搭建學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維
——以二次函數(shù)的圖像為案例

☉浙江省新昌縣城關(guān)中學(xué) 王岳琦

近來(lái)翻看了舊版初中數(shù)學(xué)教材，其教材的科目名稱(chēng)讓筆者有了感悟，《代數(shù)》、《幾何》就是對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單分類(lèi).正逢學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖像，這類(lèi)知識(shí)就是代數(shù)和幾何的交集，是一種數(shù)形結(jié)合的思想.在近期的集體備課活動(dòng)中，筆者將數(shù)形結(jié)合思想帶進(jìn)了教研之中.學(xué)科組教師都有同感：第一，在初中階段的數(shù)學(xué)，除了要讓學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，更為重要的是要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)特有的思想方法，只有這樣，才能夠逐步構(gòu)建學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，完善他們數(shù)學(xué)思維的學(xué)科素養(yǎng)；第二，二次函數(shù)圖像體現(xiàn)的就是數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)于初中學(xué)生數(shù)學(xué)的能力發(fā)展和素質(zhì)的提升是不可缺失的.如何在課堂上體現(xiàn)與深化數(shù)形結(jié)合思想呢？

一、課堂教學(xué)必須灌輸數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，以創(chuàng)設(shè)形象的情境激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

在集體備課時(shí)，筆者提出了作為一位初中數(shù)學(xué)教師，在二次函數(shù)圖像教學(xué)中必須有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，將二次函數(shù)與圖像緊密結(jié)合在一起，從抽象的函數(shù)式轉(zhuǎn)換為直觀(guān)圖像，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ).

學(xué)科組教師也提出，初中學(xué)生已經(jīng)有了有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的知識(shí)基礎(chǔ)，對(duì)代數(shù)、幾何已經(jīng)有了簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)，這時(shí)教師因勢(shì)利導(dǎo)，讓學(xué)生更多地接觸、吸納并能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中掌握數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的步驟、解題方法等，引導(dǎo)學(xué)生將用數(shù)形結(jié)合思想解決二次函數(shù)問(wèn)題變成一種主動(dòng)自覺(jué)意識(shí)，從而對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)探究產(chǎn)生興趣.比如，在課堂教學(xué)中引入二次函數(shù)的定義時(shí)創(chuàng)設(shè)這樣的問(wèn)題：

案例1：如圖1，假若在一堵長(zhǎng)18m的墻邊修建一個(gè)矩形花圃，可用的籬笆長(zhǎng)度是一定的，讓垂直于墻的一邊MN的長(zhǎng)為xm，先給出x的一些值，算出矩形的另一邊NP的長(zhǎng)，使得矩形的面積為ym2.

圖1

試將所得結(jié)果填寫(xiě)于表1中：

表1

在上面給出的x的值中，你能說(shuō)明取值有限定范圍嗎？

然后就引導(dǎo)出：當(dāng)MN的長(zhǎng)（x）確定后，矩形的面積（y）也隨之確定，y是x的函數(shù).繼續(xù)引導(dǎo)：當(dāng)MN=xm時(shí)，NP長(zhǎng)等于多少米？［通過(guò)圖1中的特征，結(jié)合MN=5m，NP=10m，得出籬笆長(zhǎng)度為20m，當(dāng)MN=xm時(shí)，NP=（20-2x）m］接下來(lái)仍然引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算矩形的面積y等于多少［y=x（20-2x）］.當(dāng)學(xué)生寫(xiě)出了函數(shù)的關(guān)系式后，教師再說(shuō)明為什么這個(gè)函數(shù)的關(guān)系式就是二次函數(shù).

創(chuàng)設(shè)這樣的導(dǎo)入二次函數(shù)的情境，體現(xiàn)的是將圖形轉(zhuǎn)換為代數(shù)式的關(guān)系，就是數(shù)形轉(zhuǎn)換的思想.作為初中教師，必須具備善于挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)中有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力的因素，因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)科就是一門(mén)從生活實(shí)踐中抽象出來(lái)的極有趣味的課程.像案例一樣，還有大量的趣味游戲、科學(xué)家的探索故事、家庭理財(cái)?shù)榷寂c數(shù)學(xué)有不可分割的關(guān)系，在引導(dǎo)學(xué)生感受到探究數(shù)學(xué)的樂(lè)趣之時(shí)，創(chuàng)設(shè)更多的讓學(xué)生主動(dòng)參與的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，讓課堂上的數(shù)形結(jié)合思想變成他們實(shí)踐的樂(lè)園.

二、通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念的拓展，潛移默化數(shù)學(xué)知識(shí)，從而對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行建模

在集體備課活動(dòng)中，學(xué)科組教師一致認(rèn)為初中數(shù)學(xué)中有大量需要理解的數(shù)學(xué)概念，比如，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖像的知識(shí)時(shí)，必須建立在記憶基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題.作為教師，在課堂上必須能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探究問(wèn)題的需求構(gòu)建數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生在理解和應(yīng)用中融合數(shù)形結(jié)合思想方法，促使他們將數(shù)學(xué)知識(shí)潛移默化成自己的數(shù)學(xué)能力.因此，在學(xué)習(xí)函數(shù)變化規(guī)律這一概念時(shí)，必須運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法作出函數(shù)圖像，輕松、準(zhǔn)確地解決函數(shù)問(wèn)題，從而提升他們敢于應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的核心素養(yǎng).在強(qiáng)化二次函數(shù)的概念時(shí)，就可以通過(guò)下列案例細(xì)化概念.

案例2：讓學(xué)生作出二次函數(shù)y=x2與y=2x2的圖像.

這類(lèi)練習(xí)屬于概念問(wèn)題，可以先通過(guò)自主完成，然后同桌交流來(lái)強(qiáng)化，在教師的引領(lǐng)下掌握方法.

