基于數(shù)字非線性鎖相環(huán)的相干態(tài)相位估計(jì)*

徐涵 陳樹(shù)新 吳昊 陳坤 洪磊

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院, 西安 710077)

(2018 年8 月28日收到; 2018 年9 月29日收到修改稿)

基于量子理論獲取相位參數(shù)的導(dǎo)航機(jī)制, 理論上可以突破經(jīng)典物理極限對(duì)導(dǎo)航精度的限制. 利用量子零拍探測(cè)對(duì)相干態(tài)光場(chǎng)相位進(jìn)行測(cè)量時(shí), 通常需要相位與之正交的本振光才能使測(cè)量精度達(dá)到量子標(biāo)準(zhǔn)極限.由于導(dǎo)航信號(hào)相位的高非線性特點(diǎn), 想要利用傳統(tǒng)的線性鎖相環(huán)獲取完全滿足條件的本振光具有一定的難度. 為此, 本文設(shè)計(jì)了一種基于容積準(zhǔn)則的非線性鎖相環(huán), 實(shí)現(xiàn)了在非正交本振光的條件下對(duì)相干態(tài)相位進(jìn)行精確測(cè)量的功能. 首先, 利用相干態(tài)的Wigner函數(shù)推導(dǎo)了其相位在量子零拍探測(cè)的輸出結(jié)果, 設(shè)計(jì)了量子相位估計(jì)的非線性數(shù)字鎖相環(huán)框架. 然后基于正交單純形容積準(zhǔn)則設(shè)計(jì)了非線性濾波算法實(shí)現(xiàn)鎖相環(huán)功能,該鎖相環(huán)通過(guò)對(duì)本振相位進(jìn)行多次狀態(tài)更新, 最終實(shí)現(xiàn)非線性迭代估計(jì). 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 本文方法突破了本振光相位需與相干態(tài)相位正交的局限性, 避免了傳統(tǒng)量子鎖相環(huán)方法引入的線性化誤差, 實(shí)現(xiàn)了對(duì)相干態(tài)相位的準(zhǔn)確、穩(wěn)定估計(jì).

1 引 言

相位估計(jì)是導(dǎo)航控制、圖像處理、大氣波導(dǎo)、混沌通信等領(lǐng)域的關(guān)鍵問(wèn)題之一[1-4]. 例如, 在測(cè)角定位系統(tǒng)中, 對(duì)相位信息估計(jì)的精確度直接決定了波達(dá)角等參數(shù)獲取的精度. 然而, 經(jīng)典相位的精度在理論上有不可逾越的界限, 成為制約各類參數(shù)獲取精度的瓶頸.

近年來(lái), 隨著量子技術(shù)的發(fā)展, 尤其是對(duì)連續(xù)變量量子相位測(cè)量的研究, 利用相干態(tài)相位信息獲取相關(guān)參數(shù), 有望獲得超越經(jīng)典理論極限的精度[5-7].目前, 已有研究通常是將相干態(tài)通過(guò)量子零拍探測(cè)器, 并建立基于相干態(tài)光場(chǎng)強(qiáng)度與其相位相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)關(guān)系來(lái)進(jìn)行相位估計(jì)[8,9], 這能夠有效提高相位估計(jì)精度[10,11]. Wiseman[12]提出量子反饋測(cè)量方案, 即對(duì)量子零拍探測(cè)器的本振相位進(jìn)行反饋控制, 從而實(shí)現(xiàn)近似正則測(cè)量, 并得到了驗(yàn)證[13].隨后, Berry等[14]提出了相干態(tài)光場(chǎng)和壓縮態(tài)光場(chǎng)連續(xù)變化相位的自適應(yīng)測(cè)量跟蹤方法, 證明了在相位跟蹤中反饋測(cè)量?jī)?yōu)于非反饋測(cè)量. Tsang等[15]設(shè)計(jì)了自適應(yīng)零拍線性鎖相環(huán)對(duì)實(shí)時(shí)相位和瞬時(shí)頻率進(jìn)行測(cè)量, 并且在此基礎(chǔ)上將非線性方程進(jìn)行一階泰勒展開(kāi), 利用卡爾曼-布什濾波實(shí)現(xiàn)了相位的實(shí)時(shí)跟蹤[16,17]. 上述方法均是在本振光相位與待測(cè)光場(chǎng)相位正交的前提下能夠達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)量子極限, 如果信號(hào)為相位壓縮態(tài)光場(chǎng), 其相位測(cè)試精度能夠突破標(biāo)準(zhǔn)量子極限. 然而對(duì)于導(dǎo)航信號(hào)來(lái)說(shuō), 相干態(tài)相位是未知的, 即使利用自適應(yīng)鎖相環(huán)對(duì)本振相位進(jìn)行調(diào)整, 也并不能保證本振相位與相干態(tài)相位完全正交, 因此利用上述方法進(jìn)行線性化處理時(shí), 雖然能簡(jiǎn)化相位估計(jì)過(guò)程, 但也會(huì)不可避免地引入線性化誤差, 并且在調(diào)整本振相位時(shí)帶來(lái)了時(shí)延, 難以保證波達(dá)角等參數(shù)的實(shí)時(shí)獲取, 這對(duì)于導(dǎo)航系統(tǒng)來(lái)說(shuō)顯然不合理.

