例說初中生運(yùn)算能力的培養(yǎng)

☉新疆烏魯木齊市教育研究中心 趙愛華

通過聽課調(diào)研和每年對中考數(shù)學(xué)閱卷分析發(fā)現(xiàn)，初中生在考查運(yùn)算能力的試題上失分較多，致使容易題的得分不高，導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績偏低.而數(shù)學(xué)運(yùn)算是六大核心素養(yǎng)之一，需要采取措施長期關(guān)注和培養(yǎng).不僅要讓學(xué)生會算、算對，還要使其明白其中的算理以及如何優(yōu)化運(yùn)算.本文通過幾個(gè)案例，簡單談?wù)剬Τ踔猩\(yùn)算能力的培養(yǎng).

一、數(shù)與式的運(yùn)算案例

層次2：弄清算理.

本題是分?jǐn)?shù)除法，其中除數(shù)是異分母分?jǐn)?shù)相加減.應(yīng)該先算括號內(nèi)的（順序），是異分母分?jǐn)?shù)相加減（法則：先通分，分母不變、分子相加減），再做分?jǐn)?shù)除法（法則：除以一個(gè)數(shù)等于乘它的倒數(shù)），最后是分?jǐn)?shù)乘法（法則：分子與分子的積作分子，分母與分母的積作分母，能約分的要約分）.在運(yùn)算中，識別運(yùn)算對象，嚴(yán)格按照相應(yīng)的運(yùn)算順序、運(yùn)算法則仔細(xì)運(yùn)算是不會出錯(cuò)的.

層次3：運(yùn)算的優(yōu)化.

考生根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序，可得：

也有考生注意到了（a+b）÷c=a÷c+b÷c，于是，將運(yùn)算優(yōu)化為：

例3 （2011年烏魯木齊中考）先化簡，再求值：2（x+1）-（x+1）2，其中x=

識別運(yùn)算對象，不難發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式然后減去一個(gè)完全平方式，于是在考試中多數(shù)考生選擇解法1：

解法1：原式=2x+2-（x2+2x+1）=1-x（2代值略）.

也有考生注意到“整式乘法”與“因式分解”的關(guān)系，于是選擇了解法2：

解法2：原式=（x+1）（2-x-1）=（x+1）（1-x）=1-x（2代值略）.

還有部分考生注意到通過配方可以將這個(gè)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為某個(gè)完全平方公式，于是有解法3：

解法3：原式=2（x+1）-（x+1）2-1+1=-［（x+1）-1］2+1=1-x2（代值略）.

二、培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的途徑

1.要幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，適當(dāng)記憶數(shù)學(xué)事實(shí)

任何數(shù)學(xué)運(yùn)算都是伴隨著數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的，都是在概念系統(tǒng)中進(jìn)行的.深刻理解概念是合理、簡捷地進(jìn)行運(yùn)算的前提.所以，運(yùn)算能力要先從概念、性質(zhì)、公式和法則的理解入手，學(xué)好有關(guān)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的前提與根本.另外，適當(dāng)記憶一些數(shù)學(xué)事實(shí)也是非常有必要的，比如，要記憶：（1）20以內(nèi)正整數(shù)的平方，10以內(nèi)正整數(shù)的立方數(shù)；（2）特殊角的三角函數(shù)值；（3）無理數(shù)e、π、等的近似值；（4）20以內(nèi)正整數(shù)的心算、正負(fù)數(shù)運(yùn)算法則、求根公式、配方、根冪運(yùn)算等.

學(xué)生運(yùn)算不正確的原因常常是概念模糊，公式、法則遺忘或混淆、運(yùn)用死板，數(shù)學(xué)運(yùn)算中要讓學(xué)生做到“不僅步驟清晰，還要步步有據(jù)”.

例5 設(shè)α、β是關(guān)于x的方程x2-2kx+k2-4k=0的兩實(shí)數(shù)根，求（α-1）2+（β-1）2的最小值.

