初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)初探

作者簡(jiǎn)介：付京廣（1985～），男，漢族，安徽宿州人，安徽省淮北市人民路學(xué)校，研究方向：初中數(shù)學(xué)。

摘 要：傳統(tǒng)的概念課教學(xué)模式一般為概念的引入、形成、鞏固和發(fā)展。在概念的教學(xué)中，我們一般采用的是接受學(xué)習(xí)，學(xué)生很少參與概念的形成中，部分的一線教師有的只看重怎么去解題，而忽視解本題用到的基本的定義的想法。定義的產(chǎn)生、定義的來源及如何被人們認(rèn)知和概念的本質(zhì)等方面來說明概念教學(xué)的重要性。其次闡述忽視數(shù)學(xué)概念教學(xué)所產(chǎn)生的弊端以及尋找忽視的原因來說明數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性，并提出在教學(xué)中如何重視“概念”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；重要；弊端

中圖分類號(hào)：G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-8918（2023）32-0088-04

一、引言

學(xué)生有沒有良好的數(shù)學(xué)思想，有沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的天然大腦，如何提高孩子的數(shù)學(xué)思維能力，這些問題都應(yīng)從領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念入手。因?yàn)閿?shù)學(xué)概念是表達(dá)數(shù)學(xué)思想方法的中介和載體，平時(shí)的教學(xué)中，讓學(xué)生多看定義，仔細(xì)認(rèn)真地研究透徹學(xué)習(xí)知識(shí)的定義，把定義是如何來的，怎么用的，解決的是什么樣的實(shí)際問題，這些都搞懂搞會(huì)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵所在。學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展的高度和維度也與對(duì)定義概念的掌握的透徹度和廣度有著很大的關(guān)系。因此數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有舉足輕重的作用。在平時(shí)的教學(xué)中，要夯實(shí)定義，定理，概念。老師要充分重視起來，先把這些基礎(chǔ)知識(shí)搞懂學(xué)精，方可解題做題。萬丈高樓平地起，打好基礎(chǔ)，樓才能蓋得高，蓋得穩(wěn)。因此，必須重視數(shù)學(xué)中的概念的教學(xué)和研究。

二、數(shù)學(xué)當(dāng)中定義的產(chǎn)生和進(jìn)化

數(shù)學(xué)中定義是如何產(chǎn)生的？是怎么來的？在平時(shí)的教學(xué)中有時(shí)間和余力的老師最好給孩子講清楚，可以是故事的形式老師自己進(jìn)行表述，也可以讓同學(xué)們以興趣小組的形式，查找文獻(xiàn)，討論交流。比如負(fù)數(shù)是如何產(chǎn)生的，可以讓學(xué)生思考實(shí)際生活，比如孩子熟悉的天氣預(yù)報(bào)里面的城市氣溫，如哈爾濱，沈陽等城市的氣溫；還有生活中坐電梯時(shí)，電梯按鍵有負(fù)一樓；以及家里的氣溫計(jì)等。還有生活中還有具有相反意義的量，比如前進(jìn)和后退，左和右，上和下，盈利和虧損，對(duì)這些具有相反意義的量在數(shù)學(xué)中如何進(jìn)行表示；還有生活中有這樣的疑問4-6=？這樣就會(huì)和學(xué)生在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，從而可以激發(fā)孩子學(xué)習(xí)的興趣和探索的欲望；還有生活中有對(duì)數(shù)的排序：0，1，2，3……由于空位和沒有就產(chǎn)生了0，由于要分東西，測(cè)量從而產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，在現(xiàn)實(shí)生活中有很多具有相反意義的量，該如何表示呢？帶著這些問題和疑問，都可以讓學(xué)生很清楚地了解到定義的產(chǎn)生和運(yùn)用離不開實(shí)際生活，是從生活中產(chǎn)生的。學(xué)習(xí)這些知識(shí)也是來源于生活并且服務(wù)于生活的。隨著生活質(zhì)量的提高和科技的進(jìn)步，這些知識(shí)會(huì)慢慢地被修改和完善的，以便大家容易理解與接受，更重要的是更好的提高現(xiàn)代人的思維和服務(wù)于人們的生活。更好地為現(xiàn)代科技服務(wù)，這樣知識(shí)就發(fā)生了質(zhì)的變化，完成了進(jìn)化。

