數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：扎根于教材，成就于細(xì)節(jié)*
——基于“三角形內(nèi)角和”驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的思考

☉江蘇省如皋市石莊鎮(zhèn)初級中學(xué) 印冬建

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式.為了充分發(fā)揮數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)價(jià)值，在人教版初中數(shù)學(xué)教材中，編者安排了很多與課時核心內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).這些實(shí)驗(yàn)一般以“文本+圖形+符號”的形式呈現(xiàn)，對學(xué)生獲取核心知識、形成關(guān)鍵能力是大有益處的.所以，一線教師一般都會十分重視教材所編排的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，并努力落實(shí)教者的編排意圖，實(shí)現(xiàn)教材的教學(xué)價(jià)值.然而，由于教材呈現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式是靜態(tài)的，對實(shí)驗(yàn)細(xì)節(jié)的描述并不是十分到位，因而，給一線教師的教學(xué)實(shí)踐帶來了諸多不便和多種不同的可能.想要很好地貫徹編者的設(shè)計(jì)意圖，就需要教師在深入解讀教材的基礎(chǔ)上，明晰實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容、目標(biāo)、流程，并完善實(shí)驗(yàn)的每一個細(xì)節(jié)，從而提升實(shí)驗(yàn)的成效.在近期執(zhí)教“11.2.1三角形的內(nèi)角”時，筆者通過實(shí)施精心預(yù)設(shè)的“三角形內(nèi)角拼合實(shí)驗(yàn)”（下稱“拼角實(shí)驗(yàn)”），取得了較好的教學(xué)效果.現(xiàn)呈現(xiàn)這個實(shí)驗(yàn)的歷程，并談一些個人感悟，希望能引發(fā)大家的思考.

一、拼角實(shí)驗(yàn)

1.梳理舊知，明晰實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)

教師在黑板上作出△ABC，讓學(xué)生說出學(xué)過的三角形的相關(guān)知識.在學(xué)生給出“三角形的內(nèi)角和等于180°”后，教師立即追問：在小學(xué)里，我們是怎么發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論的？以此引出“度量或剪拼”的探索方法.接下來，教師通過繼續(xù)追問讓學(xué)生明白“度量常常有誤差”，“形狀不同的三角形有無數(shù)個”，想要說明“三角形的內(nèi)角和等于180°”這一結(jié)論是正確的，需要通過推理的方法，借助已經(jīng)獲得的“180°模型”——平角或互補(bǔ)的同旁內(nèi)角來證明這一結(jié)論.

2.合作探究，開展拼角實(shí)驗(yàn)

學(xué)生活動1：在準(zhǔn)備好的三角形紙片頂點(diǎn)處標(biāo)上字母A、B、C，小組合作，分別撕下∠B和∠C，并將其與∠A拼合在一起.你有什么發(fā)現(xiàn)？找出能用前面所學(xué)知識證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的拼圖，并將其貼到黑板上.

學(xué)生按照要求進(jìn)行活動，并將探索成果貼到黑板上，如圖1、2.

學(xué)生活動2：另取一張三角形紙片，與活動1一樣進(jìn)行標(biāo)注，撕下∠C，將其與∠A（或∠B）拼合在一起.你有什么發(fā)現(xiàn)？找出能用前面所學(xué)知識證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的拼圖，并將其貼到黑板上.

學(xué)生按照要求繼續(xù)探究，并將成果貼到黑板上，如圖3.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖6

圖5

根據(jù)拼圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圖1中，∠B和∠C在∠A的左右，三個角合起來是一個平角；圖2中，∠B和∠C在∠A的同側(cè)，三個角合起來也是一個平角；圖3中，∠C在∠A的右側(cè)，∠C與∠A的和與∠B是互補(bǔ)的同旁內(nèi)角.

