基于試題分析的“概率統(tǒng)計(jì)”復(fù)習(xí)教學(xué)

劉宏英 王海青

摘? ?要

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出要基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行考試命題，概率統(tǒng)計(jì)板塊試題是考查數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的主要載體。本文對(duì)近三年高考全國(guó)卷的概率統(tǒng)計(jì)板塊試題進(jìn)行了整理分析，發(fā)現(xiàn)試題知識(shí)點(diǎn)全面、情境內(nèi)容新穎、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)水平層次分明、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)特色鮮明突出。針對(duì)這些特點(diǎn)，本文提出復(fù)習(xí)課教學(xué)中選取的問題具有基礎(chǔ)性和多元性、素養(yǎng)的培養(yǎng)強(qiáng)調(diào)層次性和漸進(jìn)性、教學(xué)的過程體現(xiàn)參與性和開放性的建議，希望對(duì)一線教師在復(fù)習(xí)課教學(xué)中落實(shí)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)有所幫助。

關(guān)鍵詞

高中數(shù)學(xué)? 數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)? 概率統(tǒng)計(jì)? 復(fù)習(xí)課

大數(shù)據(jù)時(shí)代下，數(shù)據(jù)分析已經(jīng)成為一種新的數(shù)學(xué)語言，是當(dāng)今及未來“互聯(lián)網(wǎng)+”相關(guān)領(lǐng)域的主要數(shù)學(xué)方法，在科研和社會(huì)生活中發(fā)揮重要的作用，成為一種必備的知識(shí)技能[1]?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）第一次將數(shù)據(jù)分析作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提出，體現(xiàn)了新課標(biāo)適應(yīng)時(shí)代發(fā)展要求的理念。新課標(biāo)指出：“數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)的素養(yǎng)。”高中數(shù)學(xué)課程在數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)上的培養(yǎng)目標(biāo)為——學(xué)生能提升獲取有價(jià)值信息并進(jìn)行定量分析的意識(shí)和能力;適應(yīng)數(shù)字化學(xué)習(xí)的需要，增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)，形成通過數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)事物的思維品質(zhì)，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[2]。

怎樣落實(shí)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)呢？作為教學(xué)的風(fēng)向標(biāo)，近年高考全國(guó)卷概率統(tǒng)計(jì)板塊試題給出了較明確的答案。筆者對(duì)近三年高考全國(guó)卷的試題進(jìn)行了整理分析，發(fā)現(xiàn)了一些明顯的特點(diǎn)，結(jié)合這些特點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)課的教學(xué)，有利于更好地落實(shí)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的培養(yǎng)。

一、高考全國(guó)卷概率統(tǒng)計(jì)板塊試題特點(diǎn)分析

以使用面最廣的全國(guó)I卷為例，近三年文理科試題考查數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的題號(hào)、分值、主要知識(shí)點(diǎn)、情境見表1。

從表1可以看出，近三年概率統(tǒng)計(jì)板塊試題題量穩(wěn)定，文理科均為2道左右（1或2道客觀題，1道解答題），2018年理科試題客觀題相對(duì)偏多，總分值在17～27分。所考查的知識(shí)點(diǎn)覆蓋了概率統(tǒng)計(jì)板塊的主要內(nèi)容。通過研究試題，可以發(fā)現(xiàn)近年高考以概率統(tǒng)計(jì)板塊為載體考查數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的導(dǎo)向十分明顯。歸納起來，全國(guó)卷概率統(tǒng)計(jì)板塊試題具有以下三個(gè)特點(diǎn)。

1.知識(shí)點(diǎn)全面，情境內(nèi)容新穎

試題全面考查收集和整理、理解和處理、獲得和解釋數(shù)據(jù)的相關(guān)知識(shí)和方法。情境與問題豐富、多層次，與學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活密切相關(guān)，且富于時(shí)代氣息。除了種花、選人、抽卡片等經(jīng)典情境之外，還有易損零件更換、產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)控、超市訂貨、垃圾無害化處理、新農(nóng)村建設(shè)等，充分展現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值。統(tǒng)計(jì)圖表除了教材中的莖葉圖、頻數(shù)分布表、頻率分布直方圖，還有生產(chǎn)生活中常用的柱狀圖、雷達(dá)圖、折線圖等。除了考查定量計(jì)算概率、概率分布列、數(shù)學(xué)期望、方差、求回歸方程等，還考查定性分析決策推斷。除了考查作圖、識(shí)圖、用圖，還考查滲透思維與表達(dá)、交流與反思。

