費(fèi)馬原理在幾何光學(xué)中的應(yīng)用

李立純 黃豐

【中圖分類號(hào)】? G633.6? ?? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】? A ? ? 【文章編號(hào)】? 1992-7711（2019）01-248-01

存在即合理，大自然就是以千姿百態(tài)、而又是合理的方式呈現(xiàn)在世人面前，你不得不佩服它的偉大和美麗。

作為研究光線的反射和折射的結(jié)果，1657年費(fèi)馬曾得出這樣的結(jié)論：自然界總是通過(guò)最短的路徑發(fā)生作用的。即著名的最短時(shí)間原理：一束光在兩點(diǎn)間實(shí)際所走的路徑是所用時(shí)間最短路徑。1679年，費(fèi)馬原理由后來(lái)的物理學(xué)家重新加以表述，并得到公認(rèn)：光線從A點(diǎn)到B點(diǎn)的實(shí)際路徑，是光程（或所需傳播時(shí)間）為平穩(wěn)的路徑。狹隘地理解平穩(wěn)的含意：光程取極小值、恒定值、極大值。在許多光學(xué)系統(tǒng)中和許多光現(xiàn)象里，光線實(shí)際走的路徑其光程為極小值或恒定值更為常見(jiàn)。

費(fèi)馬原理在光的反射應(yīng)用中，反射光線沿反射角等于入射角的角度進(jìn)行反射。

證明如下：在界面上任取一點(diǎn)O作為入射光線的入射點(diǎn)，光線由A點(diǎn)射向O點(diǎn)，再?gòu)腛點(diǎn)反射到B點(diǎn)，以界面MN為對(duì)稱軸，畫A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AO和AO，在ΔAOB中，AO+OB>AB，則說(shuō)明O點(diǎn)處才是它的反射點(diǎn)。

費(fèi)馬原理也可以推導(dǎo)幾何光學(xué)中的光的折射定律：光由一種介質(zhì)n1的A點(diǎn)進(jìn)入另一種介質(zhì)n2中的B點(diǎn)，應(yīng)符合折射規(guī)律：

證明如下：設(shè)A點(diǎn)在介質(zhì)n1中，入射角為ɑ，B點(diǎn)在介質(zhì)n2中，折射角為β，折射點(diǎn)O在介面MN上，在界面MN上任取一點(diǎn)E，作CE//OA，ED//OB，AC⊥CE，EF⊥AO，OH⊥ED，

BD⊥ED

由圖可知，CE=AF，HD=OB，

則：OF=OEsinɑEH=OEsinβ

光在介質(zhì)n1中，OF段的時(shí)間t1=■=■，

光在介質(zhì)n2中，EH段的時(shí)間t2=■=■

由折射定律得：■=■，即光在這兩段路徑運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等t1=t2

經(jīng)過(guò)E點(diǎn)的光路為AE、EB，在RtΔACE中CE<AE，在RtΔEDB中ED<EB，

設(shè)光沿AEB路徑的時(shí)間tAEB，光沿AOB路徑的時(shí)間為tAOB=tCED

則tAEB>tAOB=tCED

光似乎知道以什么方式經(jīng)過(guò)一種介質(zhì)才是最短的時(shí)間，復(fù)雜的物理現(xiàn)象背后往往隱藏著最簡(jiǎn)單的道理，只是人類很難發(fā)現(xiàn)罷了。大道至簡(jiǎn)，至簡(jiǎn)至美，作為一名老師，我們不但傳授書本知識(shí)，更是自然科學(xué)思想的傳播者，在課堂上講一百遍枯燥的知識(shí)，不如通過(guò)科學(xué)思想的介紹，讓學(xué)生領(lǐng)略大自然的神秘和偉大。