半線性帶阻尼波動方程的間斷有限體積元方法

陳凡

(棗莊學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，山東棗莊 277160)

0 引言

考慮半線性帶阻尼波動方程的初邊值問題

其中Ω?R2為有界區(qū)域，方程(1)帶有阻尼項▽·(b(x)▽ut)，它出自粘彈性理論，例如在地震勘探時，分析人工震源的傳播需要經(jīng)過地球這一粘彈性介質(zhì)，u(x,t)是滿足(1a)的震動位移，其中a(x)為彈性系數(shù)，b(x)為沾彈性系數(shù).假設

(I)a(x),b(x)為光滑有界函數(shù)，存在常數(shù)a0,a1,b0,b1,使得

0

(II)f(x,t,u,ut)有界，滿足Lipschitz連續(xù)條件，φ(x),ψ(x)為Ω上的光滑函數(shù).

這些方程的正則性理論在[1]中，有限元方法在[2]中，本文利用間斷有限體積元方法分析這類問題，得到了最優(yōu)L2模和H1的誤差估計.

1 半離散格式

圖1 原始與對偶剖分

定義Th上的試探函數(shù)空間

Uh={uh∈L2(Ω):uh|k∈P1(K),?K∈Th},

其中Pl表示定義在K(T)上的度數(shù)小于等于l(l=0,1)的多項式集合.

其中he表示K的邊e的長度.

記所有K的邊界集合為Γ,Γ0=Γ?Ω.設e=?K1∩?K2,則在邊e上定義的均值和躍度為，

顯然可以得到結論

(2)

在(1a)式兩端同乘vh∈Vh,在對偶單元上積分，由Green公式有

(3)

其中u(0),ut(0)∈Vh.

由(2)式，并注意到[a(x)▽u]|e=0,[b(x)▽ut]|e=0,e∈Γ0，所以有

(4)

定義雙線性形式

(5)

則問題(1)的半離散間斷有限體積元格式為：求uh:[0,T]→Uh使得

(6)

雙線性形式定義如下

其中懲罰性α的定義同文獻[3].由于u是(1)的解，則[rhu]|e=0,[rhut]|e=0,故有

A(u,rhvh)=a(u,rhvh)，B(ut,rhvh)=b(ut,rhvh).

2 一些引理

引理1[3]存在與h無關的正常數(shù)C，使得

(7)

引理2[3]對?uh,vh∈Uh,使得

(8)

引理3[5]存在與無關的正常數(shù)C1,C2，使得

(9)

引理4[3]算子γh關于L2內(nèi)積是自伴的，(uh,γhvh) = (vh,γhuh)，并定義

(10)

引理5[4]存在與h無關的正常數(shù)C，使得

(11)

3 半離散格式誤差分析

引入u的Ritz投影[5]：Rh(u),[0,T]→Uh,滿足

A(u-Rhu,rhvh)+B(ut-Rhut,rhvh)=0,?vh∈Uh.

(12)

并且有下列結論

‖u-Rhu‖≤Ch2‖uτ‖3,

(13)

‖(u-Rhu)t‖≤Ch2(‖u‖3+‖ut‖3)，

(14)

‖(u-Rhu)tt‖≤Ch2(‖utt‖3+‖ut‖3+‖u‖3),

(15)

(16)

(17)

(18)

證明：記ρ=u-Rhu,θ=Rhu-uh,(4)與(7)相減，得誤差方程

+(f(u,ut)-f(uh,uht),γhvh)

(19)

取vh=θt,則有

=J1+J2+J3+J4.

(20)

利用Holder不等式，ε不等式，引理2、3、4、5，得(20)右端各項估計如下

則(20)式可改寫成

(21)

(21)式兩邊關于t積分，整理可得

(22)

根據(jù)引理1，及θ(0)=0,θt(0)=0，可得

(23)

再由Gronwall引理和(13)式，開方得

(24)

(25)

根據(jù)定義Ritz投影，由(13)可得，

(26)

由(26)、(24)、三角不等式，得證結論

同理可得證式(18)成立.