2.數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)水平層次分明

新課標(biāo)提出要基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行考試命題，圍繞四條內(nèi)容主線和核心素養(yǎng)水平的達(dá)成進(jìn)行評(píng)價(jià)。劃分核心素養(yǎng)水平的主要依據(jù)是核心素養(yǎng)的四個(gè)方面——情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思。例如數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)“知識(shí)與技能”水平一的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為“能夠?qū)κ煜さ母怕蕟栴}，選擇合適的概率模型，解決問題;能夠?qū)κ煜さ慕y(tǒng)計(jì)問題，選擇合適的抽樣方法收集數(shù)據(jù)，掌握描述、刻畫、分析數(shù)據(jù)的基本統(tǒng)計(jì)方法，解決問題?！盵2]高考試題所考查的素養(yǎng)水平層次分明，選擇、填空題多為熟悉或關(guān)聯(lián)的情境與問題，在教材或課后習(xí)題中出現(xiàn)過，以考查素養(yǎng)水平一、二為主。解答題多為綜合情境與問題，在概率統(tǒng)計(jì)板塊內(nèi)綜合或與其他知識(shí)板塊交匯，需要考生針對(duì)不同的問題，綜合或創(chuàng)造性地運(yùn)用統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)，分層考查三個(gè)素養(yǎng)水平。

3.數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)特色鮮明突出

數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)與其他數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)相比，在研究對(duì)象、推理方法、判斷準(zhǔn)則上有明顯的不同。數(shù)據(jù)分析探究的是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，相關(guān)問題幾乎都來自于實(shí)際，主要的推理方法是歸納推理。數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)的是培養(yǎng)學(xué)生分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)的能力，其判斷結(jié)論的準(zhǔn)則不是“對(duì)與錯(cuò)”而是“好與壞”[2]。如果涉及繁瑣的計(jì)算，試題往往給出計(jì)算結(jié)果，但需要考生根據(jù)題意恰當(dāng)選取和加工，可見考查的重點(diǎn)不是運(yùn)算而是統(tǒng)計(jì)或概率的思維方法。

二、“概率統(tǒng)計(jì)”復(fù)習(xí)教學(xué)建議

根據(jù)分析可知，高考概率統(tǒng)計(jì)板塊試題基本上圍繞數(shù)據(jù)分析過程展開，考查學(xué)生從實(shí)際背景中提煉統(tǒng)計(jì)問題、合理構(gòu)建模型、對(duì)數(shù)據(jù)合理加工、優(yōu)化推斷合理決策的能力。除了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，更注重考查基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。結(jié)合新課標(biāo)的要求和高考試題的特點(diǎn)，建議概率統(tǒng)計(jì)板塊的復(fù)習(xí)課要轉(zhuǎn)變題海戰(zhàn)術(shù)的復(fù)習(xí)理念，使用基于數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的學(xué)習(xí)材料和教學(xué)方法。

1.選取的問題具有基礎(chǔ)性和多元性

概率統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象多為現(xiàn)實(shí)中的隨機(jī)現(xiàn)象，來源于數(shù)學(xué)學(xué)科外部，因此所選取的問題情境既要立足教材和學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，又要與現(xiàn)實(shí)問題特別是經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)文化相結(jié)合。選取熟悉的、關(guān)聯(lián)的、綜合的情境，豐富學(xué)生的背景知識(shí)，才有利于學(xué)生在不同的情境中運(yùn)用數(shù)據(jù)分析的知識(shí)和方法。例如產(chǎn)品尺寸問題“甲、乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm的一種零件。為了對(duì)兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)比，從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件（給出各個(gè)零件的內(nèi)徑尺寸），從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸看，誰的生產(chǎn)質(zhì)量較高？”[3]這是一個(gè)與制造業(yè)有關(guān)的典型問題，可延伸出正態(tài)分布知識(shí)。選取這樣的問題進(jìn)行教學(xué)，不僅有利于學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，還有利于學(xué)生開拓視野，提升思維的深度和廣度，體會(huì)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)原理進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量控制的基本思想，并將解決此問題的原理和方法遷移到自然界中的其他正態(tài)分布。

2.素養(yǎng)的培養(yǎng)強(qiáng)調(diào)層次性和漸進(jìn)性

新課標(biāo)從問題與情境、知識(shí)與技能、交流與反思、思維與表達(dá)四個(gè)方面將數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)劃分為三個(gè)水平。復(fù)習(xí)課可以選取不同的問題考查不同的素養(yǎng)水平，也可以選取同一問題從不同角度考查不同的素養(yǎng)水平。

