首師大數(shù)學(xué)教授：中小學(xué)生怎樣才算數(shù)學(xué)學(xué)得好？

李克正

學(xué)數(shù)學(xué)，不要聽“教育學(xué)家”的。很多人以為數(shù)學(xué)教育屬于教育學(xué)的范圍，其實(shí)不對。數(shù)學(xué)教育有很多實(shí)質(zhì)上的特殊性，在教育學(xué)的教科書中完全沒有涉及。例如有教育家說學(xué)習(xí)知識的一般方法是“理解+記憶”，這對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就不適用。

很多中學(xué)招聘數(shù)學(xué)教師，寧可要數(shù)學(xué)專業(yè)出身但沒學(xué)過教育學(xué)的，也不愿要教育學(xué)出身但數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的。不久前我看到美國一個(gè)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的教授說，他最差的學(xué)生都是教育學(xué)出身。

近來中國和美國的很多數(shù)學(xué)教育方面的專家在討論教育學(xué)家對于數(shù)學(xué)教育的傷害，但這離本報(bào)告的題目較遠(yuǎn)，所以我們僅僅提醒大家不要被某些“教育學(xué)家”誤導(dǎo)。應(yīng)該針對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊性來討論。

那么，與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有些什么特殊性呢？

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要擁抱自然

徹底的唯物主義者認(rèn)為，數(shù)學(xué)根本上來自自然界，因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要擁抱自然，特別是要避免脫離自然。一些數(shù)學(xué)家采用“數(shù)覺”這個(gè)術(shù)語，即對于數(shù)學(xué)對象的物理直觀。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是只要認(rèn)識數(shù)字，會寫會算就行。首先要理解自然數(shù)的“自然”意義，沒有“數(shù)覺”卻只管練習(xí)記數(shù)、計(jì)算等，是學(xué)不懂?dāng)?shù)學(xué)的。

小學(xué)生做很多數(shù)學(xué)應(yīng)用題，中學(xué)生卻很少做甚至不做，其實(shí)中學(xué)生更應(yīng)該做，這是回歸自然的一個(gè)重要途徑。

什么樣的習(xí)題是“自然”的呢？華羅庚先生當(dāng)年做數(shù)學(xué)普及報(bào)告，經(jīng)常舉日常生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)的生動例子，比如：蜂巢為什么最省材料？什么樣的茶葉桶蓋掉不下去？街口的紅綠燈應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)？蘇聯(lián)導(dǎo)彈試驗(yàn)場的奇怪形狀說明了什么？這些報(bào)告都給了聽眾們非常深刻的印象，一個(gè)重要的原因就是其中有很多自然的例子。

中學(xué)生在數(shù)學(xué)的應(yīng)用方面應(yīng)該比小學(xué)生有更高的要求，不僅要會做應(yīng)用題，而且要能夠?qū)?shí)際工作中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并予以解決，就是說要培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的能力。

陳省身先生說過：“數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的訓(xùn)練普遍有用”。但對于數(shù)學(xué)有嚴(yán)重偏見的人（包括缺乏數(shù)覺的人）來說，是不可能理解這兩句話的。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最強(qiáng)動力是興趣

遺憾的是，我遇到過一些同學(xué)本來很喜歡數(shù)學(xué)，后來卻由于不當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)教育變得不喜歡甚至恨數(shù)學(xué)。

陳省身先生給小學(xué)生的一個(gè)題字是“數(shù)學(xué)好玩”。不知有多少同學(xué)覺得數(shù)學(xué)好玩。常州懷德苑小學(xué)的大多數(shù)同學(xué)都很喜歡數(shù)學(xué)，他們在校園里到處都會受到數(shù)學(xué)的熏陶。他們上數(shù)學(xué)課也常是在玩中學(xué)。該校還寫了一本書《玩數(shù)學(xué)》，系統(tǒng)地說明了在這方面的理念、成績和規(guī)劃。

學(xué)好數(shù)學(xué)，必須要做實(shí)驗(yàn)

