用光晶格模擬狄拉克、外爾和麥克斯韋方程*

朱燕清 張丹偉 朱詩(shī)亮 2）?

1）(南京大學(xué)物理學(xué)院,固體微結(jié)構(gòu)國(guó)家實(shí)驗(yàn)室,南京 210093）

2）(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院,廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006）

相對(duì)論性量子力學(xué)波動(dòng)方程,如狄拉克、外爾和麥克斯韋方程,是描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)的基石.最近的實(shí)驗(yàn)和理論研究表明,冷原子系統(tǒng)中幾乎所有參數(shù)都可精確調(diào)控,因此冷原子系統(tǒng)被認(rèn)為是實(shí)現(xiàn)量子模擬的理想平臺(tái),可以用來(lái)研究高能和凝聚態(tài)物理中的一些基本問(wèn)題.本文介紹了設(shè)計(jì)原子光晶格哈密頓量的思路和方法,主要涉及激光輔助跳躍的理論.基于這些方法,物理學(xué)界提出了利用光晶格體系模擬相對(duì)論性量子力學(xué)波動(dòng)方程,包括狄拉克、外爾和麥克斯韋方程等,并且預(yù)言了一些在基本粒子物理中很難觀察到,但在冷原子體系可能觀察到的物理現(xiàn)象.本文綜述了國(guó)際上此領(lǐng)域的研究進(jìn)展.

1 引 言

自上個(gè)世紀(jì)80年代以來(lái),伴隨著超冷原子系統(tǒng)中實(shí)驗(yàn)技術(shù)的日臻成熟,例如超冷原子氣體制備[1?5]、原子間相互作用的調(diào)控[6]、光晶格[7]和人工規(guī)范場(chǎng)的產(chǎn)生[8?10]等,科學(xué)家對(duì)于冷原子系統(tǒng)的操控已取得令人矚目的成就.最近的理論和實(shí)驗(yàn)研究都證明,超冷原子體系可用于模擬和研究凝聚態(tài)和高能物理中的一些重要模型[11],特別是可以模擬一些很難實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)的模型或理論上很難處理的體系或物理現(xiàn)象,例如量子相變、高溫超導(dǎo)、量子磁阻挫、極端條件下的相對(duì)論性粒子等.冷原子量子模擬的突出優(yōu)點(diǎn)是,絕大部分相關(guān)的物理參數(shù)在實(shí)驗(yàn)上都能夠精確調(diào)控,從而可以人為設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)所需要的哈密頓量.

