Delta并聯(lián)3D打印機運動學分析

楊秀芳，孫有朝，趙大旭，楊自棟，姚立健，張培培

(1.南京航空航天大學， 南京 211106； 2.浙江省竹資源與高效利用協(xié)同創(chuàng)新中心， 杭州 311300；3.浙江農林大學， 杭州 311300)

“3D打印(3D printing )”形象地描述了增材制造(additive manufacturing，AM)的工藝特點，這種“自下而上”的制造方法已經(jīng)伴隨著材料領域的發(fā)展從工業(yè)領域擴展到了家用領域。熔融沉積造型(FDM-fused deposition modeling)是一種擠壓成型的3D打印技術，適合打印低熔點材料，尤其是無毒環(huán)保、可降解的材料，目前應用最廣泛。針對FDM工藝的特點，目前研究主要集中于開發(fā)新材料和提高打印精度和質量[1]。其中，機械結構本體，即打印機構問題是提高打印精度和質量的關鍵。

串聯(lián)構型的3D打印機發(fā)展比較成熟，若要繼續(xù)提高潛力，需要從機構學角度研究更加適合FDM工藝的打印執(zhí)行機構。基于上述思路，并聯(lián)機構在3D打印中的應用逐漸引起重視。李江濱[2]以3D打印機機械本體—3-P[2-SS]并聯(lián)機構為研究對象，對該機構進行了運動學分析、運動學標定、誤差建模，并設計制作樣機進行了實驗研究。曲興田等[3]設計出一種工作平臺可翻轉的3D打印機，完成無支撐結構的曲面結構打印。周輝等[4]提出一種完全解耦五自由度混聯(lián)機構作為3D打印的執(zhí)行機構。薛國芳[5]提出了一種基于 3-PUU 型三自由度 3D 打印并聯(lián)機器人，該并聯(lián)機構具有較好的運動學和動力學性能。

本文基于Delta機構設計了一種3-PUU構型并聯(lián)3D打印機,在RecurDyn環(huán)境下進行了軌跡優(yōu)化和仿真試驗，驗證了設計的合理性。

1 打印機構構型方案

1.1 適用構型

并聯(lián)機構結構緊湊、剛度大、承載能力強，而且運動慣性小、驅動誤差小、位置精度高和各向同性好[2]。隨著相關理論研究的不斷深入以及工程應用實踐探索，并聯(lián)機構先后被成功應用于諸多領域，如并聯(lián)運動學機床、并聯(lián)機器人、定位裝置、測量裝置、飛行模擬器、醫(yī)療、娛樂等。雖然并聯(lián)機構存在其特有的缺點，比如工作空間小、存在奇異問題等，但是其能更好地滿足微細加工工藝對精度的需求，與打印機構功能需求吻合[6-7]。

由于FDM工藝中，噴頭噴出后冷卻的固化層面與噴嘴垂直，當完成一層的噴涂時打印頭繼續(xù)按設定的零件截面輪廓和填充軌跡運動，同時將熔融狀態(tài)下的材料擠出，前一層的材料粘結并固化。因此，噴頭的主運動是三維空間中的平動，如圖1所示。

圖1 噴頭工作原理圖

典型并聯(lián)機構，如Stewart平臺及其變型，大都具有6個自由度，運動控制復雜度較高，而對于多數(shù)3D打印機，少自由度并聯(lián)機構則更適合。相比而言，少自由度并聯(lián)機構有下列優(yōu)點：① 驅動件減少，構件少；② 工作空間大；③ 運動耦合較弱，容易解耦；④ 控制簡單方便；⑤ 制造容易，價格低廉；⑥ 正向求解簡單[8-9]。

1.2 構型選擇

目前，大多數(shù)并聯(lián)打印機構都選擇了較為成熟的Delta并聯(lián)機構及其演化機構。Delta機構剛度大、響應靈敏，具有優(yōu)異的綜合性能，并且無誤差積累，適合用于打印機構，國內外研究相對豐富。國內一些高校在并聯(lián)機構應用于3D打印機的研究中取得了若干成果，燕山大學則研究了用于3D打印的3-CUR 解耦并聯(lián)機構[10]，北京交通大學潘英基于3T1R和3T2R構型設計了打印機，并分析了其運動學性能[11]。本文在前期用于3D打印的竹塑復合材料研究基礎上[12]，基于Delta構型設計了打印機構，分析了機構運動學性能，對典型打印過程進行了運動學分析。

