概率與統(tǒng)計(jì)易錯(cuò)剖析

牟行洋　葉貞蓉　李家琦

對抽樣方法含義理解不清致誤

例1 學(xué)校附近一家小超市為了解一年的客流量情況，決定用系統(tǒng)抽樣從一年中抽出52天作為樣本實(shí)施調(diào)查（即從每周抽取1天，一年恰好有52個(gè)星期），你覺得這樣的選擇合適嗎？為什么？

錯(cuò)解1 合適，因?yàn)橐荒甑奶鞌?shù)較多，采取系統(tǒng)抽樣減少了抽取天數(shù).

錯(cuò)解2 合適，每個(gè)星期抽取一天，等距抽樣，適用于總體中個(gè)體數(shù)較多.

錯(cuò)解3 合適，分層抽樣更平均.

錯(cuò)解4 合適，系統(tǒng)抽樣是隨機(jī)的，具有一定代表性.

錯(cuò)解5 不合適，樣本容量小.

分析 這家超市位于學(xué)校附近，其顧客很多為學(xué)生，客流量受到學(xué)生作息時(shí)間的影響. 如周末時(shí)，客流量會(huì)明顯減少，如果用系統(tǒng)抽樣來抽取樣本，起始點(diǎn)抽到星期天的話，樣本代表的客流量會(huì)明顯偏低. 另外，寒暑假也會(huì)直接影響超市的客流量.

正解 不合適. 利用簡單隨機(jī)抽樣和分層抽樣，可以把一周分為7天，一年分為52層，每層用簡單隨機(jī)抽樣的方法，抽取適當(dāng)?shù)臉颖具M(jìn)行調(diào)查.

點(diǎn)撥 概率和統(tǒng)計(jì)在生活中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用，為方方面面帶來了便利. 我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的也是要應(yīng)用在我們的生活中，在處理這種實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，要結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)多思考.

混淆互斥事件與相互獨(dú)立事件致誤

例2 一個(gè)通訊小組有[A，B]兩套通訊設(shè)備，只要有一套設(shè)備正常工作，就能進(jìn)行通訊. [A，B]設(shè)備各由2個(gè)、3個(gè)部件組成，只要其中有1個(gè)部件出現(xiàn)故障，這套設(shè)備就不能正常工作. 如果在某個(gè)時(shí)間內(nèi)每個(gè)部件都不出現(xiàn)故障的概率都為[P]，試計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)能進(jìn)行通訊的概率.

錯(cuò)解 [A，B]兩套通訊設(shè)備在某個(gè)時(shí)間內(nèi)能正常工作的概率分別為[P（A）=P2，P（B）=P3，]則在這段時(shí)間內(nèi)能進(jìn)行通訊的概率為[P（A+B）=P（A）+P（B）=P2+P3].

分析 上面所用的公式是兩個(gè)互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率，而題中[A，B]兩套通訊設(shè)備能正常工作這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的. 互斥與獨(dú)立是兩種不同的關(guān)系，一般沒有必然聯(lián)系，不能混淆，把互斥結(jié)果套用在獨(dú)立事件中是錯(cuò)誤的.

正解 方法一：采用逆向思維來求解. [A，B]至少有一個(gè)正常工作的對立事件是[A，B]都不能正常工作. [A]不能正常工作的概率為[1-P2]，[B]不能正常工作的概率為[1-P3]，故所求概率為

[1-（1-P2）（1-P3）=P2+P3-P5].

方法二：采用正向思維來求解. [A，B]兩套通訊設(shè)備在這段時(shí)間內(nèi)能進(jìn)行通訊這一事件包括：[A]正常，[B]不正常；[A]不正常，[B]正常；[A，B]都正常. 且這三個(gè)事件彼此互斥，故所求概率為

[P2（1-P3）+P3（1-P2）+P2?P3=P2+P3-P5.]

點(diǎn)撥 互斥事件與相互獨(dú)立事件的判斷，只需要抓住它們的定義就可以進(jìn)行區(qū)分. 互斥事件發(fā)生在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的不同結(jié)果，這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；而相互獨(dú)立事件發(fā)生在互不干涉的不同試驗(yàn)中，一個(gè)事件的發(fā)生與否對另一個(gè)事件發(fā)生的概率不產(chǎn)生任何影響. 它們雖然都描繪了兩個(gè)事件間的關(guān)系，但所描繪的關(guān)系是根本不同的.

概念認(rèn)識(shí)模糊考慮問題不周致誤

例3 如圖所示，若用五種不同的顏色給一個(gè)四棱錐[S-ABCD]的每一個(gè)頂點(diǎn)涂上一種顏色，則使同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)不同色的概率是多少？

分析 第一種錯(cuò)解中，把四棱錐誤看成四面體，就從5種顏色中任取了四種顏色并將四種顏色全排了.第二種錯(cuò)解中，簡單地使用了加法原則，分成了三類，使用五種顏色、四種顏色和三種顏色，但考慮不周全，四種顏色還要分類. 第三種錯(cuò)解中，沒有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式，底面的四個(gè)頂點(diǎn)涂色需要分類. 第四種錯(cuò)解中，在使用四種顏色和三種顏色分類后分步，但分析有誤，不嚴(yán)密，出現(xiàn)了錯(cuò)誤. 第五種錯(cuò)解中，理解題意有誤，以為五種顏色均要用完. 第六種錯(cuò)解中，使用了分組，忽略了平均分組導(dǎo)致分類討論中情況重復(fù)出現(xiàn).

正解 對滿足本題的涂色方案有兩種方法.

方法一：當(dāng)[A，C]顏色相同時(shí)，涂法有[C15C14C13C13][=180]種；當(dāng)[A，C]顏色不相同時(shí)，涂法有[C15C14C13C12C12=240]種，共有涂法180+240=420種.

方法二：分類使用5種顏色的涂法有[A55]種，使用4種顏色的涂法有[2A45]種，使用3種顏色的涂法有[A35]種，共有涂法[A55]+[2A45]+[A35]=420種.

這兩種思路求得滿足題設(shè)的涂法結(jié)果是一樣的，則本題所求的概率應(yīng)該是[P=42055=84625].

點(diǎn)撥 概率的計(jì)算中往往摻雜著排列組合問題，而排列組合問題的類型繁多，計(jì)算也很靈活，大家都直觀地認(rèn)為“分步用乘法、分類用加法，有序排列，無序就是組合”. 但在解題的過程中同學(xué)們往往對概念理解不清楚、考慮問題不周全、忽略有關(guān)條件等原因?qū)е略谂帕薪M合問題上的計(jì)算漏與重，使得最后計(jì)算的概率出錯(cuò).

忽視基本事件的等可能性致誤

例4 已知直角三角形的兩直角邊都是區(qū)間（0，1）上的隨機(jī)數(shù)，試求斜邊長小于[23]的概率.

錯(cuò)解 設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為[x，y][（x，y∈（0，1））]，由題意可知，[0[（1）][（2）]

分析 將基本事件由點(diǎn)[（x，y）]轉(zhuǎn)化為[（x2，y2）]后，落入正方形區(qū)域內(nèi)不是均勻的（不是等可能的）. 若用計(jì)算機(jī)有關(guān)軟件來設(shè)計(jì)程序，畫出散點(diǎn)圖，可直觀顯示點(diǎn)[（x2，y2）]是非均勻分布的.

正解 設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為[x，y] [（x，y∈（0，1）），]由題意可知，[0