基于多元線性回歸的房價預(yù)測模型改進(jìn)

張若天

（濟(jì)寧孔子國際學(xué)校，山東濟(jì)寧，272000）

0 引言

過去的十年里，我國經(jīng)濟(jì)蓬勃發(fā)展，房價也隨之飛速提高，讓大量的投資者從中攫取利益，也讓無數(shù)人成為“房奴”，幾乎人人都開始關(guān)注房價的波動走勢，力圖對房價做出科學(xué)有效的預(yù)測。因?yàn)榉績r的變動原因在經(jīng)濟(jì)學(xué)上仍有很大的爭議，所以，預(yù)測也成為領(lǐng)域炙手可熱的問題。

縱觀全局，從2007年至2017年，各地房價都有了長足的提高，尤其是上海、浙江、江蘇為首的東南沿海地區(qū)和以北京、天津?yàn)槭椎娜A北地區(qū)。

由于房價與國計民生休戚相關(guān)，房價預(yù)測無論是在經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)還是計算機(jī)科學(xué)都成為了熱門也同樣十分困難的問題，因?yàn)槠渲猩婕傲嗽S多隨機(jī)影響因素，而且影響因素多元，無法通過簡單的統(tǒng)計學(xué)模型進(jìn)行預(yù)測。目前，學(xué)界對房價預(yù)測有了多種方法，如多元回歸線性模型、灰色理論預(yù)測模型、馬爾科夫預(yù)測模型、遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等等模型。

多元線性回歸模型是一種常用的多元統(tǒng)計方法，原理明確，結(jié)構(gòu)簡單，在房價預(yù)測方面被十分廣泛地運(yùn)用，可是效果卻不盡人意，常常在使用的過程當(dāng)中出現(xiàn)各種各樣的問題，而且近期一些“先進(jìn)”的方法并不能從根本上解決這個問題，反而引入了額外的解釋復(fù)雜性，多元線性回歸模型的改進(jìn)亟待解決。

本文瞄準(zhǔn)中國樓市，基于多元線性回歸模型，提出了自己的改進(jìn)辦法，本方法并未拋棄多元線性回歸模型，而是從模型結(jié)果和因變量處理上提出了自己的看法，通過與其他的一些方法相結(jié)合，使組合模型的結(jié)果與實(shí)際情況更加吻合，更能使人信服，為人們提供更加優(yōu)質(zhì)的預(yù)測方法，必免一些不必要的麻煩。經(jīng)過檢驗(yàn)，本文提供的方法，可以在一定程度上提高房價預(yù)測的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性，使其更加實(shí)用。

1 模型介紹

1.1 多元線性回歸模型

1.1.1 術(shù)語介紹

回歸分析：一種統(tǒng)計學(xué)上分析數(shù)據(jù)的方法，目的在于了解兩個或者多個變量之間是否相關(guān)、相關(guān)方向與強(qiáng)度，并建立數(shù)學(xué)模型以便于觀察特定變量預(yù)測研究者感興趣的變量。

1.1.2 模型引入

多元線性回歸模型形式如下：

其中 β0,, β1…βm-1為待估參數(shù)，ε為誤差，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，對于待估參數(shù)的確定，有以下求解方法：

1.1.3 缺點(diǎn)論述

顯然，多元線性回歸模型有著難以避免的缺點(diǎn)。

第一，運(yùn)用多元線性回歸模型時，需要涉及大量的矩陣公式計算，因此，多元線性回歸模型本身就具有計算量大和不易編程的特點(diǎn)，對人們的研究造成了極大的困擾，常常在一些不必要的地方進(jìn)行不必要的計算，大大降低了模型的預(yù)測效率。

第二，多元線性回歸模型極易受個別異常數(shù)據(jù)的影響，常常會在存在異常數(shù)據(jù)的情況中出現(xiàn)模型不符合其實(shí)際意義的問題，造成其自變量與因變量之間出現(xiàn)不合理的關(guān)系系數(shù)。如，符號相反，數(shù)值過大或過小，這時就需要更加穩(wěn)健的回歸方法對其進(jìn)行優(yōu)化和修改。

第三，多元線性回歸模型計算過程中對最小二乘法有著極大的依賴性，但是，最小二乘估計中也有著一定的缺陷。其平方運(yùn)算會使估計值與實(shí)際值之間產(chǎn)生一定的誤差，若計算較為復(fù)雜的話，誤差就會越積越大，嚴(yán)重脫離實(shí)際。

第四，多元回歸線性模型不能實(shí)現(xiàn)跟蹤響應(yīng)變量變化，其估計值只能對一段時間內(nèi)的結(jié)果產(chǎn)生較好的分析，如果是長期分析，就會顯得有些捉襟見肘。

接下來，本文將提出一些改進(jìn)這些問題的方法。

1.2 多元線性回歸模型的改進(jìn)