另一方面,相對(duì)論性量子力學(xué)波動(dòng)方程,如狄拉克、外爾和麥克斯韋方程,是描述微觀相對(duì)論性粒子運(yùn)動(dòng)的基石.并且有些很早就預(yù)言的現(xiàn)象,如薛定鄂預(yù)言的狄拉克粒子的Zitterbewegung振蕩等,一直沒(méi)有在基本粒子中觀察到.如何在冷原子體系中模擬這些相對(duì)論性波動(dòng)方程,并且觀察到之前不能觀察的極端條件的物理現(xiàn)象,正成為冷原子量子模擬的一個(gè)重要研究方向.相對(duì)論性波動(dòng)方程中,哈密頓量是動(dòng)量的一次方,而描寫冷原子的原始哈密頓量一般是動(dòng)量的二次方.如何消除動(dòng)量的二次方,突出一次方的效應(yīng),是此類量子模擬的關(guān)鍵.在現(xiàn)有的理論中,有兩種方式可以做到此點(diǎn):1）基于誘導(dǎo)規(guī)范勢(shì)的方法,利用激光對(duì)有內(nèi)部能級(jí)結(jié)構(gòu)的原子產(chǎn)生幾何相位,可以實(shí)現(xiàn)自旋相關(guān)的等效規(guī)范勢(shì),從而可實(shí)現(xiàn)類似的哈密頓量,其中為原子的動(dòng)能項(xiàng).在超冷原子中,原子動(dòng)量可以很小,上述哈密頓量中,在某些情況下第一項(xiàng)遠(yuǎn)小于第二項(xiàng),從而得到相對(duì)論性方程需要的線性色散關(guān)系[12].2）由于晶格中的某些對(duì)稱性,在動(dòng)量空間中,一些點(diǎn)附近是線性色散關(guān)系,從而描寫具有這些準(zhǔn)動(dòng)量的粒子需要相對(duì)論性方程.類比凝聚態(tài)系統(tǒng)中電子在固體周期勢(shì)場(chǎng)和外加電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)[13],將冷原子放置在由激光形成的光晶格中,輔以適當(dāng)?shù)募す庹{(diào)制以實(shí)現(xiàn)人工規(guī)范場(chǎng),如激光輔助跳躍[14,15]、周期調(diào)制光晶格[16]等技術(shù),可以實(shí)現(xiàn)有線性色散關(guān)系的格點(diǎn)哈密頓量.這兩個(gè)方式都可以用于模擬相對(duì)論性粒子及其物理效應(yīng).本文著重介紹利用光晶格體系實(shí)現(xiàn)相對(duì)論性量子力學(xué)波動(dòng)方程的研究.該量子模擬的關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)合適的光晶格和激光調(diào)制,使得超冷原子在能帶中某些特定點(diǎn)附近的低能激發(fā)滿足相應(yīng)的相對(duì)論波動(dòng)方程.本文首先概述激光輔助跳躍和光晶格緊束縛哈密頓量的基本理論,然后分別介紹在光晶格系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)狄拉克、外爾和麥克斯韋方程的幾個(gè)具體方案,最后是總結(jié)和展望.

2 原子哈密頓量的設(shè)計(jì)

2.1 激光輔助跳躍

激光輔助跳躍的基本思路是:首先抑制原子在近鄰格點(diǎn)的自然跳躍(如光晶格勢(shì)阱較深或近鄰格點(diǎn)的能量差較大),然后通過(guò)外加拉曼激光耦合近鄰格點(diǎn)中的原子來(lái)恢復(fù)和調(diào)控原子跳躍,進(jìn)而產(chǎn)生等效規(guī)范勢(shì)和自旋軌道耦合[8,9].這里主要介紹文獻(xiàn)[15]中利用激光輔助跳躍產(chǎn)生規(guī)范勢(shì)的方案.如圖1所示,為實(shí)現(xiàn)自旋依賴的光晶格,可考慮在方向施加波長(zhǎng)處于“反魔數(shù)”(“anti-magic”)波段的駐波場(chǎng),同時(shí)在方向施加處于“魔數(shù)”波段的駐波,處在兩個(gè)不同內(nèi)態(tài)和的原子在平面內(nèi)感受到的光晶格勢(shì)為

圖1 基于激光輔助跳躍實(shí)現(xiàn)人工磁場(chǎng),黑 (灰)色圓分別表示內(nèi)態(tài)為 的Yb原子(a)內(nèi)態(tài)被標(biāo)記為 和 的原子被囚禁在自旋依賴的光晶格勢(shì) 和 中,其中 ;(b) 方向上的激光輔助躍遷;(c) 自旋依賴光晶格示意圖. 方向存在自然跳躍, 方向由一束拉曼光 誘導(dǎo)跳躍Fig.1.Realization of artificial magnetic field based on laser-assisted tunneling.Gray and black dots represent the Yb atoms correspond to internal states and ,respectively:(a)The atoms and are trapped in the state-dependent optical lattice potentials and ,where ;(b)laser-assisted tunneling along direction;(c)sketch of state-dependent optical lattice.Nature tunneling occurs along the direction,and the tunneling along direction is induced by a Raman beam .

