求解含對(duì)數(shù)勢(shì)和變流動(dòng)系數(shù)的Cahn-Hilliard-Hele-Shaw系統(tǒng)的解耦有限元方法

郭亞瑜，賈宏恩

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024)

Cahn-Hilliard-Hilliard-Shaw(CH-HS)系統(tǒng)是數(shù)學(xué)物理中非常重要的模型。它可由在Hele-Shaw元胞中的 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes(CH-NS)方程[1-2]簡(jiǎn)化而得，關(guān)于CH-HS的算法和背景可參考文獻(xiàn)[3-4]。對(duì)于求解含多項(xiàng)式勢(shì)的CH-HS系統(tǒng)，在文獻(xiàn)[5]中提出了有限差分方法；在文獻(xiàn)[6]中提出了間斷Galerkin方法；在文獻(xiàn)[7]中提出了無條件穩(wěn)定的解耦方法，還有一些相關(guān)的研究可參見[8-10]。但是對(duì)于含對(duì)數(shù)勢(shì)的CH-HS系統(tǒng)，在文獻(xiàn)[11]中只給出了對(duì)弱解正則性的證明，并沒有相應(yīng)的數(shù)值方法。本文通過解耦的有限元方法，對(duì)于含變流動(dòng)系數(shù)和對(duì)數(shù)勢(shì)CH-HS系統(tǒng)的進(jìn)行了相關(guān)的研究。

1 模型的建立

1.1 CH-HS模型

在Hele-Shaw元胞中的兩相不可壓縮流由Cahn-Hilliard-Hele-Shaw(CH-HS)方程描述：

(1)

式中：Pe表示擴(kuò)散的Peclet數(shù)；Ω?R2為開多邊形或多面體區(qū)域；?Ω為滿足Lipschitz條件的邊界；n是?Ω上的外法向量；φ代表濃度；u代表速度；p表示壓強(qiáng)；γ和ε都是正數(shù)；m(φ)表示流動(dòng)系數(shù)，滿足假設(shè)：0

含對(duì)數(shù)勢(shì)的自由能密度函數(shù)[12]定義如下：

(2)

式中θ<1。

1.2 正則化問題

(3)

式中κ∈(0,1)。其導(dǎo)數(shù)為：

(4)

(5)

可以發(fā)現(xiàn)CH-HS系統(tǒng)(1)是能量耗散的:

(6)

并且是質(zhì)量守恒的，即(φ(·,t),1)=(φ0,1)，其中(·,·)表示在Ω上標(biāo)準(zhǔn)的L2內(nèi)積。

2 離散格式

2.1 半離散格式

CH-HS系統(tǒng)的變分形式為如下:

(7)

這里f(φ)=f1(φ)-f2(φ),f2(φ):=φ，且：

(8)

令0=t0

(9)

式中：

un+1=-(μn+1)

(10)

(11)

2.1 全離散格式

對(duì)于任意的正整數(shù)r，定義Mh={vh∈C(Ω):|vh|K∈Pr, ?K∈Th}?H1(Ω),這里Pr為階數(shù)不超過r的多項(xiàng)式空間。

(12)

3 穩(wěn)定性分析

(13)

證明：由定義

(14)

全離散格式(12)可以重寫為：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

結(jié)合式(18)～(19)得：

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

將式(22)～(24)結(jié)合，得：

(25)

(26)

利用Cauchy-Schwarz不等式，可知：

(27)

(28)

證畢。

4 數(shù)值算例

在區(qū)域[0,1]×[0,1]上考慮CH-HS問題，初值取為：

φ0=0.24·cos(2πx)cos(2πy)+

0.4·cos(πx)cos(3πy)

(29)

邊界條件為：

?nφ=?nμ=0,u·n=0

(30)

令依賴于濃度的變系數(shù)函數(shù)為：

(31)

其余參數(shù)分別為：Pe=20，θ=0.5，ε=0.05，γ=0.005，κ=0.01，τ=0.000 1，T=0.2。

表1～4呈現(xiàn)了對(duì)于所提格式利用不同的有限元計(jì)算的數(shù)值結(jié)果。

從表1～2可知，利用P1有限元計(jì)算，φ,p分別在L2范數(shù)下可以達(dá)到二階精度，在H1范數(shù)下可以達(dá)到一階精度。

從表3～4可知，利用P2有限元計(jì)算，φ,p分別在L2范數(shù)下可以達(dá)到三階精度，在H1范數(shù)下可以達(dá)到二階精度。

表1 利用P1有限元計(jì)算的L2范數(shù)下的數(shù)值結(jié)果Tab.1 Numerical results inL2norm by using P1 finite element

表2 利用P1有限元計(jì)算的H1范數(shù)下的數(shù)值結(jié)果Tab.2 Numerical results in H1norm by using P1 finite element

表3 利用P2有限元計(jì)算的L2范數(shù)下的數(shù)值結(jié)果Tab.3 Numerical results inL2norm by using P2 finite element

表4 利用P2有限元計(jì)算的H1范數(shù)下的數(shù)值結(jié)果Tab.4 Numerical results in H1norm by using P2 finite element

定義CH-HS的離散能量為：

(32)

修正后的能量為：

(33)

取參數(shù)τ=0.001，T=1，其余參數(shù)與表1中的相同。

圖1表示了能量的穩(wěn)定性質(zhì)。

圖1 能量變化圖Fig.1 Evolution of energy

5 結(jié) 論

1) 區(qū)別于傳統(tǒng)的多項(xiàng)式勢(shì)的研究，研究對(duì)數(shù)勢(shì)，對(duì)于對(duì)數(shù)勢(shì)的處理，采用與含對(duì)數(shù)勢(shì)的Cahn-Hilliard方程類似的正則化方法，并給出了相應(yīng)的穩(wěn)定性分析。

2) 分別利用P1有限元和P2有限元，進(jìn)行數(shù)值模擬，得到了相應(yīng)的精度。在未來的研究中，可以結(jié)合多重網(wǎng)格方法進(jìn)行處理，進(jìn)一步節(jié)省計(jì)算時(shí)間。