1.2.1 主流改進(jìn)方法

為了改進(jìn)樸素多元線性回歸的若干缺點(diǎn)，目前有一些比較成熟的改進(jìn)方法，如嶺回歸、穩(wěn)健回歸、主成分回歸等，這些方法的復(fù)雜度都比較高，還可以使用偏最小二乘估計代替最小二乘估計進(jìn)行待估參數(shù)的計算。要規(guī)避多元共線性，可以使用刪減變量或者引入附加方程的房價進(jìn)行處理。

1.2.2 基于灰色預(yù)測的多元線性回歸模型

灰色預(yù)測是一種對含有不確定因素的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測的方法。灰色預(yù)測通過對各個變量進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析，并對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理來尋找整個系統(tǒng)的變化規(guī)律，生成具有強(qiáng)烈規(guī)律性的數(shù)據(jù)數(shù)列，然后通過對預(yù)測的數(shù)據(jù)建立方程，從而得到其他關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)的變化情況，來預(yù)測未來某一特定時間的某數(shù)據(jù)?；疑P(guān)聯(lián)理論是鄧教授創(chuàng)立的。其對少數(shù)據(jù)、貧信息不確定性問題的研究作出了重要的貢獻(xiàn)。

（1）GM（1,1）模型

GM（1,1）模型有一個單變量的一階微分方程構(gòu)成。它主要用于復(fù)雜系統(tǒng)某一主導(dǎo)因素特征值擬合和預(yù)測，以揭示主導(dǎo)因素變化規(guī)律和未來發(fā)展變化趨勢。

GM（1,1）模型不僅有連續(xù)的形式，還具有離散形式，而兩者之間有著一定的聯(lián)系。從其中的聯(lián)系入手，便可得到離散GM（1,1）模型。

（2）灰色組合預(yù)測

與回歸分析一樣，灰色組合預(yù)測模型也是通過各個因素之間的關(guān)系而建立的預(yù)測模型，他將根據(jù)自變量與因變量所占的比重來建立模型。

其使用方法大致如下：得到各組序列后，通過灰色分析得出關(guān)聯(lián)度系數(shù)序列，再得出自身的預(yù)測值。通過加權(quán)計算，得到一個最合理的權(quán)重，再對因變量序列中的預(yù)測值進(jìn)行分析，基于灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)建立因變量預(yù)測值的回歸模型，從而得到計算后位置元素的預(yù)測值。

運(yùn)用灰色組合模型可以使預(yù)測值與自變量聯(lián)系更加緊密，擬合度更高，從而參考價值更高，與其他更先進(jìn)的回歸模型得到的結(jié)果十分相近。

（3）灰色預(yù)測運(yùn)用到多元線性回歸

上文對灰色預(yù)測模型相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了介紹，易知，灰色預(yù)測模型具有能夠跟蹤響應(yīng)變量動態(tài)變化、能夠避免少量異常數(shù)據(jù)對預(yù)測值的影響，并且建模難度小的優(yōu)點(diǎn)。因此，將其與多元線性回歸模型相結(jié)合，可以對其缺點(diǎn)進(jìn)行極大的彌補(bǔ)。

（4）應(yīng)用方法

假設(shè)因變量y受到p個自變量的影響，現(xiàn)在有n組已知數(shù)據(jù)。首先，先計算灰色關(guān)聯(lián)度，以確定影響因變量的主要因素，再將其按照灰色關(guān)聯(lián)度排序，從而得到m個主要因素。然后在對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立多元線性回歸模型

便得到了一個以（m個系數(shù)）為總體回歸參數(shù)，且（m個誤差）服從均值為0，方差為σ2的序列通過代入公式計算，得到各個回歸參數(shù)的估計值。然后在用過灰色組合模型進(jìn)行對自變量的預(yù)測，得到m個預(yù)測值，代入，便可得到灰色組合多元回歸模型

然后再對其進(jìn)行擬合度計算，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確度，做最后的調(diào)整，最終得出想要的預(yù)測值。

2 數(shù)據(jù)處理

2.1 介紹數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)是指對客觀事件進(jìn)行記錄并可以鑒別的符號，是對客觀事物的性質(zhì)、狀態(tài)以及相互關(guān)系等進(jìn)行記載的物理符號或這些物理符號的組合。它是可識別的、抽象的符號。

數(shù)據(jù)雖然是抽象概念，但是，它也具有規(guī)模和屬性。通俗來講，數(shù)據(jù)規(guī)模就是數(shù)據(jù)的多少，數(shù)據(jù)越多，規(guī)模就越大，現(xiàn)在所說的大數(shù)據(jù)就是規(guī)模極大的數(shù)據(jù)；數(shù)據(jù)屬性就是數(shù)據(jù)所具有的性質(zhì)，數(shù)據(jù)具有的性質(zhì)越多，我們稱其屬性越多，或維度越大，人們常說的數(shù)據(jù)降維處理就是盡可能地減少數(shù)據(jù)的無關(guān)屬性，以達(dá)到篩選的目的。

