科研反哺教學的研究與案例分析

譚高山，陳松林

(安徽工業(yè)大學 數(shù)理科學與工程學院，安徽 馬鞍山 243002)

隨著學科的發(fā)展以及學科間的相互滲透，高校教師應該認識到科研對教學的重要作用，科研不僅能夠鍛煉創(chuàng)新能力、更新知識結(jié)構(gòu)、完善知識體系,而且更是增強教學深度、拓展教學廣度不可或缺的重要一環(huán)。高校教師應該：以教學帶科研，在教學中發(fā)現(xiàn)問題；以科研促教學，及時解決問題，將科研思想和科研成果直接服務于教學，反哺教學。

數(shù)值分析是一門應用性很強的課程，傳統(tǒng)教學通常是以教科書為依據(jù)，以教師講授、學生做題為主，主要任務是對書本知識進行傳授，并通過閉卷考試對學生進行考核。這種教學模式忽略了學生在數(shù)值分析教學中的巨大作用，學生機械地學習知識、不去思考，主觀能動性和發(fā)散性思維難以得到提高，很難真正掌握知識，學習興趣不大，更無從談應用和創(chuàng)新?，F(xiàn)以數(shù)值分析的課程教學為例，探討科研反哺教學的意義及實施。

一、科研對教學的重大意義

(一)科研有助于教學內(nèi)容的選擇和更新

數(shù)值分析的教學內(nèi)容雖然是基礎理論和基本算法, 但其應用性和發(fā)展性較明顯,要使學生真正掌握解決問題的本領(lǐng)就必須站在學科的最前沿, 科研是使前沿成果及時反映到教學中來的直接辦法[1]。教師要準確地把握所授課程在整個專業(yè)中的地位，將自己在高水平科研中獲得的經(jīng)驗及科學新成就及時反映到教學中去，從而提高學生的知識水平。通過科研，教師才能更好地了解課程，并為課程教學選擇恰當?shù)膬?nèi)容和教學方法。譬如，大部分數(shù)值分析教材和大綱在數(shù)值逼近這部分濃墨重彩地講了Lagrange插值和Newton插值，事實上，這兩種方法在工程上基本不用。筆者從科研中體會到：這些插值算法在理論上講清即可，不應該成為數(shù)值分析的重點內(nèi)容，這部分的重點應該是分段光滑逼近和不同準則下的擬合逼近或不同擬合方法。如果局限于學時，至少也應該講清楚不同擬合思想。

(二)科研對教學的促進作用

濃厚的科研氛圍和繁榮的科研狀況對教學環(huán)境產(chǎn)生直接影響，促進學生進行知識探索?？茖W研究是提高教學質(zhì)量的最有效的方法，也是進行教學改革的重要保證。

教師有了系統(tǒng)的科學研究和豐富的理論指導,在教學上就能做到游刃有余，把科研與教學有機地結(jié)合起來, 把最新的知識和信息傳遞給學生,從而豐富課堂教學內(nèi)容,培養(yǎng)學生的思維方式和創(chuàng)新能力,通過高水平的科學研究提高現(xiàn)有課程的教學水平, 才能培養(yǎng)高水平的學生，造就有創(chuàng)新能力的人才。

二、數(shù)值分析類課程中科研反哺教學的應用探究

數(shù)據(jù)擬合是工程上進行數(shù)值逼近的常用手段之一。一般《數(shù)值分析》教材具體講授直線的最小二乘擬合。若抽象講授擬合思想，學生無法理解；具體地講直線的最小二乘擬合，學生又會把這部分知識學“死”了，甚至通過記公式的方式應付考試。因此實際教學中應該從直線的最小二乘擬合出發(fā)，使得學生對于簡單的擬合思想和具體操作有清晰的認識，引入實際問題，使學生了解擬合問題的復雜性，從而理解一般擬合思想。由于實際問題比較復雜，理解和處理起來往往無處下手。結(jié)合科研項目，筆者提出了幾何特征的精度檢測問題[2]，即求點到理論模型的距離分布。這一問題在工程領(lǐng)域通過數(shù)據(jù)對應+模型配準實現(xiàn)。筆者在課堂教學中把這一問題歸結(jié)為擬合問題，讓學生從擬合問題的角度進行分析解決。

(一) 線性最小二乘擬合思想

距離平方和最小準則在各個誤差之間建立了一種平衡，從而防止某一個極端誤差取得支配地位。精度檢測問題的最小二乘擬合中所有測量點按照Guass分布盡可能分布在理論模型上。