2.2 緊束縛哈密頓量

當(dāng)晶格勢(shì)阱足夠深,描述光晶格中粒子的有效模型是緊束縛近似下的格點(diǎn)哈密頓量.此時(shí)囚禁在勢(shì)阱中的原子可由局域的瓦尼爾函數(shù)描述.假設(shè)光晶格中原子一直處于布洛赫能帶的最低帶上,則原子哈密頓量(1）式的二次量子化形式為

3 六角光晶格和交錯(cuò)磁通光晶格中狄拉克方程的實(shí)現(xiàn)

1928年,英國(guó)物理學(xué)家狄拉克提出了著名的狄拉克方程,即描述自旋粒子的相對(duì)論波動(dòng)方程,其形式為

這里首先回顧一下由Zhu等[18]最早在二維蜂巢光晶格中模擬狄拉克方程的理論方案.考慮將單分量費(fèi)米原子(如，等)囚禁在蜂巢光晶格中,該晶格可由三束駐波激光照射原子團(tuán)形成,其勢(shì)場(chǎng)為

Zhang等[19]提出另一個(gè)實(shí)現(xiàn)狄拉克方程的理論方案:在自旋依賴的正方光晶格中,通過(guò)兩束拉曼光耦合兩分量的費(fèi)米原子,以形成一個(gè)交錯(cuò)磁通的晶格,此時(shí)系統(tǒng)的有效哈密頓量也是二維狄拉克哈密頓量.考慮處于自旋依賴呈棋盤狀的正方晶格中的二分量費(fèi)米氣,如圖2(a)所示.該晶格在實(shí)驗(yàn)上可通過(guò)疊加存在偏振夾角的兩束線偏振激光產(chǎn)生,其中兩個(gè)子格(A和B)間的距離以及勢(shì)阱的深度都可通過(guò)調(diào)節(jié)激光的強(qiáng)度和夾角大小很好

圖2 (a)交錯(cuò)磁通光晶格;(b)雙光子拉曼過(guò)程;(c)等效磁通Fig.2.(a) Staggered flux optical lattice;(b) two-photon Raman process;(c)effective flux.

2012年,蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院的Tarruell等[26]報(bào)道了在蜂巢光晶格中使用超冷原子實(shí)現(xiàn)具有可調(diào)節(jié)性質(zhì)的狄拉克點(diǎn)的實(shí)驗(yàn),他們利用三束回歸反射的激光作用在原子團(tuán)上,通過(guò)調(diào)節(jié)激光間的相對(duì)強(qiáng)度實(shí)現(xiàn)了與蜂巢晶格拓?fù)涞葍r(jià)的磚墻晶格.狄拉克費(fèi)米子的探測(cè)則通過(guò)測(cè)量狄拉克點(diǎn)附近的能帶色散來(lái)實(shí)現(xiàn),能帶結(jié)構(gòu)可以通過(guò)布洛赫-朗道-齊納震蕩的技術(shù)[26?28]進(jìn)行探測(cè).實(shí)驗(yàn)中通過(guò)改變激光之間的失諧量,可在子格間產(chǎn)生能量差并導(dǎo)致在狄拉克點(diǎn)打開能隙,而從最低能帶隧穿到上一能帶的概率隨著的變化而改變.當(dāng)時(shí),即能隙在狄拉克點(diǎn)閉合,隧穿的概率最大,對(duì)應(yīng)上能帶的原子布局?jǐn)?shù)最大.隨著從0開始變大,對(duì)應(yīng)的隧穿率變小,標(biāo)志著系統(tǒng)從存在無(wú)質(zhì)量狄拉克粒子到有質(zhì)量狄拉克粒子的過(guò)程.此外,當(dāng)時(shí),布里淵區(qū)中狄拉克點(diǎn)的位置以及相關(guān)線性色散的斜率可通過(guò)調(diào)節(jié)激光強(qiáng)度來(lái)改變.如文獻(xiàn)[18]所述,調(diào)節(jié)激光間的相對(duì)強(qiáng)度,可使得布里淵區(qū)中兩個(gè)拓?fù)洳坏葍r(jià)的狄拉克點(diǎn)位置發(fā)生移動(dòng),當(dāng)這兩個(gè)狄拉克點(diǎn)在布里淵區(qū)的角落相遇時(shí)會(huì)相互融合然后湮滅,能隙打開.依據(jù)這一原理,就可將發(fā)生拓?fù)湎嘧兊呐R界線描繪出來(lái).而對(duì)于狄拉克點(diǎn)對(duì)應(yīng)非零的貝里相,則可以通過(guò)原子干涉儀進(jìn)行探測(cè)[29].

