振子質(zhì)量非均布的有限結(jié)構(gòu)梁減振頻帶優(yōu)化

吳旭東 張茗海 左曙光 劉盼學(xué) 孫鈴洲

摘要：對有限結(jié)構(gòu)的聲子晶體梁，首先結(jié)合傳遞矩陣法和有限結(jié)構(gòu)的邊界約束條件，在理論上計(jì)算了其振動(dòng)傳遞特性，從而得到減振頻帶的頻率范圍和衰減深度。然后通過有限元法和樣件試驗(yàn)得到的加速度傳遞函數(shù)驗(yàn)證了計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。進(jìn)而分析了不同周期數(shù)對振動(dòng)傳遞特性的影響，發(fā)現(xiàn)一定周期布置后的聲子晶體梁減振頻帶已趨向穩(wěn)定。最后，以振子總質(zhì)量和減振頻帶總寬度為優(yōu)化目標(biāo)，通過NSGA-Ⅱ算法對6周期布置的有限結(jié)構(gòu)聲子晶體梁的各個(gè)振子質(zhì)量進(jìn)行優(yōu)化。保持減振頻帶寬度不變時(shí)，以振子質(zhì)量最小進(jìn)行優(yōu)化，振子總質(zhì)量減小50. 3%。綜合平衡振子質(zhì)量和減振頻帶寬度進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后振子質(zhì)量減小27%，減振頻帶寬度增加120%。該方法為聲子晶體的工程應(yīng)用與優(yōu)化提供了參考和指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：聲子晶體梁;減振頻帶;有限結(jié)構(gòu);傳遞矩陣法;多目標(biāo)優(yōu)化

中圖分類號(hào)：TB535+.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-4523 （2019） 06-0935-08

DOI：10. 16385/j. cnki. issn. 10 0 4-4523. 2019. 06. 001

引言

近年來，聲子晶體因?yàn)槠鋸椥圆◣短匦允艿搅藢W(xué)者廣泛關(guān)注。當(dāng)彈性波頻率在其帶隙頻率范圍之內(nèi)時(shí)，彈性波就不能自由的傳播[1]。聲子晶體中的帶隙可以分為布拉格帶隙（對應(yīng)的彈性波波長和晶格常數(shù)處于同一數(shù)量級(jí)[2]）和局域共振型帶隙（頻率所對應(yīng)的彈性波波長比晶格常數(shù)大幾個(gè)數(shù)量級(jí)[3]）。

針對聲子晶體梁結(jié)構(gòu)已經(jīng)有很多學(xué)者進(jìn)行了研究;文獻(xiàn)[4—5]對無限周期的聲子晶體梁結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)進(jìn)行了研究，通過傳遞矩陣法計(jì)算了能帶結(jié)構(gòu)并利用試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證;文獻(xiàn)[6]推導(dǎo)了聲子晶體梁結(jié)構(gòu)帶隙的開始和截止頻率計(jì)算公式;文獻(xiàn)[7—8]通過改進(jìn)傳遞矩陣法和微分求積法對聲子晶體梁結(jié)構(gòu)振動(dòng)帶隙進(jìn)行研究，便帶隙計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確;文獻(xiàn)[9]在一個(gè)周期內(nèi)并聯(lián)多個(gè)不同質(zhì)量的振子組成梁結(jié)構(gòu)，計(jì)算了能帶結(jié)構(gòu)，與集中質(zhì)量相比，帶隙寬度明顯拓寬。因此，現(xiàn)有研究主要是針對無限周期結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)，且需要具有完全的周期性，而有限結(jié)構(gòu)下減振頻帶解析計(jì)算較少。

在帶隙優(yōu)化方面，對于二維聲子晶體結(jié)構(gòu)，現(xiàn)有研究將遺傳算法和平面波展開法[10]、有限元法[11]和集中質(zhì)量法[12]結(jié)合進(jìn)行形狀拓?fù)鋬?yōu)化和多目標(biāo)優(yōu)化[13]。對于一維聲子晶體結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[14]用傳遞矩陣法對二組元聲子晶體桿進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，通過遺傳算法對組合桿的夾角進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[15]用譜元法和行波法對有限長的聲子晶體組合桿振動(dòng)傳遞特性進(jìn)行計(jì)算，對二組元的材料、長度和間距進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。文獻(xiàn)[16]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建了周期結(jié)構(gòu)參數(shù)對帶隙寬度和深度的數(shù)學(xué)模型，通過NS—GA一Ⅱ算法對參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，優(yōu)化后帶隙寬度和深度都明顯增大?，F(xiàn)有研究主要集中在聲子晶體的縱向振動(dòng)帶隙寬度優(yōu)化，通過優(yōu)化單個(gè)周期的基體材料和尺寸參數(shù)拓寬帶隙，對于有限結(jié)構(gòu)的一維聲子晶體梁各個(gè)振子質(zhì)量優(yōu)化研究較少。輕量化對于工程應(yīng)用具有較高價(jià)值，因此質(zhì)量增加和減振頻帶拓寬之間的矛盾是實(shí)際應(yīng)用必須考慮的問題。