錯(cuò)解：由α、β是關(guān)于x的方程x2-2kx+k2-4k=0的兩實(shí)數(shù)根，得α+β=2k，αβ=k2-4k.

（α-1）2+（β-1）2=（α+β）2-2αβ-2（α+β）+2=2k2+4k+2=2（k+1）2.

由2（k+1）2≥0，得（α-1）2+（β-1）2的最小值等于0，此時(shí)k=-1.

評析：出錯(cuò)的原因在于忽略了“Δ≥0”，也就是Δ=（2k）2-4（k2-4k）=16k≥0，即k≥0.（α-1）2+（β-1）2=2（k+1）2≥2，即［（α-1）2+（β-1）2］min=2，此時(shí)k=0.

2.進(jìn)行科學(xué)、系統(tǒng)的訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)良好計(jì)算習(xí)慣的培養(yǎng)

運(yùn)算方面的訓(xùn)練，一要選擇有代表性的問題進(jìn)行訓(xùn)練；二要注意訓(xùn)練的科學(xué)性和系統(tǒng)性，從簡單到復(fù)雜，從簡單問題逐步展開.首先，遵循“先慢后快”“先模仿后靈活”的原則，嚴(yán)格按步驟進(jìn)行運(yùn)算，并能做到“步步有據(jù)”.其次，通過對公式、法則的“順用”、“逆用”、“變形用”的訓(xùn)練，重視“簡捷算法”和“一題多解”，幫助學(xué)生提高運(yùn)算能力.當(dāng)然，要注意訓(xùn)練量的“度”，并不是越多越好.

計(jì)算習(xí)慣的培養(yǎng)是提高運(yùn)算能力的重要措施，在運(yùn)算技能的形成階段，要讓學(xué)生養(yǎng)成明確計(jì)算目標(biāo)、計(jì)算步驟和步步有據(jù)的習(xí)慣.

評析：出錯(cuò)的原因在于學(xué)生對分?jǐn)?shù)線的括號功能認(rèn)識不清楚，沒有將“-a-1”看作一個(gè)整體，化為統(tǒng)一分母時(shí)符號出錯(cuò).同時(shí)，也是由于訓(xùn)練之初學(xué)生沒有養(yǎng)成“按步驟進(jìn)行”“步步有據(jù)”的好習(xí)慣.如果按步驟進(jìn)行就不會出錯(cuò).

3.注重?cái)?shù)學(xué)思想方法在運(yùn)算過程中的主導(dǎo)作用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的靈活性

運(yùn)算中自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，既有利于提高學(xué)生的思維水平，又有利于運(yùn)算的合理、簡捷，從而提高運(yùn)算的正確性和速度.

例7 （2018年烏魯木齊中考）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上一動點(diǎn)，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于點(diǎn)F.若△AB′F為直角三角形，則AE的長為______.

圖1

圖2

連接AD.

由∠AB′D=∠C=90°，B′D=BD=DC，AD=AD，得Rt△AB′D≌Rt△ACD.

則∠B′DA=∠CDA. 又∠B′DE=∠BDE，則∠ADE=90°，即直線DE與直線AD垂直.

E是直線DE與直線AB的交點(diǎn).

于是，AE的長為3或2.8.

解法中用到了數(shù)形結(jié)合思想，原本要通過多次使用相似三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算線段AE的長度，現(xiàn)在借助平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為求直線的交點(diǎn)，再用兩點(diǎn)間距離公式即可求解.

總之，學(xué)生的運(yùn)算能力并非單一的數(shù)學(xué)能力，需要長期關(guān)注與培養(yǎng).在平時(shí)的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生掌握相應(yīng)的概念、公式、法則等基礎(chǔ)知識；進(jìn)行科學(xué)、系統(tǒng)的訓(xùn)練，養(yǎng)成“訓(xùn)練有序”“步步有據(jù)”的好習(xí)慣；在訓(xùn)練中反思，重視“一題多解”“多題一解”，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法在運(yùn)算中的運(yùn)用，努力達(dá)到“會算”、“算對”、“算好”.