直線的最小二乘擬合中所有點滿足直線方程，問題的數(shù)值解可以轉(zhuǎn)化為如下線性問題：

幾何和代數(shù)再一次不謀而合，過兩點確定直線，方程有唯一解；過多個點無法確定直線，方程矛盾，無解。最小二乘近似解照顧所有方程成立，學生對高等代數(shù)中線性方程組的最小二乘解也有了直觀的幾何認識。從概率角度，即所有點按照誤差正態(tài)分布在直線上。另外，利用向量知識，可以給出擬合問題的誤差向量，并通過適定的向量范數(shù)來定義誤差函數(shù)，通過優(yōu)化誤差函數(shù)可獲得理論曲線最優(yōu)位置。課堂教學中也引發(fā)了探索關(guān)于矛盾方程解法的興趣，以及關(guān)于誤差按照什么分布進行精度檢測的問題思考。

(二) 一般(非線性)最小二乘擬合模型

其中α為擬合函數(shù)s(x,α)的待定參數(shù)。舉平面圓的擬合例子，學生對α有了更直觀的認識，在線性問題里即直線的參數(shù)(a,b)。通過圓的簡單例子，學生也意識到擬合函數(shù)s(x,α)是數(shù)據(jù)點的變化規(guī)律，這是解決擬合問題的前提和關(guān)鍵。

“數(shù)學老師會做函數(shù)逼近問題，但是未必會解決工程上的擬合問題，因為他不知道實際的函數(shù)變化規(guī)律”，那么幾何特征的精度檢測問題中s(x,α)又是什么呢？ 教學中通過提供參考文獻讓學生課后閱讀與思考的方式，讓學生自己探究問題，使學生對數(shù)學與工程問題的關(guān)系有了進一步的認識。

(三)直線度，圓度、球度等簡單幾何特征的精度檢測實例

通過課堂教學，學生更夠直接動手解決直線度問題，但圓度、球度問題中圓和球的擬合怎么表示成線性問題是關(guān)鍵。學生自己動手推導圓和球面的參數(shù)表示形式：

x2+y2+ax+by+c=0

x2+y2+z2+dx+ey+fz+g=0

對函數(shù)的參數(shù)線性表示形成了初步認識，并進一步完備了關(guān)于函數(shù)的認識如二元二次函數(shù)從參數(shù)的角度來說是線性的

(四)科研中碰到的幾何精度問題的思考

通過課堂教學，筆者把關(guān)于復雜幾何特征精度的科研思想和科研成果傳遞給學生。引導學生思考：光滑的曲線曲面(逼近函數(shù))盡可能反應點的變化規(guī)律，盡可能過這些點的原則有哪些？或者說除了利用正態(tài)分布誤差還可以考慮什么分布？課堂討論“盡可能過這組數(shù)據(jù)點”的擬合準則怎么表示，學生積極發(fā)言，參與課堂教學。

這樣的課堂討論不僅活躍了課堂氣氛，增加了教學吸引力，而且有利于學生養(yǎng)成自我思考的習慣，從而培養(yǎng)創(chuàng)新能力。

(五)實際問題建模與求解

復雜曲面的表示并沒有解析式，從而離散的表示，這屬于數(shù)字幾何的知識范疇，也符合了關(guān)于數(shù)值分析研究問題的“連續(xù)問題的離散化表示”的描述。學生對課本中曲面的表示和科研問題中曲面的離散描述有了切身體會。這樣一來傳統(tǒng)意義上的擬合問題就轉(zhuǎn)化為三維剛體變換問題，從而最小二乘擬合準則下的配準問題建模為李群SE(3)上的非線性優(yōu)化問題。

非線性參數(shù)求解是學生的知識盲區(qū)，利用令偏導數(shù)為零的方法獲得的不再是線性方程組，從而引導學生對非線性優(yōu)化問題的求解產(chǎn)生學習的欲望，隨著學科專業(yè)細化和研究的深入，培養(yǎng)計劃提供的知識結(jié)構(gòu)可能不夠完善。學生在該課上獲得了優(yōu)化的思想意識，并有了自我研究優(yōu)化求解的內(nèi)驅(qū)力。學生后續(xù)學習和選課也有了相對明確的方向，而不僅僅是刷學分了。

四、結(jié)語

科研植根于教學，并通過反哺教學達到科研和教學的共同發(fā)展。教學是科研的重要組成部分，科研是教學的延伸。只有兩者相生相長，高校教師才能更好地教書育人，服務社會。