針對有限結(jié)構(gòu)的聲子晶體梁，采用傳遞矩陣法對振動(dòng)傳遞特性進(jìn)行理論數(shù)值計(jì)算，得到減振頻帶范圍和衰減深度，并通過有限元仿真和樣件試驗(yàn)驗(yàn)證理論分析的準(zhǔn)確性。結(jié)果表明在保證諧振器固有頻率不變情況下，周期數(shù)達(dá)到一定數(shù)量后減振頻帶寬度和深度趨于穩(wěn)定。因此，通過NSGA一Ⅱ算法對6周期聲子晶體梁進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，以減振頻帶寬度和振子總質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)，對6個(gè)振子的質(zhì)量進(jìn)行優(yōu)化，達(dá)到更小的質(zhì)量，獲得更大的減振頻帶寬度的目標(biāo)。

1聲子晶體梁減振特性計(jì)算

1.1 有限結(jié)構(gòu)傳遞矩陣法計(jì)算

圖1所示為一個(gè)截面形狀為矩形的歐拉梁局域共振有限結(jié)構(gòu)，由長度為L的梁和等間距分布的n個(gè)彈簧振子組成，每個(gè)振子的質(zhì)量為mi（i=1，2，…，n），彈簧剛度為為ki（i=1，2，…，n），晶格常數(shù)為a，梁截面積為A，二次矩為I?？紤]歐拉梁的彎曲振動(dòng)，將未變形時(shí)的梁中軸線作為x軸，振子僅存在y軸方向的自由度。

Fig.10ne-dimensional locally resonant beam with finite

structure

對于第i段梁，歐拉梁的橫向位移公式可寫成：

A段：

式中

分別為A段和B段梁上相對坐標(biāo)。A，B段中系數(shù)A，B，C，D為需要求解的待定系數(shù)。

在局域共振梁的左端施加單位位移的掃頻激勵(lì)，因此梁的邊界條件為：

1）梁的最左端位移為1：

Y11（O）=A11+C11 =1

（3）

2）梁的最左端彎矩為O：

3）梁的最右端彎矩為O：

4）梁的最右端剪力為O：

將式（3）一（6）整理成矩陣形式

其中：

對于第i周期，A與B之間位移、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力連續(xù)，得到A與B間傳遞矩陣為

其中：

而第i周期與第（i+1）周期間位移、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力連續(xù)，得到傳遞矩陣

其中：

則第i段梁總傳遞矩陣為

第n段梁的B部分與第1段梁的A部分之間的傳遞關(guān)系可表達(dá)為

將方程化為簡單矩陣形式

結(jié)合式（7）和（1 2），可以解出[An2 Bn2 Cn2Dn2]。

將求解得到的值代入下式，則局域共振梁的最右端振動(dòng)位移幅值表示為

因此可以求出局域共振梁的振動(dòng)傳遞特性

1.2 有限元與試驗(yàn)驗(yàn)證

傳遞矩陣法計(jì)算時(shí)，局域共振梁參數(shù)如下：梁的截面尺寸為20 mm×10 mm;材料密度為7850 kg/m3，楊氏模量為2.1×10 11 P a，泊松比為0.3;晶格常數(shù)為100 mm，周期數(shù)為6;彈簧剛度為500 N/mm，每個(gè)振子質(zhì)量為100 g。

本文通過有限元方法建立了有限周期的局域共振梁結(jié)構(gòu)，如圖2所示，其中梁與振子均使用C3D8R三維實(shí)體單元，振子則通過線性彈簧單元與梁共節(jié)點(diǎn)連接。在有限元仿真中，梁設(shè)定為兩端自由約束，在一段施加一定頻率范圍內(nèi)的單位幅值位移掃頻激勵(lì)，再在梁的另一端拾取位移響應(yīng)，然后計(jì)算得到局域共振梁的振動(dòng)傳遞特性。