三、深化理解對(duì)定義，概念的產(chǎn)生

讓孩子認(rèn)清熟悉定義的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開始，怎么才能產(chǎn)生，會(huì)對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響。在平時(shí)的教學(xué)中，不能直接地給出定義和概念，要從概念和定義是如何產(chǎn)生的，為什么這樣產(chǎn)生，給孩子一個(gè)合理并且符合實(shí)際的說法，讓學(xué)生想去發(fā)現(xiàn)和發(fā)掘這部分內(nèi)容，從而愿意主動(dòng)地去學(xué)習(xí)，也更有利于孩子對(duì)知識(shí)的掌握和理解。如何更好地讓孩子對(duì)定義或者概念的產(chǎn)生，有一個(gè)更好的理解和接受呢？方法很多，其中創(chuàng)造一個(gè)有利于知識(shí)產(chǎn)生的故事，使問題蘊(yùn)含其中，就是一個(gè)很好的方法。

（一）使數(shù)學(xué)概念蘊(yùn)含在故事中

教育學(xué)和心理學(xué)當(dāng)中提到，學(xué)習(xí)興趣是學(xué)習(xí)的動(dòng)力。有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，這樣學(xué)生就更能主動(dòng)地去學(xué)習(xí)，學(xué)生的心理和大腦就處于一個(gè)對(duì)學(xué)習(xí)渴望的最高值。此時(shí)在獲取知識(shí)的時(shí)候效果就最好，最有效，學(xué)生的主動(dòng)性和積極性就最強(qiáng)，課堂氣氛也是異?；钴S的階段。例如：在我國古代一部數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中就提到了負(fù)數(shù)這個(gè)概念，而且還提出了正負(fù)數(shù)這一名詞，就是正數(shù)和負(fù)數(shù)加減法則。我國數(shù)學(xué)家劉徽，在公元3世紀(jì)，公元236年對(duì)負(fù)數(shù)的出現(xiàn)也有解釋，即“兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”。這簡(jiǎn)單的一句話正式給出了負(fù)數(shù)的定義。元代的朱世杰在他的著作《算學(xué)啟蒙》一書中也給出了解釋：同名相乘的正，異名相乘的負(fù)；同名相除的正，異名相除的負(fù)。對(duì)有理數(shù)的四則運(yùn)算也給出了總結(jié)和概括。通過這些數(shù)學(xué)史話。這些古代有趣的數(shù)學(xué)故事的講解，激發(fā)孩子的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)其對(duì)新知識(shí)的渴望。我們老師在這個(gè)時(shí)候就可以發(fā)問：孩子們，想不想知道什么是負(fù)數(shù)？有理數(shù)的運(yùn)算法則是什么？從而引出本節(jié)課題，繼而很自然地開始學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容。

（二）理論聯(lián)系生活實(shí)際，深化對(duì)定義的理解

數(shù)學(xué)當(dāng)中的概念和定義都是在實(shí)際生活中提煉出來的。比如，負(fù)數(shù)，絕對(duì)值，一次函數(shù)，線段，角等都是在生活和生產(chǎn)中由于需要產(chǎn)生的。給學(xué)生講清楚這些知識(shí)的由來，會(huì)讓學(xué)生更加自覺和主動(dòng)地去學(xué)習(xí)知識(shí)，更易接受和理解。

1. 著重定義的導(dǎo)入

例如：在上課時(shí)提出：再去拉薩的一段路段中，假如汽車有凍得土的一段路段時(shí)要x小時(shí)，這輛汽車通過不是凍土路段需要（x-0.4）小時(shí)，有凍土的路段的速度是98 km每小時(shí)，不是凍土的路段速度是130km每小時(shí)。提出問題路全長(zhǎng)為［98x+130（x-0.4）］千米，又給出兩路段相差［98x-130（x-0.4）］千米。上面兩個(gè)式子都帶有括號(hào)該如何去化簡(jiǎn)呢？啟發(fā)學(xué)生利用分配定律去嘗試，從而引出去括號(hào)法則。還有例如在上課時(shí)，可以用幻燈片放出某省某市中學(xué)生進(jìn)行足球比賽，勝一場(chǎng)得4分，平一場(chǎng)得2分，市第三中學(xué)在足球比賽的12場(chǎng)中，獲得了全勝的好成績(jī)一共得36分，提出問題該足球隊(duì)贏了幾場(chǎng)？又有幾場(chǎng)打平？對(duì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)問，大家能列出一元一次方程嗎？學(xué)生開始討論交流，最后學(xué)生給出一個(gè)初步答案，老師再進(jìn)行細(xì)化總結(jié)。接著又問大家能列出二元一次方程嗎？學(xué)生開始討論交流，最后學(xué)生給出一個(gè)初步答案，老師再進(jìn)行細(xì)化總結(jié)。

