探究課堂教學(xué)線段問題中的數(shù)學(xué)思想
——以由平行線段截的比例線段為案例

☉浙江省余姚市姚北實(shí)驗(yàn)學(xué)校 陳迪輝

前不久聽了八年級(jí)趙老師的一節(jié)課，感受至深，課后學(xué)科組的交流反饋也給予很高的評(píng)價(jià).再次打開手機(jī)觀察課堂視頻片段，許多感想油然而生，于是，筆者將這些感想流于筆端.

一、課堂整體結(jié)構(gòu)與效果，值得點(diǎn)贊和學(xué)習(xí)

趙老師的這節(jié)課是平行線段成比例章節(jié)的重點(diǎn)，這節(jié)課也是探究相似三角形的重點(diǎn)、基本的理論出發(fā)點(diǎn).正如趙老師所說：“本節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容不但是為了讓學(xué)生能夠直接判定線段成比例，而且能夠掌握當(dāng)不能直接證明要證的比例成立時(shí)，可以采用這個(gè)定理把兩條線段的比遷移成另兩條線段的比來證明，是一種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想”.從課堂教學(xué)來看，趙老師切實(shí)做到了這一點(diǎn)，她在引導(dǎo)學(xué)生了解平行線分線段成比例定理的證明基礎(chǔ)上拓寬了定理的內(nèi)容；在教會(huì)學(xué)生應(yīng)用定理證明線段成比例、平行等問題基礎(chǔ)上升華了形與數(shù)轉(zhuǎn)化的有關(guān)計(jì)算.她在課堂上的精彩之處在于能夠恰當(dāng)運(yùn)用類比，讓學(xué)生在類比中獲得啟發(fā)、在探究中獲得發(fā)現(xiàn)，這些都是值得點(diǎn)贊和學(xué)習(xí)的.讓我們?cè)俅巫哌M(jìn)趙老師的課堂吧！

二、課堂整體設(shè)計(jì)與實(shí)錄

1.課堂導(dǎo)入

師：請(qǐng)同學(xué)們回答下列問題：

（電子白板展示）（1）平行線等分線段定理的具體內(nèi)容是什么？

學(xué)生共同回答.

（2）如圖1，l1∥l2∥l3，若AB=理方法.

圖1

學(xué)生舉手、解答.

課堂設(shè)計(jì)感悟：趙老師從學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的平行線等分線段定理出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情境，并讓學(xué)生用推理證明的方法導(dǎo)出“由平行線段截的比例線段”的課題.一方面檢查了學(xué)生對(duì)舊知的識(shí)記情況，另一方面讓學(xué)生集中精力，為展開新課做好了準(zhǔn)備.

2.展開新課

師：再來討論一個(gè)問題，（展示）如圖2，l1∥l2∥l3，若AB≠BC，行猜想，然后進(jìn)行分組討論.

圖2

生2：三條平行線截兩條直線，所截的對(duì)應(yīng)線段_____.

師：（補(bǔ)充完整學(xué)生的猜想）請(qǐng)同學(xué)們分組討論這個(gè)猜想.

學(xué)生分組討論并進(jìn)行證明，并對(duì)證明進(jìn)行展示.

圖3

課堂設(shè)計(jì)感悟：從創(chuàng)設(shè)問題情境到新課的展開，趙老師一氣呵成.這也為后面的類比做好鋪墊，通過步步為營的方法讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“平行線分線段成比例定理”，學(xué)生親歷了定理的發(fā)現(xiàn)過程，自然明確定理真正的含義和推理.還有通過教師的評(píng)價(jià)，學(xué)生對(duì)知識(shí)有了深刻的理解，盡管不需要學(xué)生掌握定理完整的證明過程，但仍然要給學(xué)生灌輸任何猜想都需要證明的理念，這些都是值得每位教師學(xué)習(xí)的地方.

3.深化知識(shí)

（電子白板展示）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

師：在圖2中，這個(gè)定理中什么是“對(duì)應(yīng)線段”？（提示：想一想全等三角形的對(duì)應(yīng)邊）

生：（展開討論）在圖2中，AB對(duì)DE、BC對(duì)EF.（補(bǔ)充）AC對(duì)DF.