在試驗(yàn)中，梁結(jié)構(gòu)和振子均使用45號(hào)鋼加工完成，而彈簧單元?jiǎng)t使用模具彈簧代替，模具彈簧與振子及梁通過502膠粘接在一起。由于模具彈簧質(zhì)量為30 g，需要將其自身質(zhì)量的1/3（10 g）轉(zhuǎn)移至振子中，因此加工振子質(zhì)量為90 g。試樣樣件通過彈性繩懸吊，確保其處于自由狀態(tài)，如圖3所示。試驗(yàn)中通過激振器產(chǎn)生單位白噪聲對局域共振梁激振，測量聲子晶體梁兩端的輸入及輸出加速度信號(hào)后計(jì)算得到振動(dòng)傳遞特性，如圖4所示。

將傳遞矩陣法、有限元法和試驗(yàn)得到的振動(dòng)傳遞特性曲線進(jìn)行對比，如圖5所示。傳遞矩陣法計(jì)算得到的6振子有限結(jié)構(gòu)局域共振梁結(jié)構(gòu)在351-451 Hz頻率范圍內(nèi)存在明顯彎曲振動(dòng)減振頻帶，有限元法和試驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線表明在相同位置出現(xiàn)了減振頻帶寬度和深度完全相同的隔振減振頻帶。在減振頻帶范圍外的振動(dòng)傳遞曲線也完全擬合，由于膠水與彈簧的阻尼存在，會(huì)使振動(dòng)的峰值有所削弱，但其頻率基本與傳遞矩陣法一致，證明了傳遞矩陣法的準(zhǔn)確性。

2 局域共振梁多目標(biāo)優(yōu)化參數(shù)分析

2.1 有限機(jī)構(gòu)梁的最佳周期數(shù)確定

實(shí)際應(yīng)用中，不存在無限周期結(jié)構(gòu)的梁，必然需要確定布置的周期數(shù)。首先研究在振子總質(zhì)量保持一定的情況下，確定合理的周期數(shù)。

在本文中，研究的梁的總長度為600 mm時(shí)，振子總質(zhì)量為600 g。保持諧振器的固有頻率ω=（k/m）1/2 =350 Hz不變，在周期數(shù)增加時(shí)，局域共振梁振動(dòng)傳遞特性變化三維圖如圖6（a）所示，圖片的顏色代表振動(dòng)傳遞特性的位移傳遞函數(shù)幅值大小。藍(lán)色部分衰減深度大于20 dB，屬于減振頻帶范圍?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨周期數(shù)增加，減振頻帶范圍趨向于固定范圍，在周期數(shù)達(dá)到6時(shí)，減振頻帶范圍固定不變，即351-451 Hz。振子總質(zhì)量為300 g時(shí)，改變諧振器固有頻率ω=（k/m）1/2=500 Hz，如圖6（b）所示，同樣可以發(fā)現(xiàn)在周期數(shù)達(dá)到6時(shí)，減振頻帶范圍趨向于500-630 Hz固定不變。即當(dāng)振子數(shù)量達(dá)到一定時(shí)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)衰減效益將不再增加，考慮到增加振子數(shù)量必然增加彈簧數(shù)量，提高振子加工成本，本文中的結(jié)構(gòu)應(yīng)以布置6振子結(jié)構(gòu)為宜。

2.2 多目標(biāo)優(yōu)化流程

NSGA一Ⅱ算法由遺傳算法發(fā)展而來，降低了非劣排序遺傳算法的復(fù)雜性，具有運(yùn)行速度快，收斂性好的優(yōu)點(diǎn)，通過快速非支配排序，引進(jìn)精英策略，采用擁擠度和擁擠度比較算子，保證了種群的多樣性，能夠迅速找到Pareto前沿，具體流程如圖7所示[17]。

限結(jié)構(gòu)局域共振梁中，減振頻帶寬度與振子總質(zhì)量之間總是存在矛盾，更寬的減振頻帶寬度往往需要更大質(zhì)量，而工程實(shí)際中要求輕量化，因此需要通過多目標(biāo)優(yōu)化尋找兩者之間的最優(yōu)解集。

聲子晶體梁結(jié)構(gòu)中各振子參與吸振的貢獻(xiàn)量不同。因此，傳統(tǒng)意義上的質(zhì)量均布聲子晶體梁結(jié)構(gòu)并非最佳的振動(dòng)吸收結(jié)構(gòu)，有必要針對特定需求對質(zhì)量分布進(jìn)行重新設(shè)計(jì)。通過打破聲子晶體結(jié)構(gòu)的嚴(yán)格按照周期排列的規(guī)律，將更多的振子質(zhì)量向主導(dǎo)振子分配，從而得到更寬的減振頻帶范圍。2.1節(jié)中對周期數(shù)影響分析表明6周期布置具有較好的減振頻帶效益及經(jīng)濟(jì)效益，因此通過智能算法，以最小有效衰減量為邊界條件，減振頻帶有效寬度和振子總質(zhì)量為目標(biāo)，對6周期局域共振梁的振子質(zhì)量進(jìn)行非均勻分布優(yōu)化。

