基于貝葉斯-Copula模型的突發(fā)堆載下盾構(gòu)隧道結(jié)構(gòu)安全性評(píng)價(jià)

王丙苗， 陳三強(qiáng)， 劉文黎， 陳世杰， 韓 鵬， 李 黎， 同一村

(1. 武漢地鐵運(yùn)營(yíng)有限公司， 湖北 武漢 430030； 2. 華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院， 湖北 武漢 430074)

近十年來，城市軌道交通以其施工便捷、快速及對(duì)環(huán)境影響小等優(yōu)點(diǎn)得到快速發(fā)展，如今漸漸形成了以地鐵為軸線的交通網(wǎng)絡(luò)，但伴隨著大量的臨近施工活動(dòng)(如堆載、基坑施工等)，可能對(duì)地鐵的正常運(yùn)營(yíng)帶來明顯的影響。鄰近工程活動(dòng)會(huì)對(duì)臨近的運(yùn)營(yíng)盾構(gòu)地鐵結(jié)構(gòu)帶來許多安全隱患(如滲漏水、管片開裂、道床脫開等病害)，以及結(jié)構(gòu)使用性能的降低風(fēng)險(xiǎn)。

目前已有部分關(guān)于臨近活動(dòng)對(duì)盾構(gòu)地鐵結(jié)構(gòu)影響的分析成果。邵華等[1]分析堆載引起的盾構(gòu)隧道變形及病害特征，并對(duì)卸載及綜合加固整治措施及效果進(jìn)行分析。Zhang等[2]研究周圍深基坑開挖對(duì)地鐵的影響。何川等[3]探討和揭示圍巖條件、隧道凈距、頂推力等因素對(duì)已建平行隧道的變形和附加內(nèi)力分布變化規(guī)律的影響。賀美德[4]等分析淺埋暗挖(Cross Diaphragm，CRD)法上穿盾構(gòu)隧道施工，分別對(duì)隧道結(jié)構(gòu)豎向位移、隧道結(jié)構(gòu)水平收斂位移及道床結(jié)構(gòu)豎向位移3種變形的影響。Yamamoto等[5]分析了堆載對(duì)既有地鐵的影響。王如路等[6]提出了以隧道直徑變化作為隧道橫向結(jié)構(gòu)性態(tài)發(fā)展的判定指標(biāo)。這些研究主要分析周圍活動(dòng)對(duì)地鐵的變形、受力規(guī)律等因素的影響，缺少運(yùn)營(yíng)地鐵結(jié)構(gòu)安全的評(píng)估研究。

國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者通常采用基于定性評(píng)價(jià)方法(如事故樹分析、影響圖法等)識(shí)別地鐵結(jié)構(gòu)的安全狀態(tài)，然而這些方法參數(shù)屬性區(qū)間劃分和權(quán)重設(shè)置存在較大的主觀判斷，基于此，本文采用結(jié)構(gòu)可靠度分析這個(gè)定量評(píng)估方法。傳統(tǒng)的系統(tǒng)可靠性分析通常假設(shè)系統(tǒng)部件和各組成單元之間相互獨(dú)立，其分析結(jié)果往往將多種失效模式進(jìn)行失效概率疊加，然而在地鐵運(yùn)營(yíng)安全可靠性評(píng)價(jià)中，系統(tǒng)出現(xiàn)故障的致險(xiǎn)因素非常復(fù)雜，且相互之間存在復(fù)雜的時(shí)間耦合交互作用關(guān)系，本文采用Copula理論實(shí)現(xiàn)參數(shù)失效模式的相依性疊加。另外，由于地鐵周圍的臨近活動(dòng)具有明顯的時(shí)效性，傳統(tǒng)的安全評(píng)價(jià)往往局限于靜態(tài)過程的推理，難以反映時(shí)空變化對(duì)地鐵運(yùn)營(yíng)安全風(fēng)險(xiǎn)演化的實(shí)時(shí)影響。故而本文采用貝葉斯更新理論，考慮時(shí)變效應(yīng)下臨近環(huán)境變化對(duì)地鐵結(jié)構(gòu)安全的影響，建立較為精確的運(yùn)營(yíng)地鐵安全狀態(tài)評(píng)價(jià)模型。