作為一門科學(xué)，數(shù)學(xué)產(chǎn)生于實(shí)驗(yàn)，在這一點(diǎn)上與物理、化學(xué)等都是一致的。離開自然界，數(shù)學(xué)根本不可能存在——不可能產(chǎn)生。最早的數(shù)學(xué)研究對象—— 自然數(shù)的客觀存在，是一個(gè)物理事實(shí)，人類只是“發(fā)現(xiàn)”而不是“發(fā)明”了自然數(shù)。

小孩子扳著手指數(shù)數(shù)，就是一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（當(dāng)然是很簡陋的）。小時(shí)候玩的一些玩具中也有簡單的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。作為計(jì)算工具已經(jīng)淘汰的算盤，也是一種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)備，它的數(shù)學(xué)教育功能尚未完全過時(shí)。在初中數(shù)學(xué)教育中，原來也有必備的通用實(shí)驗(yàn)工具——圓規(guī)和直尺。

一個(gè)班的學(xué)生中一般總有幾個(gè)學(xué)得不好的，也總有幾個(gè)學(xué)生學(xué)得很好，由此人們往往會得出一個(gè)錯誤的判斷，就是在數(shù)學(xué)教學(xué)中不需要實(shí)驗(yàn)，沒有實(shí)驗(yàn)他們不是也學(xué)得很好嗎？

其實(shí)不然。少數(shù)學(xué)生不需要某個(gè)實(shí)驗(yàn)，可能是因?yàn)樗麄円郧白鲞^有同樣效果的實(shí)驗(yàn)，但其他學(xué)生仍是需要的。

近年來數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)教育中日益受到重視，只是實(shí)驗(yàn)手段還有待提高。例如：

為讓學(xué)生理解“全等”的概念，現(xiàn)在最好的中學(xué)數(shù)學(xué)教師所采用的實(shí)驗(yàn)仍是用兩張透明膠片滑移使圖形重合，還沒有比這更好的手段;

為了理解長方體，可以用疊紙盒的方法做實(shí)驗(yàn)，這實(shí)驗(yàn)用電腦應(yīng)是可以虛擬化的（在電腦顯示屏上看到），但至今還沒有人做出相應(yīng)的程序，而做這樣一個(gè)程序，工程不小、成本也不低;

為了理解用平面切割圓錐得到圓錐曲線，一個(gè)簡單而粗糙的實(shí)驗(yàn)是用手電筒照墻面，現(xiàn)在還沒有比這更方便更精確的手段，等等。

除了這些實(shí)驗(yàn)設(shè)備外，一個(gè)較為先進(jìn)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手段是計(jì)算機(jī)虛擬實(shí)驗(yàn)張景中先生建立的“超級畫板”可以作為一個(gè)實(shí)驗(yàn)平臺，我們與張先生合作建立了一些虛擬實(shí)驗(yàn)，包括運(yùn)動、角、勾股定理（割補(bǔ)法）、數(shù)軸、牛頓-萊布尼茲公式等。

在更深的數(shù)學(xué)中，實(shí)驗(yàn)同樣有助于學(xué)習(xí)。

要讀高水平數(shù)學(xué)家寫的課外書

數(shù)學(xué)的內(nèi)容極為廣闊，因此學(xué)習(xí)的內(nèi)容（包括教科書）的選擇極為重要。這就是需要高水平的數(shù)學(xué)家來為中學(xué)生寫書的原因。數(shù)學(xué)大師傅種孫、吳文俊等都翻譯過國外的中學(xué)優(yōu)秀教科書。

現(xiàn)在經(jīng)常聽到的一個(gè)口號是“減負(fù)”，然而很多人覺得越減越重。其實(shí)看看統(tǒng)編教科書確實(shí)內(nèi)容的量沒減少，在減掉一些內(nèi)容的同時(shí)又悄悄加入了另一些內(nèi)容。