1）優(yōu)化變量：6周期聲子晶體各振子質(zhì)量

[mi m2 m3 m4 m5 m6]

2）優(yōu)化目標(biāo)：減振頻帶總寬度D20dP，和總質(zhì)量m

Min：m=ml+m2+m3+m4+m5+m6（15）

Max： D20dP =ml，m2，m3，m4，m5，m6式中 D20dP，為衰減量超過20 dB的有效減振頻帶的寬度。選擇6振子有限結(jié)構(gòu)聲子晶體O-1000 Hz內(nèi)的有效減振頻帶寬度為優(yōu)化目標(biāo)，以使得聲子晶體在隔振過程中振動(dòng)吸收能力均能夠工作在收益較大的中等衰減量范圍。定義衰減量超過20 dB為有效衰減量，此時(shí)振動(dòng)衰減超過90%，已經(jīng)有很好的衰減效果。

3）約束條件：單個(gè)振子質(zhì)量不超過200 g，振子總質(zhì)量不超過600 g

O≤ml+m2+m3+m4+m5+m6≤600 ，

（16）

O≤ml，m2，m3，m4，m5，m6≤200

3 局域共振梁多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果分析

3.1 振子質(zhì)量最小優(yōu)化

實(shí)際應(yīng)用時(shí)，確定了目標(biāo)的隔振減振頻帶范圍，為保證減振頻帶范圍內(nèi)具有良好的衰減效果，要求減振頻帶內(nèi)整體振動(dòng)衰減20 dB以上，此時(shí)振動(dòng)衰減已達(dá)90%，因此以衰減幅值大于20 dB的減振頻帶寬度作為有效減振頻帶寬度;同時(shí)考慮到工程輕量化要求，應(yīng)該使振子的總質(zhì)量最小。

對振子質(zhì)量進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，設(shè)置最優(yōu)前端個(gè)體系數(shù)為0.3，種群大小為100，最大進(jìn)化代數(shù)為500，停止代數(shù)為5 00，適應(yīng)度函數(shù)值偏差為1×10 -10，得到第一前端最優(yōu)個(gè)體Pareto解集如圖8所示。

第2節(jié)中，6振子質(zhì)量均勻布置時(shí)減振頻帶范圍為350-450 Hz，同時(shí)在減振頻帶開始時(shí)衰減深度達(dá)到80 dB，減振頻帶內(nèi)衰減深度變化較大。優(yōu)化要求減振頻帶總寬度不變，因此選擇100 Hz的減振頻帶寬度對應(yīng)的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，此時(shí)振子總質(zhì)量僅為298 g，相比優(yōu)化前振子總質(zhì)量減小50.3%，各振子質(zhì)量變化如表1所示。可以發(fā)現(xiàn)，振子質(zhì)量相互變化較大，最小振子僅3 g，最大振子達(dá)到119 g。因此6振子中存在著主要振子及次要振子。主要振子為2，4和5，次要振子為1，3和6。

優(yōu)化前后的振動(dòng)傳遞曲線如圖9所示，減振頻帶范圍均為350-450 Hz，優(yōu)化后衰減深度減小，但整體衰減深度均大于20 dB，具有良好的衰減效益。在有限元軟件中對優(yōu)化后模型進(jìn)行頻響分析，減振頻帶內(nèi)外局域共振梁振動(dòng)形態(tài)如圖10所示。質(zhì)量均勻分布時(shí)，起到吸振作用的主要是前排振子，而振子質(zhì)量不均勻分布時(shí)，此時(shí)振子間的相互耦合作用導(dǎo)致減振頻帶的產(chǎn)生。在減振頻帶頻率外，梁的整體振動(dòng)幅值較大，此時(shí)振動(dòng)沒有得到衰減，激勵(lì)能量能順利地傳到輸出端。而在減振頻帶頻率內(nèi)，梁的振動(dòng)主要集中在輸入端，同時(shí)6個(gè)振子振動(dòng)幅值較大，能量有效轉(zhuǎn)移到振子處，梁的后半段振動(dòng)幅值很小，表明優(yōu)化的效果明顯。

