位移量：x11、x12、x13、x21、x22、x23、x31、x32、x33,單位為mm；

(3) 構(gòu)造質(zhì)量矩陣M和柔度矩陣H如下：(其中F=15 N)

(6) 輸出f1、f2、f3(由小到大排列),Y(1)、Y(2)、Y(3)(與fi順序?qū)?yīng))。

4 實(shí)驗(yàn)方法

4.1 自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)

自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)：即在實(shí)驗(yàn)開(kāi)始時(shí)使主體框架受到某一沖擊載荷,在振動(dòng)的過(guò)程中不再承受其他外部激勵(lì),通過(guò)對(duì)采集到的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析[12],找到對(duì)應(yīng)于各個(gè)峰值的頻率即為各階振動(dòng)的固有頻率。

本文的自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)基于錘擊法,振動(dòng)傳感器將采集到的振動(dòng)信號(hào)傳遞給數(shù)據(jù)采集儀和上位機(jī),經(jīng)頻譜分析得到振動(dòng)信號(hào)的幅頻特性曲線,幅頻特性曲線圖中的峰值所對(duì)應(yīng)的頻率表示振動(dòng)體的固有頻率,峰值的個(gè)數(shù)則代表高階振動(dòng)體固有頻率的階數(shù)。圖4為3層框架自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)的幅頻特性曲線。

圖4 自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)幅頻特性曲線

由圖4可知，自由振動(dòng)的幅頻特性曲線圖共有3個(gè)峰值,即三層框架結(jié)構(gòu)振動(dòng)體的固有頻率為3階,且第一階、第二階第三階固有頻率分別為22.21、61.11、95.11 Hz。

4.2 受迫振動(dòng)實(shí)驗(yàn)

受迫振動(dòng)實(shí)驗(yàn)：通過(guò)某一頻率可變的外部激勵(lì)持續(xù)作用在主體框架上,使得框架結(jié)構(gòu)作受迫振動(dòng),對(duì)采集到的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析,找出幅值峰值處(即發(fā)生共振時(shí))所對(duì)應(yīng)的頻率,即為該振動(dòng)體的固有頻率。

本文的外部激勵(lì)由框架底部的激振器提供,調(diào)節(jié)與激振器相連的信號(hào)發(fā)生器的頻率,使其由小到大逐漸變化,上位機(jī)實(shí)時(shí)分析振動(dòng)信號(hào),通過(guò)觀察幅頻曲線,找到發(fā)生共振時(shí)頻譜圖的峰值所對(duì)應(yīng)的頻率,即為3層框架結(jié)構(gòu)的固有頻率。圖5為受迫振動(dòng)實(shí)驗(yàn)下3層框架結(jié)構(gòu)的幅頻特性曲線,由圖5可知受迫振動(dòng)下3層框架結(jié)構(gòu)的一階、二階和三階固有頻率分別為：22.22、61.11、95.11 Hz。

4.3 振型法

振動(dòng)體共振時(shí)其振型可通過(guò)頻閃儀進(jìn)行觀察。當(dāng)3層框架結(jié)構(gòu)發(fā)生共振時(shí),調(diào)節(jié)頻閃儀的頻率,使其與結(jié)構(gòu)體共振頻率接近或相等,即可清楚地觀察到框架結(jié)構(gòu)的振型狀態(tài)。圖6為3層框架結(jié)構(gòu)共振時(shí)各階固有頻率所對(duì)應(yīng)的振型。

圖5 受迫振動(dòng)實(shí)驗(yàn)幅頻特性曲線

圖6 各階固有頻率對(duì)應(yīng)的振型圖

在高階振動(dòng)振型中,振幅為零的點(diǎn)即為振型節(jié)點(diǎn),振幅最大處即為反節(jié)點(diǎn)。由圖6可以看出,3層框架結(jié)構(gòu)一階振型只有底座1個(gè)節(jié)點(diǎn),二階振型和三階振型分別有2個(gè)、3個(gè)節(jié)點(diǎn),且節(jié)點(diǎn)的位置在振動(dòng)的過(guò)程中始終保持不變。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

按照理論計(jì)算方法的步驟,將各層質(zhì)量及位移變化量輸入到程序中,計(jì)算結(jié)果如圖7所示。

圖7 理論計(jì)算運(yùn)行結(jié)果圖

由圖7可以看出,一階振型均為正值,表明各層之間沒(méi)有從負(fù)向正的節(jié)點(diǎn)變化；二階振型底層和中層為負(fù)值,頂層為正值,表明中層與頂層之間存在節(jié)點(diǎn)；三階振型的中間層為負(fù)值,其余兩層為正值,表明底層與中層、中層與頂層之間分別存在一個(gè)節(jié)點(diǎn)。各層節(jié)點(diǎn)的圖形化與圖6完全相符。

理論計(jì)算、自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)和受迫振動(dòng)實(shí)驗(yàn)得到的3層框架結(jié)構(gòu)振動(dòng)體的固有頻率見(jiàn)表1。

表1 理論計(jì)算、自由振動(dòng)、受迫振動(dòng)固有頻率

由表1可知,實(shí)驗(yàn)與理論計(jì)算之間存在誤差,其中一階固有頻率的相對(duì)誤差最大,三階固有頻率的相對(duì)誤差最小。產(chǎn)生誤差的原因主要是由于千分表的測(cè)量誤差、主體框架材料的剛度較大以及加速度傳感器質(zhì)量的影響。

6 結(jié)語(yǔ)

機(jī)械類(lèi)專(zhuān)業(yè)課程都會(huì)涉及到振動(dòng)學(xué),高階振型振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置可用于機(jī)械振動(dòng)學(xué)、機(jī)械故障診斷、理論力學(xué)、機(jī)械動(dòng)力學(xué)以及機(jī)械工程控制基礎(chǔ)等課程的實(shí)驗(yàn)教學(xué)。利用高階振型振動(dòng)實(shí)驗(yàn)裝置,學(xué)生從理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面獲取高階振動(dòng)體的固有頻率,并觀測(cè)其振型的變化,從而加深了對(duì)高階振動(dòng)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。該實(shí)驗(yàn)裝置完善了振動(dòng)學(xué)的教學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,在教學(xué)應(yīng)用中收到了良好的教學(xué)效果,提高了學(xué)科教學(xué)質(zhì)量。