參考相關(guān)文獻(xiàn)資料，首先選取評(píng)價(jià)地鐵結(jié)構(gòu)安全可靠性的指標(biāo)參數(shù)；再采用不同的Copula函數(shù)構(gòu)建這兩個(gè)參數(shù)的相依性模型，并通過AIC(Akaike Information Criterion)和BIC(Bayesian Information Criterion)準(zhǔn)則識(shí)別出最優(yōu)的Copula模型；然后，基于Weibull分布的Frank Copula可靠性模型構(gòu)建，結(jié)合貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷理論和馬爾科夫鏈蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo，MCMC)以及Metropolis-Hastings算法抽樣技術(shù)，對(duì)指標(biāo)的邊緣分布和相依型聯(lián)合分布函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)與統(tǒng)計(jì)推斷，得到參數(shù)的后驗(yàn)分布和相關(guān)統(tǒng)計(jì)量，從而實(shí)現(xiàn)評(píng)價(jià)模型的實(shí)時(shí)更新，得到Copula二元離散時(shí)變相依模型；最后，以武漢地鐵2號(hào)線某段區(qū)間為工程背景，利用Copula函數(shù)構(gòu)建指標(biāo)的二元聯(lián)合分布函數(shù)模型，從而在考慮指標(biāo)因素之間相依性的情況下，采用蒙特卡洛模擬法，得出該段地鐵工程的安全可靠度。通過運(yùn)營(yíng)地鐵結(jié)構(gòu)的相依性建模及安全可靠度評(píng)價(jià)，能夠更準(zhǔn)確和全面地捕捉到數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，實(shí)現(xiàn)運(yùn)營(yíng)地鐵結(jié)構(gòu)安全性的準(zhǔn)確評(píng)價(jià)，為運(yùn)營(yíng)地鐵的安全管控提供更精準(zhǔn)的信息支持。

1 貝葉斯Copula相依性建模理論

1.1 基于Copula理論的相依性模型原理

Copula方法基于Sklar定理[7]：設(shè)F(x1，x2，…，xn)為邊緣分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x1)，F(xiàn)(x2)，…，F(xiàn)(xn)，存在對(duì)于n維Copula，x1，x2，…，xn有：

F(x1,x2,…,xn)=C[F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)]

(1)

式中：C為F(x1),F(x2),…,F(xn)的Copula函數(shù)。

Sklar定理將多維參數(shù)聯(lián)合分布的構(gòu)建過程分為兩個(gè)步驟：(1)從樣本數(shù)據(jù)估計(jì)邊緣分布的統(tǒng)計(jì)參數(shù)；(2)最優(yōu)Copula函數(shù)識(shí)別。根據(jù)Sklar定理，兩個(gè)隨機(jī)變量x1，x2的兩參數(shù)聯(lián)合分布如下：

F(x1,x2)=C(F1(x1),F2(x2),θ)=C(u1,u2,θ)

(2)

式中：u1,u2為Copula函數(shù)中的邊緣分布函數(shù)，θ為x1，x2之間的相關(guān)性測(cè)度。

(1)Copula函數(shù)的類型

本文選擇的Copula函數(shù)如表1所示。其中，Gaussian為橢圓族Copula函數(shù)，Clayton，Gumbel，F(xiàn)rank Copulas為常用的阿基米德Copula函數(shù)。

表1 本文采用的Copula函數(shù)類型

注：Φρ為相關(guān)系數(shù)矩陣為ρ的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)

(2)Copula函數(shù)參數(shù)θ的估計(jì)

Copula參數(shù)θ可以通過Pearson線性相關(guān)系數(shù)或秩相關(guān)系數(shù)來確定[8]。由于Pearson系數(shù)在線性條件下能保持不變，但在非線性條件下不穩(wěn)定，故而本文采用Kendall秩相關(guān)τk來確定Copula參數(shù)。τk可以度量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量的依賴性程度，對(duì)于具有N個(gè)值的兩變量x1，x2的非參數(shù)估計(jì)τk可以由式(3)計(jì)算：

(3)

這里，sign(·)定義為：

(4)

根據(jù)Copula理論，τk可以用Copula函數(shù)表示：

(5)

因此，與給定的Copula函數(shù)相關(guān)聯(lián)的Copula參數(shù)θ可以通過求解上述積分方程來確定。

(3)最優(yōu)Copula函數(shù)識(shí)別

在確定Copula參數(shù)θ之后，可以唯一地得到Copula聯(lián)合分布函數(shù)和Copula聯(lián)合概率密度分布函數(shù)。然后，可以使用Akaike信息準(zhǔn)則AIC和貝葉斯信息準(zhǔn)則BIC的計(jì)算值區(qū)分識(shí)別最優(yōu)Copula函數(shù)，公式如下：

(6)

(7)

(8)

式中：k為Copula參數(shù)的數(shù)量，本文中k值為1；N為相關(guān)數(shù)據(jù)的樣本大小。當(dāng)AIC和BIC取值最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的Copula函數(shù)為最優(yōu)Copula函數(shù)。