為此, 本文在傳統(tǒng)自適應(yīng)反饋線性化連續(xù)鎖相環(huán)的基礎(chǔ)上, 設(shè)計(jì)了一種基于正交單純形容積卡爾曼濾波的數(shù)字非線性鎖相環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)相干態(tài)相位的精確估計(jì). 首先分析相干態(tài)相位的量子零拍探測(cè)輸出模型, 然后利用AD變換將測(cè)量信息進(jìn)行數(shù)字化處理, 再引入數(shù)據(jù)處理模塊, 得到相位估計(jì)的數(shù)字鎖相環(huán)框架. 設(shè)計(jì)數(shù)字鎖相環(huán)的原因在于: 一是導(dǎo)航領(lǐng)域中所需的各類參數(shù)信息不一定是連續(xù)的, 因而無(wú)需估計(jì)連續(xù)的相位信息; 二是進(jìn)行數(shù)字化更利于鎖相環(huán)的實(shí)現(xiàn)與算法迭代; 三是可以避免連續(xù)數(shù)據(jù)隱藏的缺陷對(duì)模型的影響, 使模型更加穩(wěn)定. 數(shù)據(jù)處理中, 為避免線性化誤差, 采用基于容積準(zhǔn)則[18,19]的非線性濾波算法. 在標(biāo)準(zhǔn)容積準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上, 利用正則單純形[20]來(lái)構(gòu)建容積公式, 提高后驗(yàn)密度的數(shù)值積分精度; 然后根據(jù)考慮非線性對(duì)濾波的影響, 進(jìn)一步利用正交矩陣將單純形容積點(diǎn)進(jìn)行變換, 調(diào)整非線性高階項(xiàng)的影響, 從而避免局部采樣效應(yīng), 得到正交單純形容積卡爾曼濾波(OSCKF).一方面, 上述方法避免了因本振光相位與信號(hào)相位無(wú)法完全正交引起的誤差, 更易于處理且穩(wěn)定性更好; 另一方面, OSCKF能夠有效避免各類誤差, 提高量子相位估計(jì)精度.

2 非線性量子鎖相環(huán)設(shè)計(jì)

2.1 量子零拍測(cè)相

本文利用Wigner函數(shù)推導(dǎo)相干態(tài)相位在量子零拍探測(cè)的輸出模型. 為了得到相干態(tài)的Wigner函數(shù), 先分析真空態(tài)的Wigner函數(shù). 定義正交分量場(chǎng)式中,a與a+分別是光子湮滅算符與光子產(chǎn)生算符. 由不確定度原理知,x和y的標(biāo)準(zhǔn)偏差滿足

記真空態(tài)的正交分量分別為x0和y0, 則其Wigner函數(shù)可表示為

從(1)式可以看出,x0和y0的方差均為標(biāo)準(zhǔn)偏差可見(jiàn)真空態(tài)是最小不確定度態(tài). 具有平均相位φ的相干態(tài) |α〉 在相空間中可通過(guò)沿相位調(diào)制x0方向平移真空態(tài)得到, 其Wigner函數(shù)具體可以寫(xiě)為:

則零拍輸出η可寫(xiě)為

由此, 將(7)式進(jìn)行線性近似可以得到

如果本振相位φf(shuō)與相干態(tài)相位φ較為接近, 則該假設(shè)成立, 利用上述線性化模型進(jìn)行相位估計(jì)能夠得到較好的結(jié)果. 然而對(duì)于導(dǎo)航系統(tǒng)來(lái)說(shuō), 目標(biāo)的位置并不確定, 也就是說(shuō)難以找到相干態(tài)相位φ的準(zhǔn)確大小. 因此無(wú)法保證本振相位φf(shuō)與相位φ滿足上述假設(shè)條件. 如果本振相位與相干態(tài)相位相差過(guò)大, 則會(huì)引入較大的線性化誤差, 甚至導(dǎo)致相位估計(jì)失敗.