3.抽象交流，歸納實(shí)驗(yàn)成果

針對上面圖1至圖3，教師提出問題：這三幅圖中，是否都存在一條與BC平行的線？待學(xué)生認(rèn)真觀察并反復(fù)分析后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了抽象，得到圖4、圖5、圖6.在反復(fù)交流了圖1中的輔助線的作法和推理過程后，教師安排學(xué)生利用圖5、圖6構(gòu)造出的輔助線l證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”.在展示了學(xué)生給出的推理過程后，教師明確“三角形的內(nèi)角和等于180°”就是三角形內(nèi)角和定理，并將其板書.

二、教學(xué)分析

關(guān)于拼角實(shí)驗(yàn)，學(xué)生是有過相關(guān)的經(jīng)歷的.在小學(xué)時，為了獲得“三角形的內(nèi)角和等于180°”這一結(jié)論，教師曾讓學(xué)生撕下三個內(nèi)角進(jìn)行拼合.簡單的操作，不僅幫助學(xué)生獲得了直觀的結(jié)論，還積累下了豐富的實(shí)驗(yàn)與抽象經(jīng)驗(yàn)，這對本節(jié)課的探索是十分有利的.為了引入拼角實(shí)驗(yàn)，教者讓學(xué)生先回顧與三角形有關(guān)的結(jié)論，引出“三角形的內(nèi)角和等于180°”，在梳理了小學(xué)中獲得這一結(jié)論的方法后，通過簡要的追問讓學(xué)生體會到基于簡單操作生成的結(jié)論可能存在偏差，需要嚴(yán)格推理驗(yàn)證后方可推廣應(yīng)用.

接下來，便是對學(xué)生已獲得的“三角形的內(nèi)角和等于180°”的進(jìn)一步探索與驗(yàn)證.教者基于撕下角的個數(shù)的不同安排了兩個學(xué)生活動，活動1是撕下兩個角進(jìn)行拼合，生成了兩個“能用前面所學(xué)知識證明的拼圖”——圖1和圖2；活動2是撕下一個角進(jìn)行的拼合，經(jīng)學(xué)生主動篩選，給出了符合要求的圖3.在拼角過程中，學(xué)生既需要調(diào)取小學(xué)中積累的經(jīng)驗(yàn)來拼圖，又需要應(yīng)用初中階段獲得的知識來篩選，難度自然不小.為此，教者在安排自主實(shí)驗(yàn)的同時，還借力于小組合作，學(xué)生的探索與小組的交流，與之相關(guān)的“四基”提前進(jìn)入學(xué)生腦海，這給后續(xù)拼圖的數(shù)學(xué)化鋪平了道路.

為了歸納實(shí)驗(yàn)成果，教師首先提出問題“這三幅圖中，是否都存在一條與BC平行的線”，先期的鋪墊在此時發(fā)揮了巨大的作用，學(xué)生不僅順利發(fā)現(xiàn)了平行線，還將拼圖迅速抽象，得到可以用來推證結(jié)論的圖4至圖6.為了發(fā)展學(xué)生的推理能力，教者考慮到學(xué)生推理論證的經(jīng)歷較少，在學(xué)生對圖4和圖5進(jìn)行獨(dú)立推理前，結(jié)合圖3給出了推理范式以便學(xué)生“臨摹”與“仿寫”，而教者對學(xué)生推理過程的展示，矯正了學(xué)生的典型失誤，多樣的證明方法和與之匹配的不同推理歷程激活了學(xué)生的思維，也讓結(jié)論的一般性得到了全體學(xué)生的認(rèn)同，結(jié)論的歸納成為了教學(xué)的自然產(chǎn)物，順利而有效.