1.2 貝葉斯推斷理論

一個(gè)典型的貝葉斯分析通常由三個(gè)主要過程組成[9]：(1)一個(gè)能刻畫所有變量包括樣本數(shù)據(jù)、缺失數(shù)據(jù)和未知參數(shù)關(guān)系的全概率模型即聯(lián)合分布；(2)用適當(dāng)?shù)暮篁?yàn)分布對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行描述；(3)所用模型的評(píng)價(jià)與選擇。聯(lián)合概率分布可表示為聯(lián)合概率分布參數(shù)θ的似然函數(shù)X參數(shù)的先驗(yàn)分布，即

p(y,θ)=p(y|θ)f0(θ)

(9)

利用貝葉斯定理

(10)

獲得參數(shù)的后驗(yàn)分布完成步驟2。當(dāng)參數(shù)θ為離散時(shí)，積分符號(hào)用求和符號(hào)替代。

分母P(y)看成常數(shù)，在實(shí)際中，求P(y)的值很不容易，但通常用馬爾可夫蒙特卡羅方法估計(jì)。假設(shè)參數(shù)向量不止一個(gè)分量，如θ=(θ1，θ[-1])，其中θ[-1]為除第一個(gè)分量處的所有分量組成的向量。可對(duì)多余參數(shù)向量θ[-1]積分剔除得到參數(shù)θ1，即

(11)

1.3 馬爾可夫鏈蒙特卡羅(MCMC)方法

選擇通過運(yùn)行一個(gè)以π為穩(wěn)定分布的馬爾可夫鏈來產(chǎn)生相關(guān)樣本，此方法稱為馬爾可夫鏈蒙特卡羅(MCMC)方法，Metropolis等首先提出具有非常一般性的產(chǎn)生馬爾可夫鏈的方法，假設(shè)馬爾可夫鏈?zhǔn)遣豢杉s的、非周期并且收斂到唯一的平穩(wěn)分布π(x)，則每個(gè)馬爾可夫鏈蒙特卡羅計(jì)算的實(shí)質(zhì)就是對(duì)某一給定函數(shù)h(·)的均值Eπh(x)的估計(jì)。在過去的幾十年中此方法受到廣大學(xué)者充分的重視從而迅猛發(fā)展[9,10]。抽樣方法有重點(diǎn)抽樣、Metropolis抽樣、Metropolis-Hastings抽樣、隨機(jī)游走M(jìn)etropolis抽樣和Gibbs抽樣算法。本文采用Metropolis-Hastings抽樣算法。

(12)

1.4 MCMC收斂診斷

根據(jù)馬爾可夫鏈的遍歷性，所有基于MCMC的統(tǒng)計(jì)推斷都是在假定Markov鏈已經(jīng)收斂的條件下進(jìn)行的。所以MCMC的收斂性診斷對(duì)于用參數(shù)的后驗(yàn)估計(jì)有重要影響。目前MCMC收斂診斷的方法很多，本節(jié)主要介紹應(yīng)用最廣泛的G-R(Gelman-Rubin)收斂診斷方法。MCMC收斂診斷方法基于用正態(tài)分布近似目標(biāo)分布π的理論，主要由以下幾步構(gòu)成[9]：

(1)開始抽樣之前，找一個(gè)簡(jiǎn)單的分布f(x)，該分布相對(duì)于目標(biāo)分布而言是過度擴(kuò)散的，并且從f(x)中產(chǎn)生m個(gè)獨(dú)立同分布樣本；

(2)將得到的m個(gè)獨(dú)立同分布樣本作為抽樣的初始狀態(tài)，開始m個(gè)獨(dú)立抽樣，讓每條鏈運(yùn)行2n次迭代；

(3)每條鏈分別迭代2n次，將前n次“退火”舍棄，將其記為xij,i=1,2,…,m，j=1,2,…,n；然后利用余下的n次迭代結(jié)果xij，計(jì)算m條鏈內(nèi)方差的平均值W和m條平行鏈均值間的方差B，即

(13)

(14)

2 工程背景

武漢地鐵長(zhǎng)港路—漢口火車站區(qū)間始于長(zhǎng)港路站南端，橫穿常青三路、紅旗渠路、漢丹鐵路、常青一路后向南進(jìn)入漢口火車站站場(chǎng)到漢口火車站北端止。2016年3月份該區(qū)間隧道在DK3+750—DK3+945段地面有面積堆土，堆土高出原設(shè)計(jì)標(biāo)高(21.8 m)6 m多，導(dǎo)致運(yùn)營(yíng)地鐵管片出現(xiàn)大規(guī)模病害(如：裂縫、滲漏水、道床脫空等)，給地鐵結(jié)構(gòu)的正常運(yùn)營(yíng)帶來了巨大隱患。