老師在引出定義或概念的時(shí)候，不要著急去做練習(xí)，不要一下子講解清楚，要一步一步來，按照孩子的認(rèn)知水平逐步加深，要符合學(xué)生學(xué)習(xí)的循序漸進(jìn)的規(guī)律。

2. 著重定義的有效分析

對(duì)定義要進(jìn)行切中要害有效的分析與處理，不要過早或者過晚地下定義，無論是過早還是過晚都會(huì)造成學(xué)生對(duì)知識(shí)的茫然，從而影響孩子對(duì)知識(shí)的渴望與學(xué)習(xí)。應(yīng)當(dāng)在故事或者情境中對(duì)引入進(jìn)行及時(shí)的處理與總結(jié)，在最恰當(dāng)和孩子情緒最好的時(shí)候給出要講知識(shí)的概念，此時(shí)才是最佳授課時(shí)機(jī)。

3. 著重對(duì)定義的全方位的解釋

比如數(shù)軸的概念，一是理解數(shù)軸的概念，可以用數(shù)軸來去表示數(shù)；二是在數(shù)軸上的距離給出一個(gè)數(shù)具有絕對(duì)值的定義，進(jìn)而認(rèn)識(shí)相反數(shù)。還要理解好數(shù)軸具有的三要素是學(xué)習(xí)數(shù)軸的關(guān)鍵，原點(diǎn)是基準(zhǔn)，對(duì)應(yīng)0這個(gè)數(shù)字，也是計(jì)量的起點(diǎn)；正方向規(guī)定了正負(fù)性；單位長(zhǎng)度是計(jì)量單位。這三要素具有一定的相對(duì)性。不過，三要素一旦規(guī)定之后，每個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置就確定了，不能改變了。必須將這三點(diǎn)聯(lián)系起來，缺一不可。還要知道，每一個(gè)有理數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)。有理數(shù)的個(gè)數(shù)是無限個(gè)的，因此數(shù)軸上也是有無數(shù)個(gè)有理數(shù)點(diǎn)的，但是無論有理數(shù)的點(diǎn)有多密集，在數(shù)軸上都有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不是有理數(shù)，那這些空隙代表無理數(shù)，進(jìn)而說明數(shù)軸的強(qiáng)大性，有理數(shù)和無理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示出來。只有把這些有關(guān)數(shù)軸的知識(shí)全方位立體地掌握和理解才能更好地學(xué)習(xí)數(shù)軸的概念。

四、著重抓住概念的實(shí)質(zhì)，進(jìn)行研究

在慢慢形成概念的過程中，總會(huì)有一些無關(guān)的干擾的特性，從而影響著學(xué)生的理解。這就要求老師在平時(shí)的上課中，幫助學(xué)生去偽存真，把重點(diǎn)和實(shí)質(zhì)很明顯地呈現(xiàn)在孩子面前。減少無關(guān)因素，看到問題的實(shí)質(zhì)。

（一）定義必須講透

比如：在講誤差時(shí)候。近似值與他的準(zhǔn)確值的差，叫作誤差。誤差是近似值減去準(zhǔn)確值，不能顛倒。誤差既有可能是正數(shù)也有可能是負(fù)數(shù)。都是可以的。誤差的絕對(duì)值越小，近似值就越接近準(zhǔn)確值，近似程度就越高。是誤差的絕對(duì)值越小而不是誤差的值。這個(gè)在講解新課時(shí)候必須講清楚，講透徹。

（二）凸顯概念中的關(guān)鍵字句

在講解單項(xiàng)式的概念中，單項(xiàng)式的概念是在代數(shù)式中，都是數(shù)與字母的積，像這樣的代數(shù)式叫單項(xiàng)式。關(guān)鍵字是積。不是和，不是差，也不是商。而且是數(shù)與字母的積。字母這個(gè)關(guān)鍵字，要對(duì)其強(qiáng)化理解，其中Π圓周率就不是字母，它表示一個(gè)數(shù)。

（三）抓住概念當(dāng)中內(nèi)，外聯(lián)系做文章

在幾何中講到關(guān)于直線的基本性質(zhì)，教材中是通過一個(gè)點(diǎn)、兩個(gè)點(diǎn)，并結(jié)合實(shí)際生活中把晾衣架固定的事實(shí)進(jìn)行有效的說明。讓學(xué)生嘗試去畫直線和對(duì)實(shí)際生活思考，不難理解這個(gè)基本事實(shí)：經(jīng)過一點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。但是學(xué)生對(duì)文字的表述不是太熟悉。這就要求老師把內(nèi)涵和外延表述清楚。基本事實(shí)包含兩個(gè)意思：一是存在性，經(jīng)過兩點(diǎn)是有一條直線的；另外一層意思是唯一性，經(jīng)過兩點(diǎn)只有一條直線。對(duì)于此基本事實(shí)的內(nèi)涵即內(nèi)在聯(lián)系要講清楚，同時(shí)這個(gè)基本事實(shí)的外在表述也得明確。這就是要抓住概念的內(nèi)涵和外延的問題。