2.2 非線性數(shù)字鎖相環(huán)設(shè)計(jì)

在量子零拍探測(cè)基礎(chǔ)上, 本節(jié)建立非線性鎖相環(huán)框架, 與傳統(tǒng)線性鎖相環(huán)不同的是, 這里采用AD變換引入非線性數(shù)據(jù)處理方法. 該鎖相環(huán)能夠突破傳統(tǒng)方法中本振相位需要接近相干態(tài)相位的限制要求, 并避免線性化帶來(lái)的誤差, 進(jìn)而實(shí)現(xiàn)相位的精確估計(jì).

本文將非線性鎖相環(huán)進(jìn)行離散化的原因在于:在導(dǎo)航系統(tǒng)中, 對(duì)各類參數(shù)的需求不一定連續(xù), 得到的量測(cè)信息通常也是離散的, 因此通過(guò)AD采樣得到足夠的量測(cè)信息, 即可通過(guò)估計(jì)的手段得到所需參數(shù). 離散化還可以將數(shù)據(jù)中隱藏的缺陷得以解決, 使模型結(jié)果更加穩(wěn)定. 例如, 數(shù)據(jù)中的極端值是影響模型效果的一個(gè)重要因素. 極端值導(dǎo)致模型參數(shù)過(guò)高或過(guò)低, 或?qū)е履Ｐ捅惶摷佻F(xiàn)象“迷惑”,把原來(lái)不存在的關(guān)系作為重要模式來(lái)處理[21]. 而離散化處理可以有效地減弱極端值和異常值的影響.此外, 離散化還有利于數(shù)值計(jì)算與算法迭代, 增強(qiáng)了物理可實(shí)現(xiàn)性.

設(shè)計(jì)的鎖相環(huán)模型如圖1所示. 由真空態(tài)進(jìn)行平移和相位調(diào)制得到相干態(tài), 其中D(|α|) 表示位移算符, e xp(iφ) 表示相位調(diào)制, 然后將相干態(tài)通過(guò)初始本振相位為φ的量子零拍探測(cè)器得到輸出η, 接著進(jìn)行AD采樣, 將所得數(shù)據(jù)送入數(shù)據(jù)處理模塊(SP)中, 在數(shù)據(jù)處理后將更新的本振相位反饋給量子零拍探測(cè)器, 再重復(fù)此過(guò)程, 最終能夠得到更為精確的估計(jì)結(jié)果.

圖1 數(shù)字零拍鎖相環(huán)Fig.1. Digital homodyne phase-lock loop.

在所得鎖相環(huán)框架的基礎(chǔ)上, 在SP模塊設(shè)計(jì)一種針對(duì)非線性模型的算法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理, 從而實(shí)現(xiàn)鎖相環(huán)對(duì)相干態(tài)相位估計(jì)的功能. 因此, 所設(shè)計(jì)算法的好壞也會(huì)影響鎖相環(huán)的相位估計(jì)性能.

3 基于正交單純形容積準(zhǔn)則的量子相位估計(jì)算法

得到數(shù)字零拍鎖相環(huán)框架后, 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為將零拍數(shù)據(jù)離散化, 進(jìn)而利用SP模塊實(shí)現(xiàn)相干態(tài)相位估計(jì). 對(duì)于離散非線性估計(jì)問(wèn)題, 通常將非線性模型線性化, 并采用擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF), 然而從(9)式可知, 量測(cè)模型是三角函數(shù), 其非線性程度較高, 因此采用EKF會(huì)違背局部線性假設(shè), 從而造成較大的線性化誤差, 甚至導(dǎo)致濾波發(fā)散. 為此, 這里引入正交單純形容積卡爾曼濾波(OSCKF)方法, 利用正交單純形三階球面徑向容積準(zhǔn)則, 計(jì)算相位信息對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)密度, 從而在不進(jìn)行非線性模型泰勒展開(kāi)、不引入線性化誤差的前提下實(shí)現(xiàn)對(duì)相位φ的精確實(shí)時(shí)估計(jì).

3.1 系統(tǒng)模型和容積卡爾曼濾波框架

在SP模塊中, 分別建立狀態(tài)方程和量測(cè)方程為

其中狀態(tài)向量φk為k時(shí)刻的相位信息, 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣F=1 , 這里假定不含過(guò)程噪聲, 即vk=0 . 量測(cè)方程中,ηk是k時(shí)刻量子零拍探測(cè)的量測(cè)值為量測(cè)噪聲, 服從均值為零的高斯白噪聲.

