關于等腰三角形的分類討論教學

管甜甜

摘 要：分類討論是初中數(shù)學的重要思想方法，在等腰三角形、函數(shù)、方程等內(nèi)容當中都有所應用，用這種方法的關鍵是分類的依據(jù)要清晰，另一個關鍵是要對結論進行驗證，驗證的標準是得出的這個結論能不能滿足已知條件。

關鍵詞：等腰三角形；分類討論；教學實踐

等腰三角形是一種特殊的三角形，它的性質(zhì)比較多，恰當?shù)胤诸惪梢蕴岣邔W生分析問題和解答問題的能力。以下筆者總結了等腰三角形問題中常見的幾種需要分類討論的情況，希望給予學生一定的幫助。

一、關于等腰三角形邊的分類

當題目當中給出了三角形的邊長，但是沒有明確地說哪個邊是腰、哪個邊是底時，這個時候就需要進行分類了，可以分為兩種情況進行討論：第一種情況是設這個邊為腰；第二種情況是設這個邊為底。這只是理論上的假設，而實際上這樣求出來的兩組邊長能否組成一個三角形，還要進行驗證，而進行驗證的標準就是三角形的性質(zhì)：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

例如，已知等腰三角形的周長為15，其中一個邊長為6，那么它的底邊長多少？在解答這個問題的時候，題目當中的關鍵信息是邊長為6的邊不確定是腰還是底，這時分類討論的兩種情況分別是：第一種情況是設長為6的邊為腰，則另兩條邊為6，3；第二種情況是設長為6的邊為底，則另兩條邊是4.5，4.5。這時，要驗證這樣兩組邊長能不能組成一個三角形，也就是滿不滿足三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。經(jīng)驗證滿足三角形的三邊關系定理，所以等腰三角形的底邊為6或4.5。

例如，當已知等腰三角形的兩個邊的邊長：一邊長是6，另一邊長是17，求這個三角形的周長時。很多學生會想到應該分類討論：第一種情況是設腰為6，底為17時，則三角形的三個邊分別是6，6，17，這時要根據(jù)三角形的性質(zhì)進行驗證，因為6+6小于17，不符合三角形的性質(zhì)，這樣的三個邊組不成三角形，所以這種假設是不成立的。第二種情況是設腰為17，底為6，則三角形的三個邊分別是17，17，6，根據(jù)三角形的性質(zhì)進行驗證，經(jīng)驗證符合三角形的性質(zhì)，所以這個三角形是成立的，則其周長為17+17+6=40。

二、關于等腰三角形角的分類

我們都知道在等腰三角形中，因為兩個底角相等，所以只要已知一個內(nèi)角的度數(shù)，就能算出其他兩個角的度數(shù)。當已知頂角或底角時，這個三角形形狀是確定的；當已知的內(nèi)角為直角或鈍角是，可以確定這個角就是頂角，因為如果直角或鈍角是一個底角的話，那么三個角的和就會大于180°；當已知內(nèi)角為銳角時，這個三角形的形狀其實是不確定的，這時就要進行分類討論。可以分兩種情況，第一種情況是設這個角為底角，第二種情況是設這個角為頂角，當分別求出另外兩個角的度數(shù)后，還需要檢驗這兩種情況滿不滿足三角形的基本條件，檢驗的標準就是三角形內(nèi)角和為180°，至少有兩個角是相等的。

例如，已知等腰三角形的一個角是另一個角的2倍，求這個等腰三角形的三個內(nèi)角大小時。設一個角是x，另一個角就是2x，這時就要分情況進行討論了。第一種情況是x為頂角，則另兩個角都是2x，根據(jù)三角之和為180°，得x+2x+2x=180°，解得x=36°，則這個等腰三角形的三個內(nèi)角分別是36°，72°，72°。第二種情況是當x為底角時，則另兩個角是x，2x，得x+2x+x=180°，解得x=45°，則這個等腰三角形三個內(nèi)角分別是45°，45°，90°。所以這個等腰三角形的三個內(nèi)角大小是36°，72°，72°或90°，45°，45°。

三、關于等腰三角形形狀的分類

在等腰三角形中，有銳角等腰三角形、直角等腰三角形，也有鈍角等腰三角形，銳角三角形的腰上的高在三角形內(nèi)部，而鈍角三角形的腰上的高在三角形的外部，直角等腰三角形腰上高就是另一條腰，所以當三角形的形狀不確定時，必須分三種情況進行討論。第一種情況是設三角形是銳角三角形，第二種情況是設三角形是鈍角三角形，第三種情況是設三角形是直角三角形。當然這些都是假設的情況，當確定三角形的各要素后，還要進行驗證，除了滿足三角形的性質(zhì)定理以外，還要滿足已知條件。

例如，已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是40°，求這個等腰三角形的頂角。因為腰上的高可能是三角形內(nèi)部，也可能是在三角形的外部，還可能是在三角形的邊上，已知條件中說腰上的高與另一腰的夾角是40°，所以就要對三角形的形狀進行分類，分三種情況，第一種情況是設△ABC為銳角等腰三角形，其中AB=AC，過B作BD⊥AC于D，則∠ABD為40°，在直角△ABD中，則∠A為90°-40°=50°。第二種情況是設△ABC為鈍角等腰三角形，AB=AC，過BD垂直于射線CA于D，則∠ABD=40°，所以∠BAC=130°。第三種情況是設△ABC是直角三角形，AB=AC，則BA就是AC上的高，所以∠ABD是0°，與題目不符。所以這個三角形的頂角是50°或130°。

等腰三角形既符合一般三角形的性質(zhì)和定理，而且還具有自身的特殊性質(zhì)，在解答問題時，一定要考慮不同的情況進行分析和討論，當?shù)贸鼋Y論之后還要進行驗證，因為分情況進行討論的時候，理論上得出的結論不一定能組成一個三角形，所以還要進行驗證。

參考文獻：

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