五、升華概念，聯(lián)系實(shí)際生活

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為實(shí)際生活服務(wù)的，數(shù)學(xué)中的概念的學(xué)習(xí)更是如此。一定要理論聯(lián)系實(shí)際，把知識(shí)和概念運(yùn)用到實(shí)際生活中去，這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的。

（一）多方位考查概念

比如，對(duì)無理數(shù)的理解與掌握，有以下幾個(gè)問題：

1. 無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù)；2. 無理數(shù)就是無限小數(shù)；3. 無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負(fù)無理數(shù)；4. 無理數(shù)可以用數(shù)軸上的數(shù)表示；5. 實(shí)數(shù)中，不是有理數(shù)就是無理數(shù)。6. 無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；7. 分?jǐn)?shù)是無理數(shù)；8. 帶根號(hào)的數(shù)是無理數(shù)。

通過以上問題對(duì)無理數(shù)的概念進(jìn)行多方面全方位的考查。

（二）針對(duì)易混易錯(cuò)概念進(jìn)行對(duì)比練習(xí)

在學(xué)習(xí)了平方根和算術(shù)平方根之后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生容易搞混這兩個(gè)概念下面有幾題放在一起進(jìn)行對(duì)比：如下列語句正確的有：

（1）4的算數(shù)平方根是2；（2）4的平方根是2；（3）-4的平方根是2；（4）-4的算術(shù)平方根是2；（5）只有正數(shù)才有平方根；（6）一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)；（7）負(fù)數(shù)和零沒有平方根；（8）零的平方根和算數(shù)平方根都是本身；（9）算術(shù)平方根是它本身的數(shù)是0和1。

通過這些問題式的練習(xí)，學(xué)生在不知不覺中在糾錯(cuò)中在對(duì)比中就掌握了平方根和算術(shù)平方根的概念。

六、輕視概念的理解的弊端及其原因

概念是一門學(xué)科形成和發(fā)展的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)學(xué)科同樣如此，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要結(jié)點(diǎn)，讓學(xué)生理解與掌握數(shù)學(xué)概念應(yīng)該始終成為數(shù)學(xué)教學(xué)的首要目標(biāo)。而在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，不少老師忽視概念課的教學(xué)，現(xiàn)就此問題談?wù)剛€(gè)人的幾點(diǎn)看法。

（一）忽視數(shù)學(xué)概念教學(xué)造成的弊端

我們?？吹秸n標(biāo)要求、教學(xué)目標(biāo)中提到掌握和理解某個(gè)數(shù)學(xué)概念，可見數(shù)學(xué)概念是相當(dāng)重要的。忽視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)必然導(dǎo)致教師在教學(xué)過程中，重結(jié)果，輕教學(xué)過程，忽視數(shù)學(xué)的本質(zhì)，導(dǎo)致學(xué)生邏輯混亂。不少教師認(rèn)為學(xué)好數(shù)學(xué)就是要將概念、定理、公式記熟。誠然，這種做法可能對(duì)考試成績(jī)暫時(shí)有用，但對(duì)以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)卻留下了后遺癥。例如，在初中不少學(xué)生在求二次函數(shù)y=ax²+bx+c最值時(shí)都熟知當(dāng)x=-b/2a，y有最值4ac-b²/4a，但卻不會(huì)配方法，這在高中的后繼學(xué)習(xí)中造成極大的困難。如果在初中教學(xué)中，教會(huì)學(xué)生二次函數(shù)的配方法，讓學(xué)生理解為什么當(dāng)x=-b/2a有最值，到了高中教學(xué)就水到渠成了。由于部分教師的原因和學(xué)生眼高手低的毛病，沒有對(duì)概念的理解和掌握得到應(yīng)有的重視，只是簡(jiǎn)單地背誦或是朗誦，沒有吃透概念的真正意義，大而化之，不重視對(duì)概念認(rèn)真推導(dǎo)證明，直接去記憶一些定理和公式用于解題，以為記住了概念就掌握了概念，這導(dǎo)致學(xué)生沒有真正地理解知識(shí)，最終也限制了解題的正確性。