同樣，數(shù)據(jù)也有用來描述自己的單位，這個人們就接觸的比較多。數(shù)據(jù)的單位常常被稱作數(shù)據(jù)的寬度，日常生活中的網(wǎng)絡(luò)速度、下載速度、存儲空間等等都應(yīng)用到了數(shù)據(jù)的單位方面的內(nèi)容。

2.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理的方法

數(shù)據(jù)預(yù)處理的主要方法就是數(shù)據(jù)清洗和數(shù)據(jù)歸約。

數(shù)據(jù)清洗主要包括對數(shù)據(jù)集進(jìn)行異常檢測、識別并消除數(shù)據(jù)集中近似重復(fù)對象、對缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行清洗。數(shù)據(jù)集的異常檢測主要就是消除少數(shù)異常數(shù)據(jù)對總體的影響，常常運(yùn)用均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行檢測；重復(fù)記錄的清洗主要就是篩掉重復(fù)的數(shù)據(jù)，使數(shù)據(jù)集更加精簡，減少不必要的數(shù)據(jù)分析；對缺失數(shù)據(jù)的清洗與灰色預(yù)測模型有些相似，旨在對缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，其中涉及了許多高級的理論方法，這里就不再一一描述。

數(shù)據(jù)歸約主要包括高維數(shù)據(jù)的降維處理和離散化技術(shù)減少給定連續(xù)屬性值的個數(shù)。高維數(shù)據(jù)降維處理其本質(zhì)就是刪除數(shù)據(jù)的冗余屬性，避免其對預(yù)測過程造成影響，簡化對數(shù)據(jù)分析的過程；而離散化技術(shù)減少給定連續(xù)屬性值的個數(shù)這種方法大多數(shù)是遞歸進(jìn)行的，看似花費(fèi)了大量的時間，其實(shí)卻節(jié)省了后面步驟的時間。

2.3 分析房價數(shù)據(jù)

對于房價數(shù)據(jù)而言，每一個數(shù)據(jù)維度都是具有現(xiàn)實(shí)意義的，因此如果想要降低數(shù)據(jù)維度，不能直接使用PCA、SVD等降維方法來降低數(shù)據(jù)復(fù)雜性，而是應(yīng)該使用特征子集選擇、特征創(chuàng)建方法。在處理某些特殊屬性時，如“是否是學(xué)區(qū)房”、“是否有重大國家政策”等屬性時，應(yīng)該將原有數(shù)據(jù)處理成離散形式，如1代表“是”，0代表“否”等。在降低數(shù)據(jù)的復(fù)雜度之后，還應(yīng)該使用簡單的變量變換，對各個維度的數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)范化以消弭不同維度之間的數(shù)量級差別。在進(jìn)行萬以上處理之后，房價數(shù)據(jù)已經(jīng)可以應(yīng)用到我們的模型中。

3 結(jié)論

3.1 模型優(yōu)勢

本文的改進(jìn)不僅保留了多元線性回歸模型結(jié)構(gòu)簡單、原理明確的優(yōu)點(diǎn)，而且避免了多元線性回歸模型的各種缺點(diǎn)，使多元線性回歸模型的應(yīng)用更加廣泛。同時，本文提出的模型還汲取了灰色預(yù)測模型的優(yōu)勢，使數(shù)據(jù)擬合度更高，更有價值去預(yù)測。

經(jīng)過實(shí)例的驗(yàn)證，本文模型的構(gòu)造是成功的，比傳統(tǒng)多元線性回歸模型要準(zhǔn)確得多大大增強(qiáng)了本文提出模型的可行性，但還不能做到絕對的準(zhǔn)確，還需進(jìn)一步的研究。

3.2 改進(jìn)方向

目前的數(shù)據(jù)量比較小，而且分布范圍狹窄，基于統(tǒng)計學(xué)的模型無法發(fā)揮出最大的優(yōu)勢，因此之后的一個改進(jìn)方向是尋找更多更可靠的數(shù)據(jù)來源，收集比較多的前期數(shù)據(jù)。除此之外，要想更加深刻地發(fā)現(xiàn)房價變動背后的規(guī)律，尋找更多的房價關(guān)聯(lián)屬性，即發(fā)掘更高的數(shù)據(jù)維度也是一個重要的改進(jìn)方向，當(dāng)數(shù)據(jù)維度足夠高時，才能夠還原出影響房價的更多細(xì)節(jié)。

目前本文在改進(jìn)多元線性回歸模型上做出的主要努力是結(jié)合了灰度預(yù)測模型，但是模型的整體復(fù)雜度尚有欠缺，無法擬合出數(shù)據(jù)更加復(fù)雜的變化，因此在現(xiàn)有的改進(jìn)基礎(chǔ)上，嘗試將模型做得更加復(fù)雜也是使得模型具有更加良好表現(xiàn)的一種方法。除了以上的改進(jìn)方向，對于迭代出的模型還應(yīng)該有一個更加智能的函數(shù)來對當(dāng)前模型進(jìn)行打分以評判模型的好壞，有了這樣的評價函數(shù)之后，模型的表現(xiàn)也會變得更好。