本區(qū)間自上而下地層依次為1-1填土層、3-1粘土層、3-3層淤泥質(zhì)粉質(zhì)粘土，3-4層淤泥質(zhì)粉質(zhì)粘土夾粉土、粉砂，3-5層粉質(zhì)粘土、粉土、粉砂互層，4-1層粉細(xì)砂，4-2層細(xì)砂。區(qū)間隧道主要穿越3-3層淤泥質(zhì)粉質(zhì)粘土，3-4層淤泥質(zhì)粉質(zhì)粘土夾粉土、粉砂，局部穿越承壓水層，承壓水主要位于3-5粉質(zhì)粘土、粉土、粉砂互層，4-1粉細(xì)砂層，4-2細(xì)砂層，水位標(biāo)高約為地面以下2.2～3.5 m。其土質(zhì)分布圖如圖1所示。

圖1 長(zhǎng)港路—漢口火車站區(qū)間土質(zhì)分布

此工程中，隧道管片在地表堆土荷載的作用下，出現(xiàn)了明顯的病害特征，如圖2，主要體現(xiàn)在：(1)隧道出現(xiàn)最大超過100 mm的凈空收斂。拱頂收斂-105 mm，水平收斂最大值為+91 mm，左線在ZDK3+900處(384環(huán))，右線在YDK3+900處(399環(huán))。(2)隧道出現(xiàn)了最大約為1‰的差異沉降。左線2016年3月以來沉降較明顯為ZDK3+680.505—ZDK3+945，隧道差異沉降最大區(qū)段為ZDK4+227—ZDK4+254.085，左線隧道最大差異沉降為0.98‰<1.6‰～2‰。右線2016年3月以來沉降較明顯為YDK3+714—YDK3+946，隧道差異沉降最大區(qū)段為YDK3+785—YDK3+819，右線隧道最大差異沉降為1.02‰<1.6‰～2‰。

圖2 堆載區(qū)運(yùn)營(yíng)地鐵病害情況

3 基于Copula函數(shù)和貝葉斯更新的地鐵運(yùn)營(yíng)安全時(shí)變可靠性分析

參考同濟(jì)大學(xué)黃宏偉教授對(duì)上海某地鐵區(qū)間突發(fā)堆載問題的研究成果[1,11,12]，選取凈空收斂(Convergence Deformadon，CD)和差異沉降(Differential Settlement，DS)作為評(píng)價(jià)地鐵結(jié)構(gòu)安全可靠性的指標(biāo)，并采用該堆載段監(jiān)測(cè)得到的凈空收斂和差異沉降數(shù)據(jù)作為構(gòu)建貝葉斯更新的Copula函數(shù)模型的數(shù)據(jù)來源。構(gòu)建兩變量參數(shù)的相依性模型時(shí)，參數(shù)的邊緣分布常常選用相同的分布函數(shù)類型，并用極大似然法來估計(jì)兩參數(shù)的相關(guān)系數(shù)。

3.1 最優(yōu)Copula函數(shù)參數(shù)相依性建模

(1)最優(yōu)邊緣分布擬合函數(shù)的識(shí)別和選擇

在Copula理論框架下構(gòu)造變量的聯(lián)合分布函數(shù)可以分兩步進(jìn)行：1)選擇估計(jì)變量的邊緣分布擬合函數(shù)；2)選擇識(shí)別最優(yōu)的Copula函數(shù)。為了較好地識(shí)別出最優(yōu)的邊緣分布函數(shù)，選取AIC和BIC準(zhǔn)則對(duì)監(jiān)測(cè)得到的收斂和沉降值進(jìn)行檢驗(yàn)，從而分析得出最優(yōu)的邊緣分布函數(shù)對(duì)原監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。表2給出了收斂和沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的各種統(tǒng)計(jì)量。

表2 監(jiān)測(cè)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量 mm

選用AIC和BIC準(zhǔn)則對(duì)備選邊緣函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)邊緣分布函數(shù)檢驗(yàn)，如表3。根據(jù)AIC和BIC準(zhǔn)則，AIC和BIC值最小的威布爾分布函數(shù)為最優(yōu)邊緣分布函數(shù)，從表中發(fā)現(xiàn)，Gamma分布的擬合效果與Weibull分布較為接近，其次是正態(tài)分布，而指數(shù)分布的擬合效果最差。

表3 AIC和BIC準(zhǔn)則的最優(yōu)邊緣分布函數(shù)檢驗(yàn)