遺憾的是，減掉的多為精華，也是統(tǒng)編教科書越來越令人覺得無聊的一個(gè)原因。當(dāng)然，內(nèi)容的選擇只是一個(gè)方面，寫作質(zhì)量也很重要。現(xiàn)在常見統(tǒng)編教科書中出現(xiàn)數(shù)學(xué)錯誤，這當(dāng)然要誤人子弟的。

1960年代，在華羅庚先生的倡導(dǎo)下，很多數(shù)學(xué)家為中學(xué)生寫課外讀物，出版了一套 ，有十余本。華羅庚先生身先士卒寫了兩本：第 1號《從楊輝三角談起》和第 3號《從祖沖之的圓周率談起》，后來又寫了《從孫子的“神奇妙算”談起》，此外還寫了一些別的小冊子，其中《數(shù)學(xué)歸納法》和《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》后來也收入《數(shù)學(xué)小叢書》中。《數(shù)學(xué)小叢書》系列，現(xiàn)在已有再版。

這些書的質(zhì)量都是非常高的，是真正的精品，即使在今天也仍是極好的中學(xué)生讀物。遺憾的是現(xiàn)在讀這些書的人很少，連中學(xué)教師都很少有讀過的。

我曾經(jīng)對一個(gè)同學(xué)說：“你選讀的那本書質(zhì)量很差，不值得讀?！蹦峭瑢W(xué)反問道：“我不讀怎么知道它很差呢？”

你們覺得這個(gè)同學(xué)的話有道理嗎？我覺得很有道理，因?yàn)槁爠e人的評價(jià)不能代替自己的評價(jià)，自己判斷錯， 吃了虧，得到教訓(xùn)，是成長的不可缺少的環(huán)節(jié)。

高質(zhì)量的數(shù)學(xué)競賽值得參加

數(shù)學(xué)競賽是一種非常好的教育方法，它能激勵學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，發(fā)現(xiàn)人才，提高學(xué)生的素質(zhì)，開闊學(xué)生的眼界。此外，它能建立數(shù)學(xué)界與青少年溝通的橋梁，吸引數(shù)學(xué)家對青少年人才培養(yǎng)的投入，吸引學(xué)術(shù)界和社會對于數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)注等。

數(shù)學(xué)競賽是一種學(xué)術(shù)性很強(qiáng)的競賽，需要依靠數(shù)學(xué)家來組辦，尤其是命題。我參加過多種中、小學(xué)數(shù)學(xué)競賽的命題，深知這是難度很高而且非常辛苦的工作。

華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽的命題標(biāo)準(zhǔn)尤其高。為了一個(gè)題目，教授們要開多次討論會，而且絕大多數(shù)題目都不能通過。

簡言之，數(shù)學(xué)競賽題的內(nèi)容既要基于學(xué)生的課程內(nèi)容，又不能落入俗套;既要有難度，又要簡單;既考驗(yàn)智慧，又啟發(fā)新的智慧;既不能超出學(xué)生知識基礎(chǔ)的范圍，又要有高的深刻的觀點(diǎn)。

由此可以體會到當(dāng)年華羅庚先生和其他數(shù)學(xué)家做競賽命題這件事有多辛苦。越是大的數(shù)學(xué)競賽越是需要數(shù)學(xué)家。反之，如果在舉辦數(shù)學(xué)競賽時(shí)排斥數(shù)學(xué)家，就是從根本上造假。

很多人跟我談“奧數(shù)”我都拒絕回應(yīng)?，F(xiàn)在很多人所說的“奧數(shù)”，只是打著“奧數(shù)”的牌子開培訓(xùn)班和搞競賽。其中有些講究質(zhì)量，但大多數(shù)只是將以往的數(shù)學(xué)競賽題用作培訓(xùn)題或稍加改動用于競賽。我就經(jīng)常看到以往的華杯賽題被反復(fù)使用，甚至盜版。

我國自1950年代華羅庚先生倡導(dǎo)數(shù)學(xué)競賽以來，數(shù)學(xué)競賽在推動科學(xué)技術(shù)發(fā)展和人才培養(yǎng)等方面作出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。許多數(shù)學(xué)家參與數(shù)學(xué)競賽，關(guān)注中學(xué)教育，這些對我國的發(fā)展是非常寶貴的。