三、幾點(diǎn)感悟

1.解讀學(xué)段教材，理清實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)

作為學(xué)生獲得數(shù)學(xué)核心知識的一種重要手段，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一般鑲嵌于教學(xué)進(jìn)程之中，與知識的生成和發(fā)展同步.因此，為了能最大限度地發(fā)揮數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)價(jià)值，我們應(yīng)詳細(xì)解讀學(xué)段教材，厘清知識的生長脈絡(luò)，確定數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)的最佳時點(diǎn).一般地，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)都應(yīng)出現(xiàn)在承上啟下的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上.“承上”，意指對學(xué)生已有知識的繼承.為了獲得較好的實(shí)驗(yàn)效果，我們必須從學(xué)段教材的知識分布入手，對學(xué)生的已有知識進(jìn)行系統(tǒng)梳理，以確定數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“生長點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”.以本文中的拼角實(shí)驗(yàn)為例，它出現(xiàn)在八年級上冊“三角形”一章教材中.在人教版本學(xué)段教材中，已經(jīng)安排了幾何圖形初步、相交線與平行線等以幾何知識為主體的單元，這些單元所積累下的幾何知識和活動經(jīng)驗(yàn)將成為本實(shí)驗(yàn)開展的基礎(chǔ).加之學(xué)生在小學(xué)中就已經(jīng)獲得了“三角形的內(nèi)角和等于180°”的結(jié)論，因此，在教學(xué)中，教師對結(jié)論的提取和探究基礎(chǔ)的追問，很好地喚醒了學(xué)生的知識——“180°模型”——平角或互補(bǔ)的同旁內(nèi)角和相關(guān)的基本活動經(jīng)驗(yàn).這一切，本課時的教材并沒有明晰，完全依賴于教者對學(xué)段教材的整體解讀，也正是教師的提前介入和有效鋪墊，才保證了接下來的實(shí)驗(yàn)探究能夠在理論與實(shí)踐的密切配合中順利展開.

2.關(guān)注配套用書，明確實(shí)驗(yàn)定位

人教版初中數(shù)學(xué)教材每一冊教科書，都有與之配套的《教師教學(xué)用書》（下稱《教學(xué)用書》）.這些配套《教學(xué)用書》，全方位展示了教材編者的設(shè)計(jì)意圖.仔細(xì)閱讀，將會有利于教師給出課堂教學(xué)的準(zhǔn)確定位.因此，很多教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時，都會將《教學(xué)用書》與教材對照閱讀.毋庸置疑，這種對照閱讀對數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)同樣是有用的，我們將會從教者的意圖陳述中確定實(shí)驗(yàn)的定位，確保即將實(shí)施的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不被人為“放大”導(dǎo)致“無法收場”.對于本文中的拼角實(shí)驗(yàn)，圖1是學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中極易給出的結(jié)果，移動后的∠B和∠C均有一條邊平行于邊BC，根據(jù)“經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”，這兩條與BC平行的邊在同一條直線上，這樣的推理過程所用到的都是學(xué)生學(xué)過的知識，如果給予學(xué)生足夠的時間，學(xué)生還是可能給出的.然而，一旦實(shí)驗(yàn)定位在上述推理過程的獲得上，本節(jié)課的教學(xué)重心就已經(jīng)發(fā)生了明顯偏移.為了避免一線教師“誤解”教材，《教學(xué)用書》給出圖1的教學(xué)定位是“學(xué)生只需要通過觀察（圖1）發(fā)現(xiàn)直線l（如圖4），并且知道l∥BC就可以了”，這顯然也應(yīng)該成為我們所開展的拼角實(shí)驗(yàn)的定位.在筆者所設(shè)計(jì)與實(shí)施的拼角實(shí)驗(yàn)中，問題“這三幅圖中，是否都存在一條與BC平行的線”的提出，引導(dǎo)學(xué)生從圖1至圖3中發(fā)現(xiàn)直線l，并從中抽象出圖4至圖6.這樣的教學(xué)歷程，讓教材編者的定位設(shè)想轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)實(shí)在在的實(shí)驗(yàn)定位，讓拼角實(shí)驗(yàn)應(yīng)有的價(jià)值得以發(fā)揮，推動學(xué)生在現(xiàn)有“四基”基礎(chǔ)上獲得發(fā)展.