2 運動學分析

2.1 構型描述與自由度

提取旋轉關節(jié)的中心點，將Delta并聯(lián)機構簡化為靜平臺、動平臺以及連接它們的3條對稱分布的運動支鏈。

假設靜平臺和動平臺鉸接點的外接圓半徑分別為RS和RT，在靜平臺中心點O建立全局坐標系O-x、y、z，靜平臺3個鉸接點Am0(m=1,2,3)向中心點O平移1個動平臺外接圓半徑，將動平臺簡化為一點P，建立工具坐標系P-xp、yp、zp，如圖2所示。用Am(m=1,2,3)標記靜平臺頂點，OAm=l1=RS-RT，與OX的夾角為αm，主動臂與靜平臺的夾角為βm，連桿相對主動臂的夾角為γm，AmBm=l2，PBm=l3分別為主動臂和連桿的長度。

2.2 位置逆解

運動學逆解是根據(jù)已知的末端執(zhí)行器P的位置矢量r，求解節(jié)變量β=[β1,β2,β3]T及其對時間的1階和2階導數(shù)。由圖2中位置關系可知：

r=[x,y,z]T=l1im+l2jm+l3km

(1)

式中im,，jm，km分別表示OAm、AmBm與PBm的單位矢量，其中im=[cosαm, sinαm,0]T，jm=[cosαmcosβm, sinαmcosβm,-sinβm]T，km待定。由式(1)得：

l3km=r-l1im-l2jm→(l3km)(l3km)T=

(r-l1im-l2jm)(r-l1im-l2jm)T→

(2)

從而消去km，式(2)展開并整理，可得位置反解βm：

(3)

系數(shù)Mm、Nm與Qm分別為：

(4)

2.3 速度與加速度逆解

(5)

(6)

式(6)描述了主動臂關節(jié)速度與動平臺速度之間的映射關系，定義間接Jacobi矩陣JI與直接Jacobi矩陣JD[14]：

(7)

則可將式(6)表示為矩陣形式：

(8)

顯然，Jacobi矩陣J反映了末端執(zhí)行器的速度與主動關節(jié)速度之間的映射關系。加速度推導過程和速度逆解類似，式(8)對時間求導可得加速度逆解：

(9)

2.4 運動學正解

運動學正解是給定主動臂關節(jié)變量β，求解末端執(zhí)行器P的位置矢量r，根據(jù)構型可知，Bm點在以P為圓心、l3為半徑的球面上。式(2)在消去km時給出了各運動支鏈對應的球面方程：

(10)

上述3個方程求解可得到2個位置正解，舍去存在機構干涉的解，得到P點位置矢量r。

(11)

3 工作空間與尺度綜合

3.1 基于幾何法的工作空間分析

Delta機構的工作空間，是該機構動平臺能伸展的最大空間，即動平臺的軌跡能達到的最大范圍。工作空間的大小某種程度上決定了機構的性能，從而決定該3D打印機的性能。另外，工作空間也對機構的尺寸具有一定的約束，在尺寸的優(yōu)化上起到關鍵性的作用。

工作空間可采用Monte Carlo數(shù)值積分法和幾何法求得。本文選用幾何分析法，通過兩兩圓弧相交可以獲得具體的幾何形狀，再通過求解幾何算式來求得工作空間[15]。

主動臂處于極限位置(βm=βmin和βm=βmax)時，連桿l3擺動至極限位置，生成可達空間的邊界，如圖3所示，而工作空間(靈活空間)是一個包含在邊界內的半徑R、高H的圓柱體，該圓柱體上端面距離驅動臂βm=0時高度為h，長度為2R。通過幾何分析[16]，獲得以下方程：

(12)

圖3 Delta機構工作空間平面簡圖

末端執(zhí)行器的位置坐標約束在圓柱體內的工作空間中，z軸上的高度滿足條件h≤z≤h+H。為了使打印機在作業(yè)時能夠充分獲取工作空間的每一點并利用，可以使半徑R的實際值Rn在一定范圍內浮動，即R≤Rn≤1.1R，最后要求解出半徑R與機構的幾何尺寸的關系。根據(jù)并聯(lián)機構與作業(yè)工作空間的幾何關系得：

(l2cosβmax+l2)

(13)

3.2 構型尺寸綜合

本設計思路是在給出該并聯(lián)機構工作空間的這些參數(shù)即高度H、距離h、半徑R的情況下，進行機構本體幾何尺寸參數(shù)l1(RS-RT)，l2，l3，αm以及主動臂擺角βmin和βmax的確定。

1) 直接Jacobi矩陣JD中任意2個及以上分量km(m=1,2,3)線性相關，即2個及以上連桿平行或共面；

2) 間接Jacobi矩陣JI中出現(xiàn)jm×km=0(m=1,2,3)時，即同一個運動支鏈中，主動臂與連桿平行。

為了讓機構極大程度地避免出現(xiàn)奇異位形的情況，主動臂擺角βmin和βmax需要限定范圍，βmax根據(jù)幾何尺寸確定，而βmin≥arcsin(l2-h/l1)。初步確定尺寸參數(shù)如表1所示。

表2 尺寸參數(shù)