(2)最優(yōu)Copula函數(shù)的識(shí)別和選擇

基于自動(dòng)化監(jiān)測(cè)系統(tǒng)采集的盾構(gòu)地鐵結(jié)構(gòu)左右線的凈空收斂(CD)和差異沉降(DS)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，左右線地鐵監(jiān)測(cè)截面的凈空收斂和差異沉降之間Peason及Kendall秩相關(guān)系數(shù)，采用Kendall秩相關(guān)系數(shù)能對(duì)Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行非參數(shù)估計(jì)，可得Clayton，Gaussian，Gumbel，F(xiàn)rank 等Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)，如表4所示。

計(jì)算左右線凈空收斂和差異沉降的不同Copula函數(shù)的AIC和BIC準(zhǔn)則計(jì)算值，并選擇具有最小AIC和BIC值的Copula函數(shù)作為擬合參數(shù)凈空收斂和差異沉降間相關(guān)結(jié)構(gòu)最優(yōu)的Copula函數(shù)，結(jié)果見表4。由表4可知，AIC和BIC計(jì)算值由小到大依次是Frank、Gumbel、Clayton和Gaussian Copula函數(shù)，F(xiàn)rank Copula函數(shù)具有最小的AIC和BIC值，是通過AIC和BIC準(zhǔn)則識(shí)別出來的最優(yōu)Copula函數(shù)。而Gaussian Copula函數(shù)的AIC和BIC準(zhǔn)則計(jì)算值較其他三個(gè)阿基米德族Copula函數(shù)計(jì)算值大很多，說明其擬合效果較差，表明左右線的凈空收斂值和差異沉降值呈現(xiàn)非正態(tài)的相依結(jié)構(gòu)。

表4 Copula函數(shù)相關(guān)參數(shù)計(jì)算結(jié)果

為更直觀比較不同Copula函數(shù)之間的差異，給出了四種不同的Copula函數(shù)的模擬結(jié)果，如圖3所示。

圖3 不同Copula函數(shù)模擬散點(diǎn)圖

3.2 二元Weibull分布的Frank模型時(shí)變更新

選取該堆載段監(jiān)測(cè)得到的CD和DS數(shù)據(jù)作為構(gòu)建貝葉斯更新的Copula函數(shù)模型的數(shù)據(jù)來源。首先以2016年4月1日—2016年5月30日的原始CD和DS監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，假設(shè)CD和DS分別屬于Weibull{λ1,κ1}和Weibull{λ2,κ2}分布。得到左線Weibull分布參數(shù)θ,λ1，λ2，κ1，κ2的均值，分別為θ=3.377，λ1=2.381，κ1=2.105，λ2=26.567，κ2=1.491，這些參數(shù)的先驗(yàn)分布統(tǒng)計(jì)值見表5所示。再分別采用Weibull和Gamma分布來擬合這些參數(shù)，得到其邊緣分布函數(shù)，發(fā)現(xiàn)Weibull分布的擬合效果較好，假定相依參數(shù)θ～N(μ,σ2)，參數(shù)λ1,λ2,κ1,κ2的先驗(yàn)分布為Weibull分布，同時(shí)假定它們之間相互獨(dú)立，即λi～Weibull(ai,bi)，κi～Weibull(ci,di)，i=1, 2。擬合得到超參數(shù)的取值，即a1=28.25，b1=56.12，a2=15.85，b2=83.25，c1=27.51，d1=52.28，c2=16.25，d2=86.57。

表5 參數(shù)的先驗(yàn)分布統(tǒng)計(jì)值

采用MCMC抽樣算法，產(chǎn)生5條Markov鏈，從Weibull邊緣分布函數(shù)以及參數(shù)θ=3.377的FrankCopula模型抽樣10000個(gè)樣本，對(duì)前5000個(gè)樣本進(jìn)行“舍棄”，利用每條鏈的后5000個(gè)抽樣樣本進(jìn)行模擬分析，圖4為MCMC抽樣第1和第5條鏈參數(shù)的后驗(yàn)密度圖。

圖4 各參數(shù)的后驗(yàn)概率密度圖

圖4中分別采用Weibull和Gamma分布函數(shù)進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)Weibull分布的擬合效果更好，這樣驗(yàn)證了選用Weibull分布作為擬合各參數(shù)的準(zhǔn)確性和合理性。對(duì)比第1條鏈和第5條鏈各參數(shù)的后驗(yàn)概率密度圖發(fā)現(xiàn)，兩條MCMC仿真得出的數(shù)據(jù)相似度較高，表明本文構(gòu)建的MCMC仿真的收斂性和穩(wěn)定性。圖5給出第1和5條鏈各參數(shù)的動(dòng)態(tài)軌跡圖，發(fā)現(xiàn)除去較少的奇異點(diǎn)外，Markov鏈數(shù)據(jù)基本平穩(wěn)，且兩條鏈上各參數(shù)的取值大致相同。從這兩條鏈的迭代軌跡圖可知，迭代的Markov鏈?zhǔn)諗浚琈CMC仿真過程是平穩(wěn)的。