（二）忽視數(shù)學(xué)概念教學(xué)的原因

多年來，由于應(yīng)試教育的影響而形成一套傳統(tǒng)的、滯后的教學(xué)模式，導(dǎo)致部分教師都不注重概念的教學(xué)，只要學(xué)生會(huì)解題就可以。在考試的指揮棒下，部分教師多年來已經(jīng)習(xí)慣于你考什么我教什么。在初中，數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)較少，因此通過初三經(jīng)一二個(gè)月的強(qiáng)化訓(xùn)練、題海戰(zhàn)術(shù)，很多學(xué)生的中考成績(jī)都很優(yōu)秀。這樣的結(jié)果，難免讓學(xué)生、老師進(jìn)入“題?！闭`區(qū)，不在乎過程的教學(xué)。但不少這些中考高分學(xué)生升入高中學(xué)習(xí)后，數(shù)學(xué)成績(jī)出現(xiàn)了明顯的下降，這說明了我們初中數(shù)學(xué)教學(xué)及考試模式存在一定的弊端。在高中，為了留有更多時(shí)間進(jìn)行高考總復(fù)習(xí)，有些老師在概念課的教學(xué)中，只是輕描淡寫地提出概念，然后就是講例題，做練習(xí)。完全不重視對(duì)概念的“挖掘”和“剖析”。

七、在教學(xué)中如何重視概念教學(xué)

（一）在教學(xué)中注重激發(fā)學(xué)生探究定義的激情

每個(gè)定義，每個(gè)概念的產(chǎn)生都是實(shí)際生活應(yīng)有的寫照和需要，學(xué)生和老師必須明白為什么學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)，為什么學(xué)習(xí)這個(gè)概念，這個(gè)概念存在的意義是什么，這個(gè)概念的產(chǎn)生是為了解決什么問題。讓學(xué)生理解概念產(chǎn)生的必要性。例如，在數(shù)系的擴(kuò)充過程中，為什么要引入無理數(shù)？我們可以這樣解釋：在解方程x²=2時(shí)就沒有有理數(shù)解，但它的解卻是客觀存在的，正方形的對(duì)角線長(zhǎng)與邊長(zhǎng)之比就是這個(gè)方程的解，但這個(gè)比不能用有理數(shù)表示，因此就添入無理數(shù)，這促使數(shù)的范圍擴(kuò)大到全體實(shí)數(shù)。

（二）講清每個(gè)概念的內(nèi)涵和外延

理解概念的內(nèi)涵是指知道這個(gè)概念包括哪些對(duì)象，還要知道它不包括哪些對(duì)象。概念的外延是指這個(gè)概念的適用范圍以及一些邊界條件。教師在講解概念時(shí)要根據(jù)概念不同特點(diǎn)，采取不同教學(xué)手段，真正讓學(xué)生理解每個(gè)概念的內(nèi)涵和外延。在課堂上要給孩子留有充分的思考時(shí)間和空間，把課堂學(xué)生的主體地位還給學(xué)生，善思善想才能理解和掌握，不能強(qiáng)行灌輸，機(jī)械講解，要把知識(shí)聯(lián)系實(shí)際生活，最好是孩子最貼近的學(xué)生生活中的實(shí)例。只有這樣學(xué)生方能用語言表達(dá)出來。如：要利用函數(shù)單調(diào)性、奇偶性定義解較難的綜合題目時(shí)，有些同學(xué)就很難找到切入點(diǎn)，我認(rèn)為就是對(duì)單調(diào)性和奇偶性概念的充要性體會(huì)不好，即：對(duì)任意的x₁和x₂，x₁2?f（x₁）2）或者x₁2?f（x₁）>f（x₂），又f（-x）=f（x）（或者-f（x））。概念強(qiáng)調(diào)的是自變量和函數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化。

八、結(jié)論

當(dāng)然，如何更好地進(jìn)行概念教學(xué)我們還要繼續(xù)研究，但是無非是指導(dǎo)這些概念從什么地方產(chǎn)生，為什么產(chǎn)生，對(duì)我們的實(shí)際生活有什么影響與幫助。這些才是學(xué)習(xí)概念的關(guān)鍵。可以把概念結(jié)合數(shù)學(xué)故事在課堂上娓娓道來；也可以放在實(shí)際生活問題中，激發(fā)孩子的學(xué)習(xí)熱情。這才是實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳授和能力培養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)，是提高教學(xué)質(zhì)量的一個(gè)重要方面。因此，我們不能忽視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。

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