3.2 綜合平衡優(yōu)化

3.1節(jié)優(yōu)化是在保證減振頻帶寬度不變情況下，振子質(zhì)量最小。而實(shí)際情況往往是平衡振子質(zhì)量和減振頻帶寬度之間的關(guān)系，在達(dá)到減振頻帶寬度增加的同時(shí)振子質(zhì)量減小。

通過NSGA一Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化，設(shè)置最優(yōu)前端個(gè)體系數(shù)為0.3，種群大小為200，最大進(jìn)化代數(shù)為500，停止代數(shù)為500，適應(yīng)度函數(shù)值偏差為1×l0-10，得到的最優(yōu)個(gè)體Pareto解集如圖11所示。為平衡振子質(zhì)量和減振頻帶寬度之間的關(guān)系，選取振子質(zhì)量為438 g，減振頻帶寬度為220 Hz的目標(biāo)點(diǎn)為最優(yōu)點(diǎn)。此時(shí)振子質(zhì)量變化如表2所示。局域共振梁結(jié)構(gòu)1，3和5號(hào)振子質(zhì)量占比最大，2，4和6號(hào)振子的占比較小，兩者相差約一倍，大小振子呈正弦交錯(cuò)型布置。優(yōu)化后振子總質(zhì)量減小27%，而減振頻帶總寬度增加120%。

優(yōu)化后局域共振梁振動(dòng)傳遞特性如圖1 2所示，優(yōu)化后減振頻帶寬度為351-571 Hz，且減振頻帶衰減深度基本在20 dB，具有較好的衰減效果。同樣在有限元軟件中對優(yōu)化后模型進(jìn)行頻響分析，減振頻帶內(nèi)外局域共振梁振動(dòng)形態(tài)如圖1 3所示。在減振頻帶外，梁的整體振動(dòng)幅值較大，此時(shí)振動(dòng)沒有得到有效轉(zhuǎn)移。而在減振頻帶內(nèi)，梁的振動(dòng)主要集中在輸入端，能量有效轉(zhuǎn)移到振子處，梁的輸出端振動(dòng)幅值很小，表明優(yōu)化結(jié)果的效果顯著。

3.3 邊界約束下優(yōu)化結(jié)果分析

在質(zhì)量最小優(yōu)化后的有限元模型上，梁兩端截面分別設(shè)置為簡約束條件。在距一端約束面50mm的位置施加垂向單位掃頻加速度激勵(lì)，在距另一端約束面50 mm的位置監(jiān)測加速度響應(yīng)，得到其振動(dòng)傳遞特性函數(shù)，如圖14所示。約束對衰減頻帶的頻率分布位置影響相對較小，主要影響其衰減頻帶內(nèi)的幅值特性。因此優(yōu)化在約束條件下依然有寬頻減振頻帶效果。

4 結(jié) 論

實(shí)際應(yīng)用中，不存在無限周期的梁結(jié)構(gòu)，因此對有限結(jié)構(gòu)的局域共振聲子晶體梁進(jìn)行研究，得到以下結(jié)論：

（1）結(jié)合有限結(jié)構(gòu)梁的邊界條件和傳遞矩陣，計(jì)算出歐拉梁的橫向位移振幅，進(jìn)而求得梁的振動(dòng)傳遞特性，從而得到減振頻帶頻率起始范圍及衰減深度，并且有限元仿真和樣件試驗(yàn)得到的加速度傳遞函數(shù)與傳遞矩陣法理論計(jì)算基本吻合，證明了方法的準(zhǔn)確性。

（2）在有限結(jié)構(gòu)的梁中，保持諧振器固有頻率和振子總質(zhì)量不變，分析了周期數(shù)對梁振動(dòng)傳遞特性影響。減振頻帶范圍隨著周期數(shù)變化，在周期數(shù)達(dá)到一定數(shù)量后，減振頻帶的寬度和深度已基本穩(wěn)定。

（3）對6周期的有限結(jié)構(gòu)聲子晶體梁，以最小有效衰減量為邊界條件，減振頻帶寬度和振子質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)，對6振子的質(zhì)量進(jìn)行優(yōu)化，保證減振頻帶位置及寬度不變，振子質(zhì)量減小了50.3%。當(dāng)綜合考慮減振頻帶寬度和振子質(zhì)量時(shí)，優(yōu)化后振子質(zhì)量減小了27%，且減振頻帶寬度增加了120%;同時(shí)，在梁兩端簡支約束下該優(yōu)化方法依然具有寬頻減振效果。

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