圖5 各參數(shù)的動(dòng)態(tài)軌跡

通過“退火”舍棄5000樣本量，從5條鏈的動(dòng)態(tài)軌跡圖可以知道每條鏈?zhǔn)諗浚瑢?duì)每條鏈的后5000個(gè)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得出參數(shù)估計(jì)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和95%的置信區(qū)間如表6所示。對(duì)比表5，6可知，參數(shù)先驗(yàn)分布和后驗(yàn)分布的均值大致相同，但后驗(yàn)分布的參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差小于先驗(yàn)分布標(biāo)準(zhǔn)差，θ的標(biāo)準(zhǔn)差從0.034減少到0.029，減少14.7%；λ1的標(biāo)準(zhǔn)差從0.028減少到0.021，減少25.0%；κ1的標(biāo)準(zhǔn)差從0.029減少到0.022，減少24.1%；λ2的標(biāo)準(zhǔn)差從0.310減少到0.256，減少17.4%；κ2的標(biāo)準(zhǔn)差從0.022減少到0.018，減少18.2%，說明模型參數(shù)經(jīng)過貝葉斯更新后，參數(shù)的不確定性降低。

表6 模型參數(shù)貝葉斯更新參數(shù)后驗(yàn)分布統(tǒng)計(jì)值

4 地鐵運(yùn)營(yíng)安全可靠性分析

以上詳細(xì)的介紹了基于Copula函數(shù)和參數(shù)貝葉斯更新的凈空收斂(CD)和差異沉降(DS)二元離散時(shí)變相依模型構(gòu)建過程，為驗(yàn)證該模型的準(zhǔn)確性和實(shí)用性，將該模型運(yùn)用于武漢地鐵長(zhǎng)港路—漢口火車站堆載區(qū)間的安全可靠性評(píng)價(jià)上，擬用該模型精確評(píng)估盾構(gòu)地鐵區(qū)間的安全狀態(tài)，并用該結(jié)果指導(dǎo)運(yùn)營(yíng)地鐵的安全管控。

4.1 基于可靠度理論的運(yùn)營(yíng)安全控制

確定盾構(gòu)地鐵結(jié)構(gòu)的風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)水平，有助于對(duì)運(yùn)營(yíng)盾構(gòu)地鐵結(jié)構(gòu)的安全進(jìn)行管控。本文將系統(tǒng)的失效概率作為判斷建筑風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)的基礎(chǔ)，為研究盾構(gòu)地鐵結(jié)構(gòu)的安全可靠性，采用蒙特卡洛模擬法確定系統(tǒng)的失效概率，計(jì)算公式為：

(15)

國(guó)內(nèi)外的“可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)”[13, 14]，均給出與結(jié)構(gòu)安全等級(jí)對(duì)應(yīng)的最小目標(biāo)可靠性指標(biāo)。在結(jié)構(gòu)完成設(shè)計(jì)后，結(jié)構(gòu)的最小目標(biāo)可靠性指標(biāo)往往被用于結(jié)構(gòu)的安全性校核，若設(shè)計(jì)出的結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)大于與設(shè)計(jì)安全等級(jí)對(duì)應(yīng)的最小目標(biāo)可靠性指標(biāo)，便可認(rèn)為該結(jié)構(gòu)滿足安全性要求。本文提出承載能力極限狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的可靠性指標(biāo)值，如表7所示。

表7 可靠度指標(biāo)β的地鐵隧道安全分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)

本文綜合分析了以上各個(gè)規(guī)范的規(guī)定，提出了根據(jù)結(jié)構(gòu)安全可靠度指標(biāo)β的地鐵隧道安全等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)(見表7)。其運(yùn)用思路如下：首先得出基于正常使用極限狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的失效概率，其次得出地鐵隧道安全可靠度指標(biāo)β，再次利用表7得到此時(shí)地鐵隧道所處的安全等級(jí)，最后得出地鐵運(yùn)營(yíng)時(shí)所需保護(hù)措施。