例如題組：（1）圖1所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）。若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，平均值也相等，則x和y的值分別為（）。

A.3，5? B.5，5? C.3，7? D.5，7

（2）某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如圖2 的頻率分布直方圖。

①?gòu)目傮w的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率;

②已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50）內(nèi)的人數(shù);

③已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等，試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例。

圖2? 學(xué)生分?jǐn)?shù)分布直方圖

（3）某電視廠家準(zhǔn)備在元旦舉行促銷活動(dòng)，現(xiàn)根據(jù)近七年的廣告費(fèi)與銷售量的數(shù)據(jù)確定此次廣告費(fèi)支出.廣告費(fèi)支出x（萬元）和銷售量y（萬臺(tái)）的數(shù)據(jù)見表2。

表2? 廣告費(fèi)支出與銷售量數(shù)據(jù)

①若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求出y關(guān)于x的線性回歸方程;

②若用y=c+d■模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程■=1.63+0.99■，經(jīng)計(jì)算線性回歸模型和該模型的R2分別約為0.75和0.88，請(qǐng)用R2說明選擇哪個(gè)回歸模型更好;

③已知利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z=200y-x。根據(jù)②的結(jié)果回答下列問題：

廣告費(fèi)x=20時(shí)，銷售量及利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？

廣告費(fèi)x為何值時(shí)，利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？（精確到0.01）

第1題要求學(xué)生結(jié)合熟悉的實(shí)例，從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征，掌握數(shù)據(jù)分析的基本方法，側(cè)重考查素養(yǎng)水平一。第2題要求學(xué)生運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決具體問題，理解統(tǒng)計(jì)結(jié)論的意義，用數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的規(guī)律解釋隨機(jī)現(xiàn)象，側(cè)重考查素養(yǎng)水平二。第3題圍繞“回歸分析”這一主題，遞進(jìn)式設(shè)問，并結(jié)合函數(shù)知識(shí)從不同角度考查數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的三個(gè)水平。第①問要求學(xué)生針對(duì)具體問題，建立一元回歸模型，用統(tǒng)計(jì)模型表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律;第②問要求學(xué)生鑒別統(tǒng)計(jì)模型的優(yōu)劣，理解統(tǒng)計(jì)結(jié)論的意義;第③問則設(shè)計(jì)了綜合的情境和知識(shí)的交匯，考查學(xué)生通過對(duì)信息的加工，基于統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，并用統(tǒng)計(jì)的語言予以表達(dá)。本題還考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

3.教學(xué)的過程體現(xiàn)參與性和開放性

考查數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的高考試題在整套試卷中最具新意，如果把數(shù)據(jù)分析當(dāng)作簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算問題進(jìn)行機(jī)械式訓(xùn)練，那么學(xué)生由于活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不足或有偏差，很難快速準(zhǔn)確地抓住問題要點(diǎn)，只能望題興嘆。教學(xué)中要以案例為載體，適當(dāng)引入計(jì)算機(jī)或計(jì)算器，使學(xué)生充分經(jīng)歷收集整理數(shù)據(jù)、提取信息、構(gòu)建模型、獲得和解釋結(jié)論的全過程，通過思考、表達(dá)、交流和反思，用多個(gè)統(tǒng)計(jì)模型或多個(gè)視角分析、優(yōu)化推斷、合理決策，在“做中學(xué)”，才能有效積累數(shù)據(jù)分析活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和提高統(tǒng)計(jì)思維的水平。例如在前述產(chǎn)品尺寸的基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究案例“讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下，落在各個(gè)球槽內(nèi)的小球分布情況” [4] 。這個(gè)案例教師可以借助教具演示實(shí)驗(yàn)，學(xué)生亦可親自操作，還可以使用軟件模擬實(shí)驗(yàn)，大大提高了學(xué)習(xí)過程的參與度和開放度。

考查數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的試題新而不偏、繁而不怪，教學(xué)中結(jié)合高考試題特點(diǎn)和新課標(biāo)要求進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)板塊的復(fù)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，使學(xué)生不僅能對(duì)高考試題應(yīng)對(duì)自如，還能深切感受到數(shù)學(xué)的價(jià)值和魅力，激發(fā)出強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

參考文獻(xiàn)

[1] 史寧中，王尚志主編.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

[2] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[3] 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)3（必修）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[4] 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)2-3（選修）[M].北京：人民教育出版社，2018.

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