彈道導彈突防效能評估的馬爾科夫模型*

齊長興，畢義明，李 勇

（火箭軍工程大學，西安 710025）

0 引言

彈道導彈具有殺傷力巨大、突防能力強、難以防御等特點，是現(xiàn)代戰(zhàn)爭中能夠發(fā)揮決定性作用的殺手锏武器。為了防御彈道導彈的威脅，美國、俄羅斯、以色列等軍事強國都在積極研究和部署彈道導彈防御系統(tǒng)。其中，美國的彈道導彈防御系統(tǒng)（BMDS）是比較成熟的，已經(jīng)形成了由中段攔截系統(tǒng)和末段攔截系統(tǒng)構(gòu)成的多層彈道導彈防御體系［1-3］。

彈道導彈突防作戰(zhàn)效能評估是當前研究的一個重要方向，通過突防效能評估可以有效支撐彈道導彈研制和改良。目前，國內(nèi)外對導彈突防效能評估研究已經(jīng)取得了較大的進展，見文獻［4-14］。

彈道導彈攻防作戰(zhàn)中，存在許多隨機現(xiàn)象，導彈突防時的一些隨機現(xiàn)象無法很好地表現(xiàn)出來。本文綜合考慮彈道導彈突防作戰(zhàn)時面臨的彈道導彈防御系統(tǒng)多層攔截的現(xiàn)狀，在進行上一層防御系統(tǒng)效能評估的基礎上，再進行下一層的突防效能評估。導彈在突防每一層導彈防御系統(tǒng)時均為獨立過程，同時彈道導彈突防時突防狀態(tài)具有隨機性和無后效性等特點，經(jīng)過相鄰兩層防御系統(tǒng)間的突防過程近似為馬爾科夫過程，可以用馬爾科夫理論進行多層防御系統(tǒng)的突防效能評估［15］。本文將馬爾科夫鏈轉(zhuǎn)移概率引入突防多層彈道導彈防御系統(tǒng)時導彈突防效能評估中，構(gòu)建基于馬爾科夫鏈的導彈突防效能評估模型，用馬爾科夫鏈描述彈道導彈突防多層防御系統(tǒng)的作戰(zhàn)過程，突破一層防御系統(tǒng)后的狀態(tài)之間用狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率進行關聯(lián)。通過實例進行驗證，該方法既可以反映彈道導彈突防的突防概率和期望值，也可以反映不同狀態(tài)的概率分布。

1 彈道導彈突防效能評估的馬爾科夫鏈模型

分層防御是針對彈道導彈的飛行階段特點，采用多層攔截模式，使彈道導彈在飛行過程中面臨多重風險。對于多個獨立的防御系統(tǒng)，構(gòu)成的分層防御體系，能夠通過多次攔截實現(xiàn)高的攔截效能。分層防御中的“層”指可以進行獨立“觀察-射擊”的組成部分，每層有一枚或多枚攔截彈可攔截來襲目標。

為便于建模分析，在彈道導彈突防效能評估馬爾科夫鏈模型中需要進行以下假設：

1）每個交戰(zhàn)過程都是獨立進行的；

2）每次攔截過程都是相互獨立的；

3）在彈道導彈防御系統(tǒng)的每個層之間沒有進行交互干涉；

4）支持子系統(tǒng)可以滿足防御需求。

1.1 基本馬爾科夫鏈模型

馬爾科夫鏈模型［16］可以表示為一個二元組：。

I是所有可能狀態(tài)的集合，用Ii、Ij表示系統(tǒng)的狀態(tài)；P是系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，對有限狀態(tài)空間，其一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：

在狀態(tài)空間有限的情況下，n步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 P（n）為：

1.2 單枚導彈突防多層防御系統(tǒng)馬爾科夫鏈模型

在彈道導彈突防過程中，每一次的交戰(zhàn)過程都可看作是一次伯努利試驗，多個交戰(zhàn)過程構(gòu)成了一次突防，一個導彈防御層中所有的突防形成了一個馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣，整個導彈突防過程是一個獨立時間馬爾科夫過程。

彈道導彈攻防模型中導彈的狀態(tài)用導彈突防數(shù)量表示，馬爾科夫攻防模型中所有來襲向量均為隨機概率向量，用以表示數(shù)量或狀態(tài)的概率分布，在進行模型求解時需要確定彈道導彈攻防對抗的初始狀態(tài)向量。

以一枚導彈突防兩層導彈防御體系為例，每一層防御系統(tǒng)僅一枚攔截彈對一個目標進行攔截，導彈突防馬爾科夫過程如圖1所示。

圖1 簡單多層防御馬爾科夫鏈模型示意圖

彈道導彈的狀態(tài)用成功突防后的數(shù)量表示，對單個目標，其可能的狀態(tài)分別為0、1，“0”表示不是威脅的狀態(tài)，“1”表示目標存活狀態(tài)（威脅），因此，其狀態(tài)變換共有3種情況，分別是0→0，1→0，1→1，其中，1→0表示來襲目標被攔截，1→1表示來襲目標未被攔截。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率由攔截彈的單枚毀傷概率pi決定，且單枚導彈的生存概率qi=1-pi。

1.3 多枚導彈突防多層防御系統(tǒng)馬爾科夫鏈模型

多枚導彈突防導彈防御系統(tǒng)時，彈道導彈最大來襲數(shù)量為n枚，來襲導彈數(shù)為r時，通過i層導彈防御系統(tǒng)后有c枚成功突防的概率為prc，服從二項分布，其攔截矩陣為一個下三角矩型陣。