4.2 盾構(gòu)地鐵運(yùn)營(yíng)安全可靠度對(duì)比分析

受到周圍多源不確定性環(huán)境因素的影響，地鐵結(jié)構(gòu)通常存在一定的變形響應(yīng)，而一些變形指標(biāo)經(jīng)常被作為關(guān)鍵性能指標(biāo)(Key Performance Indicators，KPIs)用于評(píng)判盾構(gòu)地鐵結(jié)構(gòu)的安全服役狀態(tài)，采用凈空收斂和差異沉降作為盾構(gòu)地鐵運(yùn)營(yíng)安全可靠性分析的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

利用2016年4月1日的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，若不考慮參數(shù)的相依性構(gòu)建100000組數(shù)據(jù)的凈空收斂(CD)和差異沉降(DS)散點(diǎn)圖如圖6所示，可見參數(shù)獨(dú)立時(shí)CD和DS的分布非常離散，均勻的分布在坐標(biāo)系內(nèi)。同時(shí)，利用Copula理論構(gòu)建了CD和DS的二元聯(lián)合分布模型，利用蒙特卡洛法能夠得到100000組數(shù)據(jù)點(diǎn)，用于盾構(gòu)地鐵運(yùn)營(yíng)安全的可靠性分析，如圖7所示。從圖6，7可知，利用Copula函數(shù)構(gòu)建的相依性模型生成的散點(diǎn)較獨(dú)立時(shí)更加集中，且不同Copula相依模型有不同的聚集特征，表征了不同的參數(shù)相依特性。

圖6 參數(shù)獨(dú)立時(shí)左右線CD和DS散點(diǎn)圖

圖7 左線不同Copula函數(shù)模擬CD和DS散點(diǎn)圖

為比較直觀地觀察系統(tǒng)的失效區(qū)域，圖6， 7給出了系統(tǒng)安全區(qū)域示意圖，處在該區(qū)域外的散點(diǎn)為失效點(diǎn)。根據(jù)蒙特卡洛法基本原理，系統(tǒng)的失效概率值為處于安全區(qū)域外散點(diǎn)占全部散點(diǎn)的比例值。對(duì)比圖6，7發(fā)現(xiàn)，Copula相依性模型改變了散點(diǎn)的分布規(guī)律，從而影響了系統(tǒng)的失效概率和可靠度。事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)的參數(shù)之間存在一定的相依關(guān)系，意味著傳統(tǒng)的參數(shù)獨(dú)立模型計(jì)算可靠度結(jié)果的不準(zhǔn)確性，表明了利用所采用的相依性模型能夠提高系統(tǒng)可靠性計(jì)算的精度。

在2016年4月1日監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用可靠度理論可以利用各Copula函數(shù)構(gòu)建的相依性模型，得出系統(tǒng)的pf如表8所示。由表8可知，不同的Copula函數(shù)計(jì)算得到的pf不同，以盾構(gòu)地鐵左線為例，pf最大的是Gaussian Copula為0.02688，其次是Gumbel和Frank Copula為0.02484，0.02466，Clayton Copula的失效概率值最小為0.02180，最大值(Gaussian Copula)和最小值(Clayton Copula)之間相差23.3%，表明不同的Copula函數(shù)相依模型的計(jì)算結(jié)果可能相差較大。由于經(jīng)AIC和BIC準(zhǔn)則判斷出最優(yōu)Copula函數(shù)是Frank Copula函數(shù)，故而選取Frank Copula函數(shù)的計(jì)算結(jié)果為最終得到的失效概率結(jié)果。對(duì)比Frank Copula相依性模型和相互獨(dú)立時(shí)計(jì)算得出的pf發(fā)現(xiàn)，兩者差值為0.01126，相差45.6%，表明利用相依性建模的結(jié)果與參數(shù)獨(dú)立的情況相差非常大，進(jìn)一步驗(yàn)證了利用相依性建模的準(zhǔn)確性和必要性。

表8 不同Copula模型及相互獨(dú)立下地鐵結(jié)構(gòu)的pf %

利用失效概率pf可以得到系統(tǒng)的可靠度指標(biāo)β見表9，從表9可知，該區(qū)段左右線盾構(gòu)地鐵的β值皆小于2.3，2016年4月1日，該區(qū)段的地鐵左右線區(qū)間均處于IV級(jí)風(fēng)險(xiǎn)，需制定運(yùn)營(yíng)風(fēng)險(xiǎn)控制專項(xiàng)研究方案，嚴(yán)密監(jiān)測(cè)地鐵運(yùn)營(yíng)的安全狀態(tài)。