數(shù)學(xué)和科學(xué)一樣，關(guān)鍵是學(xué)懂

數(shù)學(xué)告訴我們科學(xué)的真理，它們深刻地揭露自然界的秘密，在這方面它與物理、化學(xué)、生命科學(xué)等是一樣的。例如勾股定理、圓的面積、加法定理、代數(shù)基本定理、費(fèi)爾馬大定理，這些真理的表述都非常簡單，使得人們很容易理解和應(yīng)用。但是它們都不是簡單的常識或直觀上可以看到的事實(shí)。

常常很多人使用一個(gè)數(shù)學(xué)定理但不知道或不懂得它的證明，這沒有危險(xiǎn)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家保證了定理的可靠性。但能使用并不等于掌握。這可能有潛在的問題。

數(shù)學(xué)中的深刻定理都是經(jīng)過很多人的長期艱苦探索才發(fā)現(xiàn)和證明的，而基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究與理論物理類似，都屬于理論研究的范圍。

由此可見，數(shù)學(xué)是科學(xué)，所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該用學(xué)習(xí)科學(xué)的方法，就是說要理解科學(xué)原理，直至完全懂得;而不是用例如學(xué)習(xí)技術(shù)或法規(guī)的方法。

數(shù)學(xué)的教育，絕不僅僅是一種知識的傳播，而更是包含能力的培養(yǎng)和理念的建立。就以識數(shù)而言，豈是認(rèn)識1、2、3、4、5……那樣簡單。

首先，需要通過上面所說的“擁抱自然”，理解數(shù)字符號的意義，這種理解還要通過以后所做的應(yīng)用題進(jìn)一步深化。

進(jìn)而要了解數(shù)的簡單性質(zhì)，從而對于自然數(shù)有更深入的理解，并且從中培養(yǎng)計(jì)算和應(yīng)用等方面的能力。直到完成“我什么數(shù)都會數(shù)了”這一飛躍的時(shí)候，才算完成了識數(shù)的過程。

到這時(shí)候，一個(gè)人已經(jīng)深刻地理解“數(shù)”是自然規(guī)律，對此已有堅(jiān)定的信念，宇宙觀已有悄然的改變，對于所遇到的問題會自覺地從“數(shù)”的角度考慮，而且明顯地比不識數(shù)時(shí)更“聰明”了，這種“聰明”完全是后天的。

認(rèn)識自然數(shù)的過程歸根結(jié)底是孩子自己完成的。如果孩子沒有興趣，即沒有認(rèn)識自然數(shù)的欲望，無論如何灌輸也不能使他識數(shù)。因此，“理解+記憶”的模式，對于數(shù)學(xué)教育是不適用的。

遺憾的是，很多數(shù)學(xué)教育幾乎就是用技術(shù)教育或法規(guī)教育的方法，甚至將數(shù)學(xué)當(dāng)作教條。這樣的教育盡管可以使一個(gè)孩子學(xué)完所有的教程，如記數(shù)規(guī)定、運(yùn)算法則、多種應(yīng)用題型等等，而且通過達(dá)標(biāo)考試，卻仍然沒有使他“學(xué)懂”數(shù)學(xué)。

不時(shí)地會遇到一個(gè)家長興奮地講自己的孩子的數(shù)學(xué)才能：很小就能認(rèn)識數(shù)字，4歲就會做 1萬以內(nèi)的加減法，背九九表，參加什么速算比賽獲獎，等等。然而，這很可能傷害甚至毀掉了孩子學(xué)好數(shù)學(xué)的前途。難免有人會反問：為什么一定要“學(xué)懂”數(shù)學(xué)呢？只要“會做”就可以通過考試了，達(dá)標(biāo)了，將來也就可以工作了。然而，現(xiàn)在人工智能發(fā)展得很快，不管多聰明的人，與人工智能比速算，做選擇題，甚至做套路題，都將完全不是對手。