多枚導彈突防導彈防御系統(tǒng)時，第i層防御系統(tǒng)的攔截矩陣為：

1.4 誘餌掩護下，導彈突防效能分析

多枚導彈突防導彈防御系統(tǒng)時，彈道導彈最大來襲數(shù)量為n枚，來襲導彈數(shù)為r時，包含j個誘餌時，通過i層導彈防御系統(tǒng)后有c枚成功突防的概率為prc，服從二項分布，其攔截矩陣為一個下三角矩型陣。

彈道導彈突防過程中往往會伴隨著誘餌等假目標，如導彈防御系統(tǒng)不能準確識別目標的真假，將會提高導彈的突防成功率。在導彈防御系統(tǒng)進行目標識別時，共有4種情況：彈頭被準確識別為彈頭；彈頭被識別為誘餌；誘餌被識別為彈頭；誘餌被識別為誘餌。

在誘餌掩護作用下，導彈突防矩陣應綜合考慮彈頭被識別為誘餌的矩陣Dww，和轉(zhuǎn)移概率矩陣Aw，考慮到誘餌作用和識別誤差影響。r枚彈頭中成功突防c枚的概率prc依賴于兩個獨立事件。

事件1：r枚彈頭中有j枚被識別為誘餌，因而未被導彈防御系統(tǒng)攔截，能夠成功突防；

事件2：被攔截的彈頭中，有c-j枚彈頭成功突防。

以上兩種情況發(fā)生的概率為：

式中，pwd為彈頭識別為誘餌的概率，pww為彈頭被識別為彈頭的概率。

其中，fd為射擊準則。則r枚彈頭中成功突防c枚的概率prc為：

多枚導彈突防導彈防御系統(tǒng)時，第i層防御系統(tǒng)的攔截矩陣為：

2 彈道導彈突防效能評估案例分析

本文以彈道導彈突防雙層彈道導彈防御系統(tǒng)為例，采用建立的模型進行彈道導彈突防效能評估，為了便于計算進行一下假設：每次攔截時，攔截策略為每枚攔截彈攔截一枚來襲導彈（彈頭），不存在攔截彈數(shù)量不足的問題。

案例1：突防彈頭10枚，誘餌0，彈頭準確識別概率1，第1層單發(fā)攔截概率0.8，第2層單發(fā)攔截概率0.8，射擊準則1攔1。成功突防的彈頭的概率分布如表1所示。

案例2：突防彈頭10枚，誘餌10，彈頭準確識別概率0.9，彈頭識別為誘餌概率0.1，誘餌識別為彈頭的概率0.1，第1層單發(fā)攔截概率0.8，第2層單發(fā)攔截概率0.8，射擊準則1攔1，成功突防的彈頭概率分布如表2所示。

案例3：不同來襲彈頭數(shù)時，至少一枚成功突防（無誘餌干擾）。

突防彈頭n枚，誘餌0，彈頭準確識別概率1，各層單發(fā)攔截概率0.8，射擊準則1攔1，至少一枚成功突防的概率分布如表3所示，突防彈頭期望值如表4所示。

案例4：不同來襲彈頭數(shù)時，至少一枚成功突防（有誘餌干擾）。

突防彈頭n枚，誘餌10，彈頭準確識別概率0.9，各層單發(fā)攔截概率0.8，射擊準則1攔1，至少一枚成功突防的概率分布如表5所示，突防彈頭期望值如表6所示。

彈頭通過導彈防御系統(tǒng)后突防成功的彈頭分布概率對比圖見下頁圖2～圖4所示。

表1 成功突防的彈頭概率分布

表2 成功突防的彈頭概率分布

表3 至少一枚成功突防的概率

表4 多枚來襲彈頭時成功突防彈頭期望值

表5 至少一枚成功突防的概率

表6 多枚來襲彈頭時成功突防彈頭期望值

圖2 成功突防的彈頭概率分布圖

至少一枚彈頭成功突防的概率對比圖：

圖3 成功突防的彈頭概率分布圖

圖4 突防彈頭期望值

在案例1和案例2中，當進攻彈頭經(jīng)過彈道導彈防御系統(tǒng)雙層防御后，彈頭突防概率迅速降低，彈道導彈突防多層防御時面臨嚴峻的威脅。在考慮誘餌干擾作用后，進攻彈頭全部被攔截的概率降低，且突防概率分布曲線整體向右移動，彈頭突防效能整體提升，與實際情況相符。

案例3和案例4中，當進攻彈頭數(shù)量變化時，對至少有一枚彈頭成功突防的概率和平均突防彈頭數(shù)（期望值）進行對比分析，隨著彈頭數(shù)量的增加，至少一枚彈頭成功突防的概率增加，且有誘餌干擾的作用下突防概率和期望值均高于無誘餌干擾時，突防效果更好，說明通過進行誘餌干擾可以提高彈道導彈的突防成功率。

3 結(jié)論

彈道導彈的自身性能是影響其突防能力的主要因素，此外，進攻導彈的突防戰(zhàn)術運用，彈道導彈防御系統(tǒng)的攔截能力、攔截策略等對彈道導彈突防效能有明顯的影響。

本文通過建立彈道導彈突防多層彈道導彈防御系統(tǒng)的馬爾科夫模型，進行彈道導彈突防效能評估，通過分析表明，該模型應用簡單，可以有效地對突防多層彈道導彈防御系統(tǒng)的導彈突防效能進行評估，為彈道導彈突防作戰(zhàn)決策提供理論支持。但是模型構(gòu)建時，對一些因素進行了簡化，下一步還需要對模型進行進一步地完善，綜合考慮各方面的因素影響。