三維的狄拉克方程所需的狄拉克矩陣為四個(gè),故不再是泡利矩陣,而是的矩陣,此時(shí)的狄拉克哈密頓量在外爾表象下寫作

4 三維光晶格中外爾方程的實(shí)現(xiàn)

無(wú)質(zhì)量的狄拉克方程(8）式在外爾表象下可寫成

冷原子光晶格系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)外爾半金屬的理論方案已有許多,如在二維光晶格中引入自旋軌道耦合,再加一個(gè)人工維度可以實(shí)現(xiàn)外爾半金屬[36];通過(guò)在兩個(gè)人工維度中堆垛一維雙勢(shì)阱晶格的拓?fù)湎?或者是直接將二維的具有交錯(cuò)磁通棋盤結(jié)構(gòu)或蜂巢光晶格堆垛成三維的晶格[37?40],都可以實(shí)現(xiàn)外爾半金屬[37].在這些方案中,自旋自由度可選擇用兩個(gè)原子內(nèi)態(tài)或者兩個(gè)子格子,對(duì)應(yīng)所需要實(shí)現(xiàn)的跳躍項(xiàng)需用到人工自旋軌道耦合和人工磁場(chǎng).文獻(xiàn)[41]給出了通過(guò)堆垛Hofstadter-Harper系統(tǒng)成為一個(gè)立方晶格以實(shí)現(xiàn)拓?fù)渫鉅柊虢饘傧嗟姆桨?圖3中展示的是沿和方向存在激光輔助跳躍的三維晶格示意圖.為實(shí)現(xiàn)這樣的跳躍,應(yīng)先通過(guò)在每個(gè)格點(diǎn)引入足夠大線性傾斜以抑制這兩個(gè)方斜可以通過(guò)在方向引入線性的勢(shì)場(chǎng)(如重力場(chǎng)、磁場(chǎng)等)產(chǎn)生.正如在2.1節(jié)中介紹的方法,引入兩束遠(yuǎn)失諧頻率和動(dòng)量分別相差和的拉曼光可重新誘導(dǎo)這兩個(gè)方向發(fā)生共振跳躍[15,16].該三維晶格對(duì)應(yīng)的有效哈密頓量為

圖3 實(shí)現(xiàn)外爾半金屬的三維立方晶格示意圖.合理設(shè)計(jì) 和 方向跳躍,在動(dòng)量空間會(huì)出現(xiàn)外爾點(diǎn).虛線和實(shí)線分別表示獲得相位 和0[41]Fig.3.Schematic diagram of a three-dimensional cubic lattice of a Weyl semimetal.The Weyl points will be created in the momentum space if the tunneling alongand directions are well-designed.The dashed and solid lines indicate the phase and0,respectively.