有很多人由此斷言人將被電腦淘汰。然而，懂得數(shù)學(xué)的人不會被淘汰，因?yàn)槿斯ぶ悄軣o論做得多快多好，仍是只會“做”而不“懂”數(shù)學(xué)。

怎樣才叫“懂”數(shù)學(xué)呢？這里舉一個(gè)例子。

我在中科院和首都師大經(jīng)常主持研究生面試，參加面試的都是筆試達(dá)標(biāo)的。我們從不問難題，一般是問你有什么學(xué)得好的（有自信的），我們就從其中問個(gè)簡單問題看看考生是否學(xué)懂了。例如考生說群論學(xué)得好，就讓他舉個(gè)群的例子。這樣的“送分”題卻經(jīng)常有人答不上來。哪怕只是初步學(xué)懂，也不至于連一個(gè)簡單的例子都舉不出來呀。

數(shù)學(xué)知識多，不如數(shù)學(xué)理念強(qiáng)

在現(xiàn)代社會中，一個(gè)人一生中接受數(shù)學(xué)教育的時(shí)間是相當(dāng)長的。實(shí)際上，幼兒一般在很小的時(shí)候就開始接受數(shù)學(xué)教育。

按我國現(xiàn)行的義務(wù)教育法，每個(gè)少年至少要上完初中，而接受數(shù)學(xué)教育也要到上完初中;很多地區(qū)已開始普及高中教育;而對于很多方面工作的需要，即使高中數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)都還不夠，至少需要用到微積分。

可以預(yù)料，我國公民一生中接受數(shù)學(xué)教育的平均時(shí)間，還會進(jìn)一步增加。雖然一個(gè)人需要學(xué)的數(shù)學(xué)這么多而且越來越難，但即使是一個(gè)小學(xué)生也可能有很好的數(shù)學(xué)素質(zhì)，而中學(xué)生中有很多可以達(dá)到相當(dāng)高的數(shù)學(xué)素質(zhì)。一個(gè)人數(shù)學(xué)素質(zhì)的標(biāo)志不是數(shù)學(xué)知識的多少，而是數(shù)學(xué)理念的高度。

小學(xué)階段培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)的一個(gè)要點(diǎn)是可靠性。在做數(shù)學(xué)題的過程中，要求越來越嚴(yán)格，這是培養(yǎng)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的第一步。如果一個(gè)小學(xué)生在解題過程中的錯誤都能夠自己發(fā)現(xiàn)和改正，就是解題非?？煽?，在這一點(diǎn)上數(shù)學(xué)素質(zhì)完全達(dá)標(biāo)了。

中學(xué)階段對于數(shù)學(xué)素質(zhì)有更多的要求，包括代數(shù)運(yùn)算能力、空間想象力、邏輯性等，更高的要求是獨(dú)立探索解決問題的能力。數(shù)學(xué)素質(zhì)的提升主要是通過理念的提升來實(shí)現(xiàn)的。理念的提升，遠(yuǎn)比技巧的提高重要。在理念的提升過程中，概念越來越抽象。抽象概念常常是具體概念的推廣或提升。在教學(xué)中一個(gè)常見的誤區(qū)是，先講抽象概念，再應(yīng)用到具體情況，這樣符合邏輯次序，但對于學(xué)習(xí)可能并不合適，因?yàn)槿说恼J(rèn)識過程是從特殊到一般，從低到高，經(jīng)常是從具體到抽象，就是說抽象的概念需要通過大量具體的例子才能理解。

最后再指出一點(diǎn)：數(shù)學(xué)的教育特別需要“因材施教”，對于同一個(gè)問題，不同的人很可能需要大不相同的學(xué)習(xí)過程。例如很多數(shù)學(xué)習(xí)題是沒有“標(biāo)準(zhǔn)答案”的，特別是證明題，在好的情況下甚至可能沒有兩個(gè)學(xué)生的答案完全相同，需要教師分別讀懂和判斷。就這一方面看，數(shù)學(xué)教育是很不容易也很辛苦的。