3.分析課時任務(wù)，梳理實(shí)驗(yàn)流程

人教版教材所編排的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，一般與教學(xué)內(nèi)容是融合在一起的.因而，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的使用自然也就應(yīng)與課時任務(wù)的落實(shí)同步.對融合在課時教材中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，在解讀其所在的單節(jié)教材時，我們應(yīng)梳理出實(shí)驗(yàn)的具體流程，把實(shí)驗(yàn)需要經(jīng)歷的基本環(huán)節(jié)和每一環(huán)節(jié)的基本任務(wù)從教材中提取出來，以簡明扼要的文本呈現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，以便學(xué)生能準(zhǔn)確把握每個環(huán)節(jié)的探索任務(wù).對實(shí)驗(yàn)流程的梳理，筆者認(rèn)為既可以與教材預(yù)設(shè)的流程同步，也可以根據(jù)教情或?qū)W情進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整.回到本文中的拼角實(shí)驗(yàn)，教材用一頁半的版面陳述了與實(shí)驗(yàn)相關(guān)的內(nèi)容，包含了實(shí)驗(yàn)的起點(diǎn)、探究的任務(wù)、有用的生成和成果的抽象等，這些內(nèi)容雖然按照一定的順序呈現(xiàn)在教材中，但由于沒有明確的分界，學(xué)生是較難從中捕獲關(guān)鍵信息的.因而，筆者在教材分析時，將教材內(nèi)容進(jìn)行了分割：教材第11頁文本的第一、二段，歸入到“梳理舊知，明晰實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)”環(huán)節(jié)；“探究”及其成果（圖11.2-1，略），納入到“合作探究，開展拼角實(shí)驗(yàn)”環(huán)節(jié)；教材第11頁最后兩段至第12頁定理，納入到“抽象交流，歸納實(shí)驗(yàn)成果”環(huán)節(jié).由于教材的編排與學(xué)生認(rèn)知規(guī)律基本吻合，因而，在設(shè)計(jì)這則數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時，筆者完全遵循了教材安排的流程，并將教材呈現(xiàn)的教學(xué)任務(wù)全部作為本課時的教學(xué)任務(wù).

4.打磨實(shí)驗(yàn)細(xì)節(jié)，完善課堂教學(xué)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開展一般離不開學(xué)生的自主操作與合作交流，因而，學(xué)生理應(yīng)成為實(shí)驗(yàn)的主體.學(xué)生在認(rèn)知水平和操作能力上存在一定的差異，這種差異不僅會體現(xiàn)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的進(jìn)程中，還會體現(xiàn)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的成果上.為了盡最大可能減少因教師陳述或文本展示等客觀因素引發(fā)的實(shí)驗(yàn)進(jìn)程與結(jié)果的差異，教師在實(shí)驗(yàn)前應(yīng)對實(shí)驗(yàn)的每一個細(xì)節(jié)精心打磨，給學(xué)生提供不易產(chǎn)生歧義的文本資料、實(shí)驗(yàn)方案及教具和學(xué)具等.本文所述的拼角實(shí)驗(yàn)，生成圖1前，教材給出的是“將它的內(nèi)角剪下來”，這里的“剪”得到的極有可能是一個含∠B或∠C的“三角形”，而非是圖1中的有“花邊”的∠B、∠C，將剪得的“三角形”拼到∠A的旁邊難免會放錯“角”，出現(xiàn)非教者預(yù)期的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，導(dǎo)致探索失敗.此外，為了讓實(shí)驗(yàn)真正建立在學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)之上，筆者在教材預(yù)設(shè)的實(shí)驗(yàn)方案外，新增了“撕下∠C，將其與∠A（或∠B）拼合在一起”的探究活動，最終生成的圖3及由此抽象出的圖6，讓學(xué)生已有的“互補(bǔ)的同旁內(nèi)角”模型在驗(yàn)證“三角形的內(nèi)角和等于180°”中發(fā)揮了巨大的作用.這些有別于原教材的調(diào)整，會讓教師教學(xué)和學(xué)生實(shí)驗(yàn)的流程更嚴(yán)謹(jǐn)，內(nèi)容更豐富，對全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)無疑是錦上添花之舉.如此設(shè)計(jì)，也必將為一線提供很好的參考.