第一步是列表：在x的取值范圍內(nèi)列出函數(shù)對(duì)應(yīng)值表.

表2

第二步是作圖像，包括描點(diǎn)和連線(xiàn).如圖2.

教師可以在班里隨機(jī)抽取兩位學(xué)生的圖像，通過(guò)投影的方式來(lái)分析作圖時(shí)出現(xiàn)的相關(guān)問(wèn)題，并指出函數(shù)的圖像有怎樣的特點(diǎn)，再給出拋物線(xiàn)的概念、拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)的概念.接下來(lái)讓學(xué)生明確這兩個(gè)概念，預(yù)設(shè)可以設(shè)置概念填空.

假如存在二次函數(shù)y=ax2，其對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)圖像具備的特點(diǎn)是：

問(wèn)題1：當(dāng)a＞0時(shí)：拋物線(xiàn)開(kāi)口______；在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，曲線(xiàn)自左向右______；在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，曲線(xiàn)自左向右______；______是拋物線(xiàn)上位置最低的點(diǎn).

問(wèn)題2：當(dāng)a＞0時(shí)：當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)值y隨著x的增大而______；當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)值y隨著x的增大而______；當(dāng)x=______時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值y=______.

從集體備課中設(shè)置的案例2可以看出，對(duì)數(shù)學(xué)概念理解或推導(dǎo)等知識(shí)在課堂上當(dāng)然需要占用大量的數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)間，這是課堂教學(xué)的重點(diǎn)，如果學(xué)生不能抓住二次函數(shù)和拋物線(xiàn)的關(guān)系的關(guān)鍵所在，對(duì)于后來(lái)的深化學(xué)習(xí)就很容易形成知識(shí)缺口或不能牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)，久而久之就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)毫無(wú)興趣.筆者相信，在課堂上教師更多的是鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)有效運(yùn)用情境法、分組討論法等深化數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知，理解數(shù)形結(jié)合思想方法，這樣就能提升學(xué)習(xí)效率.

圖2

三、廣泛收集信息，優(yōu)化教學(xué)案例，將數(shù)學(xué)思想方法細(xì)化成學(xué)生探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法

集體備課將每位教師的聰明才智匯聚在一起.在二次函數(shù)圖像的集體備課時(shí)，學(xué)科組成員都會(huì)針對(duì)自己教學(xué)實(shí)踐中讓學(xué)生有效掌握數(shù)形結(jié)合思想的含義和運(yùn)用知識(shí)的案例各抒己見(jiàn)，本次教研活動(dòng)中達(dá)成共識(shí)：只有通過(guò)對(duì)同一數(shù)學(xué)思想反復(fù)訓(xùn)練和強(qiáng)化，才能真正理解解題方法的真諦.所以，在集體備課時(shí)，筆者特別重視學(xué)科組成員提供的典型案例，著重對(duì)教學(xué)案例進(jìn)行分析篩選，然后根據(jù)班級(jí)學(xué)情、教學(xué)重點(diǎn)和三維目標(biāo)等綜合設(shè)計(jì)教學(xué)方案，預(yù)設(shè)一種可以讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手演算、作圖，動(dòng)腦、探究等過(guò)程的活動(dòng)，在解題中質(zhì)疑、釋疑，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).例如，在二次函數(shù)圖像學(xué)習(xí)中，用比較法來(lái)拓展拋物線(xiàn)的變化特征.前面案例2就是采用二次函數(shù)y=x2和函數(shù)y=2x2圖像對(duì)比的方法，在拓展二次函數(shù)圖像的過(guò)程中還可以用同樣的方法產(chǎn)生質(zhì)疑情境.

案例3：在電子白板上展示：二次函數(shù)y=2x2和y=2x2＋1.

情境1：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)前面學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)方法作出二次函數(shù)y=2x2和y=2x2＋1的圖像.

情境2：請(qǐng)將函數(shù)y=2x2與y=2x2＋1的圖像作在同一直角坐標(biāo)系中.

情境3：當(dāng)自變量x的取值相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值y之間是怎樣的關(guān)系？請(qǐng)你在圖像上找到這兩個(gè)點(diǎn)，并觀(guān)察二者之間的位置關(guān)系.

連環(huán)式的質(zhì)疑情境不但能回顧舊知，同時(shí)通過(guò)讓學(xué)生作函數(shù)圖像、觀(guān)察函數(shù)圖像，利用對(duì)比分析出二次函數(shù)y=2x2與y=2x2＋1的圖像開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等，在練習(xí)過(guò)程中不斷打磨數(shù)形結(jié)合思想方法，從而從函數(shù)y=2x2的某些性質(zhì)中得出函數(shù)y=2x2＋1的相關(guān)性質(zhì).

案例是豐富多彩的，課堂也是精彩紛呈的，不同的教師有不同的風(fēng)格.筆者是喜歡循序漸進(jìn)的、喜歡對(duì)比展示并拓展知識(shí)，因此在集體備課時(shí)談到案例2之后，仍然欣然談到案例3.二次函數(shù)圖像的課堂教學(xué)如何優(yōu)化和創(chuàng)新設(shè)計(jì)，如何適時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想，是每位初中數(shù)學(xué)教師的共同話(huà)題，這里就不狗尾續(xù)貂了.

總之，集體備課給了筆者一個(gè)再學(xué)習(xí)、再提升教育教學(xué)能力的機(jī)會(huì)，感悟至深，溢于言表.筆者知道，初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中擁有大量的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)思想，其中數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生在二次函數(shù)圖像中解題抓手的關(guān)鍵所在，教師只有在課堂上靈活、有效地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，才能拓展和創(chuàng)新學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，才能達(dá)成初中學(xué)生必備的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).