師：怎樣應(yīng)用幾何用語表達(dá)平行線分線段成比例定理？

學(xué)生自主表達(dá)、舉手.

教師巡視、指導(dǎo)，收集不同的表達(dá)形式，用投影展示.

……

課堂設(shè)計(jì)感悟：課堂上趙老師為了讓學(xué)生深刻理解平行線分線段成比例定理，設(shè)計(jì)了這部分的問題.尤其是第二個(gè)問題，建立在學(xué)生理解什么是對(duì)應(yīng)線段的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)對(duì)應(yīng)的線段寫出表達(dá)式.教師引導(dǎo)學(xué)生親歷用幾何用語表達(dá)定理的過程，這樣的做法有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性和深刻性.

師：談?wù)勀銓?duì)“平行線分線段成比例定理”與“平行線等分線段定理”的關(guān)系的認(rèn)識(shí).（組織學(xué)生分組討論）

學(xué)生有的從證明推導(dǎo)進(jìn)行認(rèn)識(shí)，也有的從比例的結(jié)果進(jìn)行認(rèn)識(shí)、交流.

師：平行線分線段成比例定理的“等量”關(guān)系和“不等量”關(guān)系有哪些？（組織學(xué)生分組討論）

學(xué)生形成結(jié)論，進(jìn)行投影展示、交流.

師：平行線分線段成比例定理的內(nèi)涵與外延是什么？

生：內(nèi)涵是平行線的性質(zhì)定理，外延是判斷線段是否成比例關(guān)系.

課堂設(shè)計(jì)感悟：課堂上趙老師設(shè)計(jì)的這三個(gè)問題，讓學(xué)生再次感悟從特殊到一般，然后從一般再到特殊的過程.這樣的做法就是為了讓學(xué)生能夠掌握數(shù)學(xué)的基本思想——數(shù)形結(jié)合；同時(shí)讓學(xué)生在結(jié)論反復(fù)變形和線段反復(fù)改變的過程中培養(yǎng)舉一反三的技能.尤其是設(shè)計(jì)的第二個(gè)問題，讓學(xué)生在圖形中找出定理的“等量”關(guān)系和“不等量”關(guān)系，并展示結(jié)果，讓學(xué)生有一種成功的自豪感，能樹立他們的自信心，激發(fā)他們勇敢探究數(shù)學(xué)奧秘的雄心壯志.

4.例題探究

（電子白板展示）

例1 如圖4，在△ABC中，DE∥BC，AD=m，DB=n，

學(xué)生練習(xí)并展示，略.

圖4

圖5

學(xué)生練習(xí)并展示，略.

課堂設(shè)計(jì)感悟：趙老師的課堂設(shè)計(jì)是對(duì)新知的一種鞏固與應(yīng)用，讓知識(shí)發(fā)生正遷移.設(shè)計(jì)的例題不是很難，有代表性，尤其是例1采用了三角形的底邊平行線，體現(xiàn)了平行線分線段成比例定理的具體應(yīng)用，做到了從理論到實(shí)踐的再認(rèn)識(shí)，更顯示了數(shù)形結(jié)合的思想.

5.課堂練習(xí)（略）

6.課堂小結(jié)（略）

7.課后作業(yè)（略）

三、寫在最后

總之，趙老師的這節(jié)課，有渾然天成的感覺.課堂上學(xué)生積極思考，勇于探究，將動(dòng)嘴、動(dòng)手和動(dòng)腦融為一體，讓學(xué)生真正明確了平行線分線段成比例定理的知識(shí)內(nèi)容，也將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想具體應(yīng)用到知識(shí)的實(shí)處.同時(shí)，還有一點(diǎn)值得筆者學(xué)習(xí)的地方是，能巧妙地利用教材例題進(jìn)行簡單改編，設(shè)置的環(huán)境從純理論變成了實(shí)際應(yīng)用，充分說明趙老師有深厚的專業(yè)知識(shí).我相信，“他山之石可以攻玉”，自己也能夠快速成長起來.