3.3 正反解驗證

已知RS=120 mm，RT=60 mm，l2=200 mm，l3=550 mm， 給定動平臺P的3組坐標，用Matlab程序求機構運動學反解的解。給出的3組坐標分別為(-300,300,500) (300,-300,500) (0,300,500)。

表3 運動學反解結果

將上述3組解代入Matlab的運動學正解計算公式中，可以求得P的3組坐標(300.010 7, 299.968 9, -500.016 5)(299.992 7, -299.992 1, -500.014 6)(-0,300.019 8, -499.985 4)。將z坐標的數(shù)正數(shù)化，圓整3組坐標后可以發(fā)現(xiàn)與給定的坐標是相符合的。

綜上可知，該機構的運動學正反解分析驗證成功。

3.4 打印精度分析

影響3D打印精度的因素主要是機械本體結構與打印工藝的誤差，其中前者尤為關鍵。Delta并聯(lián)機構只有3個平移自由度，因此只有位置誤差是可以通過控制策略進行補償?shù)?，而姿態(tài)誤差只能通過提高制造和裝配的精度來減小。

忽略各驅動臂和各連桿的尺寸差異，將動平臺參考點P的位置(x,y,z)定義為3個主動臂關節(jié)變量β=[β1,β2,β3]T和l1、l2、l3的函數(shù)[8]：

(14)

將式(14)的全微分分解為控制參數(shù)與結構參數(shù)誤差兩部分，得到正解誤差模型：

(15)

將式(15)簡寫為：

dr=TAdβ+TCdL

(16)

其中：dr為動平臺輸出誤差；TA與TC分別為驅動參數(shù)誤差與構件制造誤差的傳遞矩陣； dβ與dL分別為驅動參數(shù)誤差與機構參數(shù)誤差。位置的逆解誤差模型可由式(16)變形得到：

(17)

4 基于RecurDyn的仿真

4.1 打印軌跡設定

在RecurDyn中導入各構件的X_T模型，通過約束“裝配”運動模型，利用Cmotion(G)定義打印機噴頭運動，由于打印機構只存在3個平動自由度，所以忽略關于姿態(tài)的定義RX、RY、RZ，只需設置X、Y、Z軸方向運動。課題組根據(jù)前期材料性能試驗，做了各種軌跡和參數(shù)的仿真，為直觀描述打印機構運動學性能，定義螺旋運動：

(18)

即：噴頭在初始位置(0, 0,z0)首先沿X軸方向以速度vx移動t0，然后以vxt0為半徑做空間螺旋運動，λ為螺旋運動的導程，軌跡如圖4所示。

圖4 打印軌跡

式(18)各參數(shù)可根據(jù)實際工藝過程定義。仿真時長和步數(shù)確定后，運行仿真就可以輸出相應結果。

4.2 運動學仿真分析

選擇初始參數(shù)如表4所示。

表4 初始參數(shù)

利用RecurDyn中的IF函數(shù)描述式(18)，在直線運動與螺旋運動轉換時，出現(xiàn)加速度突變，為避免出現(xiàn)剛性沖擊，改用STEP5函數(shù)描述式(18)，仿真120 s，1 200步。圖5～7分別是動平臺的位移、速度、加速度曲線，可見無剛性沖擊出現(xiàn)。

由動平臺運動參數(shù)可以解算出驅動副，即3個主動臂的主動關節(jié)運動參數(shù)，這些參數(shù)作為實現(xiàn)期望打印軌跡的控制變量。圖8所示為主動臂關節(jié)角變化曲線。

圖5 動平臺位置

圖6 動平臺速度

圖7 動平臺加速度

圖8 主動臂關節(jié)角

圖9則是主動臂關節(jié)角速度變化曲線，同樣是光滑無剛性沖擊，反映了與動平臺之間的映射關系。

圖9 主動臂關節(jié)角速度

圖10為主動臂關節(jié)角加速度變化曲線，在整個打印過程中，可以平滑無突變地過渡，與期望的基本一致。

圖10 主動臂關節(jié)角加速度

由仿真情況可知，在打印過程中噴頭的運動能夠無突變地過渡，在合理范圍內。

5 結束語

1) 針對基于Delta并聯(lián)機構的3D打印機，構建了基于向量運算的具有簡潔直觀形式的運動學模型，分析了動平臺與主動臂之間的位置、速度和加速度映射關系，并進行了正反運動學的驗證。

2) 利用虛擬樣機技術，對所設計3-PUU構型并聯(lián)3D打印機進行了規(guī)劃路徑運動學分析，直接得到分析結果，與繁瑣的符號運算實現(xiàn)了互補，為樣機開發(fā)提供了一種有效方便的分析方法。

3) 優(yōu)化了構型尺寸參數(shù)，利用5次多項式插值方法優(yōu)化了打印軌跡，避免了出現(xiàn)剛性沖擊。