除了使用與測(cè)量二維狄拉克點(diǎn)類似的方法可以探測(cè)三維的外爾點(diǎn)之外,另一種觀測(cè)外爾點(diǎn)的方法是布拉格光譜法:采用額外的一對(duì)拉曼光耦合外爾哈密頓量,將下能帶的原子激發(fā)至上能帶用以探測(cè)能帶結(jié)構(gòu).該方案將揭示具有非常高分辨率的外爾點(diǎn)的存在,因?yàn)樗粫?huì)改變內(nèi)部原子態(tài),因此對(duì)塞曼位移并不敏感.獲得外爾半金屬相后,可進(jìn)一步研究其獨(dú)特的拓?fù)浔砻鎽B(tài),即連接兩個(gè)手性相反的外爾點(diǎn)的費(fèi)米弧.外加與一對(duì)手性相反的外爾點(diǎn)平行的人工電磁場(chǎng),系統(tǒng)因手征反常將會(huì)出現(xiàn)負(fù)磁阻效應(yīng),其對(duì)應(yīng)的輸運(yùn)性質(zhì)也是一個(gè)熱門的研究課題[39].此外,在標(biāo)準(zhǔn)的線性色散的外爾哈密頓量上增加某一方向的線性項(xiàng),可獲得第二類的外爾點(diǎn),在費(fèi)米能級(jí)附近的激發(fā)同時(shí)包含電子和空穴型的激發(fā)[42?44].文獻(xiàn)[42]中提出的方案可實(shí)現(xiàn)一類和二類的外爾半金屬以及兩者間的Lifshitz型拓?fù)湎嘧?

5 光晶格中麥克斯韋方程的實(shí)現(xiàn)

介質(zhì)中無(wú)源無(wú)流的麥克斯韋方程可寫為

下面簡(jiǎn)要介紹文獻(xiàn)[45]中的第一種方案.首先考慮實(shí)現(xiàn)的二維晶格哈密頓量為

該模型同樣可以推廣到三維,此時(shí)哈密頓量為

6 總結(jié)與展望

本文介紹了利用光晶格實(shí)現(xiàn)相對(duì)論性量子力學(xué)波動(dòng)方程的幾個(gè)具體方案,并討論了相應(yīng)的獨(dú)特性質(zhì)和所用到的相關(guān)測(cè)量方法.這套方法和思路可以用于實(shí)現(xiàn)和研究更高自旋的相對(duì)論性波動(dòng)方程[47,48],以及最近引起廣泛研究興趣的可用于拓?fù)淞孔佑?jì)算的阿貝爾或非阿貝爾任意子,如馬約納拉(Majorana)費(fèi)米子、斐波納吉(Fibonacci)任意子、仲費(fèi)米子 (parafermions)等[49?53].此外,贗自旋1的拓?fù)潲溈怂鬼f費(fèi)米子有非常豐富的物理性質(zhì),值得更進(jìn)一步研究.類似于狄拉克和外爾費(fèi)米子,可以討論麥克斯韋粒子的克萊因隧穿效應(yīng)[54,55]和 Zitterbewegung振蕩[56]動(dòng)力學(xué),以及非常規(guī)的輸運(yùn)特性[57]等.例如,在狄拉克和外爾費(fèi)米子的Zitterbewegung效應(yīng)中存在一個(gè)振蕩頻率,但在麥克斯韋費(fèi)米子的Zitterbewegung振蕩中有兩種不同的振蕩頻率[58].此外可將二維模型推廣到時(shí)間反演的體系,用于模擬光的量子自旋霍爾效應(yīng)[59].光晶格中的超冷原子因具有高度可控性[60],目前已經(jīng)成為了模擬凝聚態(tài)系統(tǒng)的一個(gè)強(qiáng)有力的工具和平臺(tái),并且已經(jīng)取得了一些值得慶賀的成績(jī),如 Su-Schrieffer-Heeger[61],Bose-Hubbard[62,63],Haldane[64],Hofstadter-Harper[24,25,65]模 型 等 ,這些模型在凝聚態(tài)系統(tǒng)中難以實(shí)現(xiàn),但已經(jīng)在冷原子光晶格系統(tǒng)中被實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)[11].未來(lái),冷原子光晶格系統(tǒng)將繼續(xù)用于模擬和研究量子多體系統(tǒng)、拓?fù)淞孔游镔|(zhì)、高能、天體、甚至是量子信息等領(lǐng)域的問(wèn)題[66,67].由于具有獨(dú)特而有趣的物理性質(zhì),超冷原子物理必將在各個(gè)領(lǐng)域的研究和實(shí)現(xiàn)上大放異彩.