表9 不同的Copula模型及相互獨(dú)立下地鐵結(jié)構(gòu)的β

4.3 基于貝葉斯-Copula模型的可靠度

2016年4月14日下午—2016年4月20日進(jìn)行地面卸土，同時(shí)中鐵隧道院進(jìn)行隧道內(nèi)監(jiān)測(cè)，武漢路源工程質(zhì)量檢測(cè)有限公司進(jìn)行裂縫檢測(cè)。于4月14日起，開始采用加固措施：(1)借鑒武漢地鐵4號(hào)線一期洪—漢區(qū)間隧道內(nèi)裂縫處理的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)收斂小于7 cm且裂縫寬度大于0.2 mm的管片，對(duì)于隧道頂開裂的管片分塊，首先采用環(huán)氧漿液壓力注漿封閉裂紋，然后采用粘貼芳綸布處理；(2)借鑒武漢地鐵盾構(gòu)施工期間受損管片加固補(bǔ)強(qiáng)措施，對(duì)于收斂大于等于7 cm且裂縫寬度大于0.2 mm的管片，首先采用環(huán)氧漿液壓力注漿封閉裂紋，然后在隧道內(nèi)內(nèi)襯鋼圈進(jìn)行加固處理。

在2016年4月1日—2016年4月30日監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，利用各Copula函數(shù)構(gòu)建二元離散時(shí)變相依模型，分別得出的左右線盾構(gòu)地鐵結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)β值，如圖8所示。從圖8可以明顯地觀察到采用不同相依模型的區(qū)別，參數(shù)獨(dú)立時(shí)的β計(jì)算值明顯小于采用Copula函數(shù)構(gòu)建的模型，各模型計(jì)算的可靠度指標(biāo)之間的差異值比較穩(wěn)定，表明本文構(gòu)建的相依模型的穩(wěn)健性。

圖8 盾構(gòu)地鐵左右線可靠度指標(biāo)β計(jì)算值

由圖8可知，在采用加固措施前，地鐵的安全等級(jí)為IV，采取措施后地鐵的可靠度指標(biāo)值急劇增加，以Frank Copula的計(jì)算值為判斷依據(jù)發(fā)現(xiàn)，左右線地鐵分別于4月21日和4月19日達(dá)到安全等級(jí)II，表明了加固措施的有效性。該結(jié)論也說明了利用本文構(gòu)建的二元離散時(shí)變相依模型，能夠較為敏感地捕捉到盾構(gòu)地鐵結(jié)構(gòu)安全性的變化規(guī)律，驗(yàn)證了該模型的精確性和實(shí)用性。

5 結(jié) 論

Copula相依性建模理論能夠準(zhǔn)確描述參數(shù)之間的相關(guān)性的特點(diǎn)，并結(jié)合貝葉斯更新技術(shù)能夠體現(xiàn)時(shí)變效應(yīng)對(duì)模型的影響特征，基于此提出了基于Copula函數(shù)和參數(shù)貝葉斯更新的凈空收斂(CD)和差異沉降(DS)二元離散時(shí)變相依模型構(gòu)建過程，以武漢地鐵2號(hào)線某段區(qū)間為工程背景，驗(yàn)證了該模型的準(zhǔn)確性和實(shí)用性，得到以下結(jié)論：

(1)基于左右線凈空收斂和差異沉降原始監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，利用四種不同的Copula函數(shù)構(gòu)建凈空收斂值和差異沉降值的聯(lián)合分布函數(shù)，并識(shí)別出差異沉降(DS)和凈空收斂(CD)的最優(yōu)邊緣分布類型是Weibull分布，兩參數(shù)的最優(yōu)Copula函數(shù)是Frank Copula函數(shù)。

(2)對(duì)比Frank Copula相依性模型和相互獨(dú)立時(shí)計(jì)算得出的失效概率pf發(fā)現(xiàn)，兩者差值為0.01126，相差45.6%，表明利用相依性建模的結(jié)果與參數(shù)獨(dú)立的情況相差非常大，進(jìn)一步驗(yàn)證了利用相依性建模的準(zhǔn)確性和必要性。

(3)詳細(xì)介紹了基于Copula函數(shù)和參數(shù)貝葉斯更新的凈空收斂(CD)和差異沉降(DS)二元離散時(shí)變相依模型構(gòu)建過程，并進(jìn)一步研究使用該模型進(jìn)行地鐵運(yùn)營(yíng)安全的可靠性分析。得到采用不同相依模型的區(qū)別，參數(shù)獨(dú)立時(shí)的β計(jì)算值明顯小于采用Copula函數(shù)構(gòu)建的模型，各模型計(jì)算的可靠度指標(biāo)之間的差異值比較穩(wěn)定，表明了構(gòu)建的相依模型的穩(wěn)健性。而且能夠較為敏感地捕捉到盾構(gòu)地鐵結(jié)構(gòu)安全性的變化規(guī)律，驗(yàn)證了該模型的精確性和實(shí)用性。