CKF利用三階球面徑向容積準(zhǔn)則進(jìn)行數(shù)值積分, 從而近似后驗(yàn)密度對(duì)應(yīng)的高維積分[22]. 其容積點(diǎn)可表示為其中Inφ為nφ維 單 位 矩 陣 ,代 表 矩 陣的 第j列 ,j=1,2,···,2nφ. 在本問(wèn)題中, 濾波過(guò)程如下.

1) 時(shí)間更新

2) 測(cè)量更新

對(duì)Pk|k-1 進(jìn)行柯西分解得到容積點(diǎn)φj,k|k-1

3) 根據(jù)觀測(cè)方程傳播容積點(diǎn)

狀態(tài)向量更新為

協(xié)方差矩陣更新為

3.2 正交單純形容積卡爾曼濾波

考慮nφ維正則單純形, 可建立三階球面單純形容積準(zhǔn)則[22], 其容積點(diǎn)可表示為

其中

為進(jìn)一步提高濾波精度, 需要分析非線性對(duì)濾波的影響. 無(wú)跡卡爾曼濾波 (UKF)中, 尺度因子可以用來(lái)調(diào)節(jié)非線性對(duì)濾波的影響, 而基于容積準(zhǔn)則的濾波方法沒(méi)有相應(yīng)的可調(diào)參數(shù), 且容積點(diǎn)對(duì)稱而無(wú)中心點(diǎn), 這樣均值估計(jì)與容積點(diǎn)之間有一定距離, 容易導(dǎo)致非局部采樣效應(yīng)[23], 進(jìn)而影響濾波精度.

事實(shí)上, 假設(shè)A為正交矩陣, 則將容積采樣點(diǎn)進(jìn)行正交變換后, 其仍然符合數(shù)值積分公式. 也就是說(shuō), 可以利用正交變換來(lái)調(diào)節(jié)高階項(xiàng)對(duì)濾波的影響. 于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為構(gòu)建合適的正交矩陣, 使得變換后的單純形容積點(diǎn)能夠有效降低高階干擾項(xiàng)對(duì)濾波的影響.

構(gòu)建nφ ×nφ正交矩陣, 其中

將單純形容積點(diǎn)列利用正交矩陣 進(jìn)行變換,得到正交單純形容積點(diǎn)

這樣, 就能利用正交變換來(lái)減小非線性影響程度, 從而提高濾波精度. 將(25)式中新的容積點(diǎn)及其權(quán)重代入(12)—(21)式中, 即可得到OSCKF算法.

根據(jù)圖1和(12)—(21)式, 得到完整的基于量子相位測(cè)量的非線性鎖相環(huán)結(jié)構(gòu), 如圖2所示.

圖2 基于OSCKF算法的量子非線性數(shù)字鎖相環(huán)Fig.2. Digital quantum nonlinear phase-lock loop based on OSCKF algorithm.

如圖2所示, 首先輸入一個(gè)本振相位, 通過(guò)OSCKF算法迭代解算出相干態(tài)相位然后將本振相位設(shè)為再解算相干態(tài)相位不斷重復(fù)該過(guò)程, 本振相位將會(huì)逐漸逼近相干態(tài)相位, 從而實(shí)現(xiàn)鎖相環(huán)的功能. 需要強(qiáng)調(diào)的是, 該方法并沒(méi)有要求本振相位初始值接近相干態(tài)相位, 也能實(shí)現(xiàn)相干態(tài)相位的精確估計(jì).

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

由于相干態(tài)經(jīng)過(guò)零拍探測(cè)后可看作是經(jīng)典信號(hào)加上高斯噪聲[16], 且主要考察鎖相環(huán)的有效性,為此, 在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證過(guò)程中, 將采用直接模擬經(jīng)過(guò)零拍后的經(jīng)典信號(hào), 取代構(gòu)建真實(shí)物理實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的方法. 假設(shè)系統(tǒng)中相干態(tài)平均相位量測(cè)噪聲服從均值為0, 方差的高斯分布. 則當(dāng)初始本振相位φ=0 時(shí), 連續(xù)對(duì)1000個(gè)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察, 由(9)式可得零拍數(shù)據(jù), 如圖3所示, 圖中測(cè)量值的抖動(dòng)是由于噪聲即真空波動(dòng)引起的.

圖3 零拍數(shù)據(jù)示意圖Fig.3. Homodyne data schematic diagram.

為了驗(yàn)證所提方法即使在不滿足初始本振相位接近相干態(tài)相位的條件下, 也能精確估計(jì)相干態(tài)相位, 分別設(shè)置7個(gè)不同的初始本振相位進(jìn)行實(shí)驗(yàn), 每次實(shí)驗(yàn)仿真次數(shù)為200次, 取每次仿真第100次本振相位更新值作為最終相干態(tài)相位估計(jì)值, 計(jì)算200次仿真結(jié)果的平均誤差為

其中L為實(shí)驗(yàn)仿真次數(shù),為每次實(shí)驗(yàn)第100次迭代后的估計(jì)值. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示.

