一類具有媒體報道的傳染病模型

陳 娟，戴斌祥，李文秀

(1.集美大學理學院，福建 廈門361021；2.中南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖南 長沙 410083；3.湖南大學數(shù)學與計量經(jīng)濟學院，湖南 長沙 410082)

0 引言

(1)

然而，媒體報道與傳染率不單呈指數(shù)遞減趨勢，媒體報道量與染病者的數(shù)量以及前期媒體報道的多少有關(guān)。文獻[9]引入了媒體報道量隨著時間變化的函數(shù)M(t)，建立了一個非線性傳染病模型并進行了理論分析。

本文將媒體報道量M視為時間t的函數(shù)，利用分段連續(xù)函數(shù)β/(1+εMI)來刻畫媒體報道對感染率的影響，其中ε如式(1)所定義，建立了一個與媒體報道有關(guān)且具有分段感染率的傳染病模型，并對其進行動力學分析，以此來研究媒體報道對傳染病模型的影響。

1 模型的建立

首先將人群劃分為易感者S(t)和感染者I(t)，M(t)表示t時刻的媒體報道量，用β/(1+εMI)來表示媒體報道對疾病傳染病的消減作用，則可得到如下的傳染病模型：

(2)

系統(tǒng)(2)是分段光滑系統(tǒng)，可將其分為兩個系統(tǒng)，令H(Z)=I-IC，其中Z=(S,I)T，當H(Z)<0時得到的系統(tǒng)稱為FG1；當H(Z)>0時得到的系統(tǒng)為FG2。故系統(tǒng)(2)可寫成如下的分段光滑系統(tǒng)：

(3)

定義1 對于分段光滑系統(tǒng)(3)，若點Z*滿足FG1(Z*)=0，H(Z*)<0或者FG2(Z*)=0，H(Z*)>0，那么稱點Z*為系統(tǒng)(3)的真平衡態(tài)；如果點Z*滿足FG1(Z*)=0，H(Z*)>0或者FG2(Z*)=0，H(Z*)<0，那么稱點Z*為系統(tǒng)(3)的假平衡態(tài)。

2 模型的分析

對于系統(tǒng)FG1和FG2，解得其無病平衡點均為E0=(Λ/μ,0，0)，基本再生數(shù)均為R0=Λβ/(μ(γ+μ))。當R0>1時，系統(tǒng)FG1的正平衡點為：E1=((γ+μ)/β,(Λβ-μ(γ+μ))/(βμ),σ(Λβ-μ(γ+μ))/(τβμ))；系統(tǒng)FG2的正平衡點E2滿足：

(4)

計算出平衡點之后，根據(jù)感染者數(shù)目I和臨界值IC的關(guān)系，以下分兩種情況討論。

2)在IβIC/(γ+μ)+1時，E1是系統(tǒng)FG1的假平衡態(tài)；當1

定理1 對于子系統(tǒng)FG1，當R0<1時，無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的；當R0>1時，正平衡點E1是局部漸近穩(wěn)定的。

當R0<1時，βΛ/μ-γ-μ=[βΛ-μ(μ+γ)]/μ<0，故E0是局部漸近穩(wěn)定的。

定理2 對于子系統(tǒng)FG2，當R0<1時，無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的；當R0>1時，正平衡點E2是局部漸近穩(wěn)定的。

證明由定理1和定理2可知，正平衡點E1和E2分別是局部漸近穩(wěn)定的，由Poincare-Bendixon定理，只需證明系統(tǒng)不存在極限環(huán)即可。

取Dulac函數(shù)B=1/(SI)，則有：BF=Λ/(SI)-β/(1+εMI)-(μ/I)+(γ/S)，BG=β/(1+εMI)-(γ/S)-(μ/S)，可得：當IIC時，?(BF)/?S+?(BG)/?I=-Λ/(S2I)-γ/S2-βM/(1+MI)2<0。故由Dulac準則知系統(tǒng)(2)不存在極限環(huán)。 所以，在給定條件下，E1和E2分別是全局漸近穩(wěn)定的。定理3證畢。

3 結(jié)論