圖4 不同初始本振相位下所提方法的性能Fig.4. Performance comparison of phase-locked loop in different local oscillator phase.

如圖4所示, 在其他條件相同的情況下, 不同初始本振相位下的相位估計(jì)結(jié)果相差并不大, 其中最高平均誤差和最低平均誤差只相差0.0016, 這說(shuō)明所提方法的相位估計(jì)精度并沒(méi)有受到初始本振相位設(shè)置的影響, 突破了傳統(tǒng)自適應(yīng)反饋量子相位測(cè)量需要保證本振相位和真實(shí)相位相差不大的限制.

為驗(yàn)證基于OSCKF算法的數(shù)字非線性鎖相環(huán)的精確性, 利用EKF以及CKF算法實(shí)現(xiàn)鎖相環(huán)相位估計(jì), 并將結(jié)果進(jìn)行對(duì)比. 定義平均均方根誤差為

為保證比較的合理性, 假定各算法的初始條件相同, 將Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)仿真次數(shù)L和每次實(shí)驗(yàn)迭代次數(shù)k設(shè)為100次.令初始協(xié)方差P=2 , 本振相位φ=0 . 各算法的收斂曲線如圖5所示.

圖5 各算法誤差收斂曲線Fig.5. Convergence curve of various algorithms.

從圖5可以看出, 隨著迭代次數(shù)的增加, 所有算法的相位估計(jì)誤差都趨于收斂. 其中 EKF將非線性模型線性化, 雖然處理方式簡(jiǎn)單, 但會(huì)引入較大的線性化誤差, 因此收斂速度和最終精度均低于基于容積準(zhǔn)則的方法, 而OSCKF算法由于引入了單純形容積準(zhǔn)則, 且利用正交變換進(jìn)一步調(diào)節(jié)了非線性對(duì)濾波的影響, 因此比傳統(tǒng)CKF算法精度更高. 此外, 從仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn), 采用EKF進(jìn)行相位估計(jì)結(jié)果容易發(fā)散, 這說(shuō)明EKF方法穩(wěn)定性較差.本文所提方法穩(wěn)定性相對(duì)更好, 且能更快收斂, 與EKF方法相比, 平均誤差降低了60%. 此外, 本文的狀態(tài)模型是線性的, 而所設(shè)計(jì)的鎖相環(huán)對(duì)于高非線性狀態(tài)模型, 尤其是導(dǎo)航中的高非線性運(yùn)動(dòng)狀態(tài), 有望獲得更好的效果. 因此, 設(shè)計(jì)非線性數(shù)字鎖相環(huán), 并采用正交單純形容積準(zhǔn)則, 不僅能夠突破本振相位需要接近相干態(tài)相位的限制要求, 更能有效避免線性化誤差, 提高相干態(tài)相位估計(jì)精度.

5 結(jié) 論

在利用量子零拍探測(cè)對(duì)相干態(tài)相位進(jìn)行估計(jì)時(shí), 對(duì)本振相位和相干態(tài)相位有嚴(yán)格限制要求. 如果本振相位不滿足接近相干態(tài)相位的假設(shè)條件, 則非線性測(cè)量模型在進(jìn)行線性化時(shí)會(huì)造成較大的誤差. 針對(duì)該問(wèn)題, 設(shè)計(jì)了一種數(shù)字非線性鎖相環(huán),并提出OSCKF算法實(shí)現(xiàn)了鎖相功能. OSCKF算法利用球面徑向容積準(zhǔn)則做數(shù)值計(jì)算近似高維積分, 可以有效避免模型線性化帶來(lái)的誤差, 同時(shí)減小了由于量測(cè)模型的高非線性帶來(lái)的局部采樣效應(yīng)對(duì)精度的影響. 從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出該鎖相環(huán)算法利用不滿足假設(shè)條件的本振相位也能得到相干態(tài)相位, 且數(shù)值穩(wěn)定, 誤差更小, 能夠?qū)崿F(xiàn)相干態(tài)相位的精確估計(jì), 實(shí)用性更好. 下一步, 將在此鎖相環(huán)精確估計(jì)的基礎(chǔ)上, 實(shí)現(xiàn)對(duì)連續(xù)變化量子相位的精確跟蹤, 并對(duì)噪聲為非高斯的情況做進(jìn)一步的研究.