基于多凸優(yōu)化的稀疏線性陣列綜合方法

祁崢東，盧陽沂，孔 玥 ，劉 晨

(1. 中國船舶重工集團(tuán)公司第七二四研究所，南京 211153；2. 南京大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210046 )

0 引 言

陣列天線方向圖綜合的研究目標(biāo)是使天線陣列結(jié)構(gòu)簡化，同時發(fā)揮波束易掃描、低副瓣電平及高方向性等性能優(yōu)點，因此在聲吶、衛(wèi)星通信、雷達(dá)、超聲成像等工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。目前, 陣列天線綜合技術(shù)已成為現(xiàn)代電子領(lǐng)域特別是雷達(dá)設(shè)計中一個十分重要的研究方向。[1-3]陣列綜合屬于非線性問題。在早期研究方法中，均勻間隔陣列由于加工簡單便于實際實現(xiàn)、數(shù)學(xué)模型中變量少、易于計算等特點而得到了廣泛的應(yīng)用。但是，它存在以下明顯缺點: (1)當(dāng)陣元間距大于波長的一半時，掃描時波束柵瓣容易出現(xiàn)，而陣元間距排布小于半波長時會導(dǎo)致陣元間嚴(yán)重互耦現(xiàn)象; (2)若通過增加更多的陣元來提高角度分辨率， 則需要增大陣列孔徑， 這會顯著增加天線系統(tǒng)饋電網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜度和成本，并且擴大尺寸需要預(yù)留更大的天線安裝體積，不利于實際操作。

為了克服上述缺點，一般采用非等間距單元排布的稀疏陣 (Sparse array)，將天線陣列以較少的單元數(shù)進(jìn)行稀疏布置。稀疏陣在實際應(yīng)用中往往使得波束方向圖的副瓣電平增高。因此，稀疏陣列綜合的目的是在滿足理想方向圖輻射特性 (主瓣寬度、副瓣電平等) 的性能參數(shù)下求解獲得陣列的最優(yōu)激勵權(quán)值向量以及陣列最大稀疏化的單元分布。然而，稀疏陣列綜合屬于多變量的非線性優(yōu)化問題，處理過程中難度極大。傳統(tǒng)的全局優(yōu)化算法如模擬退火法(SA)[4]、蟻群優(yōu)化算法(ACO)[5]、遺傳算法(GA)[6]、粒子群算法(PSO)[7]等常應(yīng)用于求解稀疏陣列的綜合問題。這類算法的流程均是先設(shè)計約束目標(biāo)函數(shù)使得方向圖峰值旁瓣電平(Peak Sidelobe Level, PSL)最小化，然后對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行全局尋優(yōu)處理，從而尋找滿足輻射性能條件的激勵權(quán)值和陣元分布。由于這些全局優(yōu)化算法都是基于隨機性的自然算法，當(dāng)處理大型陣列綜合目標(biāo)時，優(yōu)化過程中處理的問題復(fù)雜度急劇升高，導(dǎo)致此類算法的收斂速度慢甚至無法收斂，并容易陷入局部最優(yōu)(全局次優(yōu))結(jié)果。

近年來，凸優(yōu)化算法在方向圖綜合領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。賦形方向圖的綜合通常是一個非凸優(yōu)化問題，但在一些特殊情況下此方法可以將非凸問題轉(zhuǎn)換成凸優(yōu)化問題，如文獻(xiàn)[8-10]。但是，此類應(yīng)用存在固定缺陷，即天線布局必須滿足陣元激勵共軛對稱分布以及輻射方向圖必須對稱，導(dǎo)致方向圖無法任意賦形(如余割平方、精確的主瓣指向和零陷等)，極大限制了在實際中的應(yīng)用。本文對經(jīng)典凸優(yōu)化方法進(jìn)行改進(jìn)，引入雙變量的多凸優(yōu)化方法，通過迭代的多凸模型來近似求解關(guān)于控制主瓣波紋寬度的非凸問題。該多凸優(yōu)化方法可以實現(xiàn)控制主瓣寬度和副瓣中零陷位置以及深度的波束賦形。

最近，稀疏信號重構(gòu)理論開始在陣列信號處理中得到了應(yīng)用，為陣列綜合提供了一種新的思路。由于稀疏陣列的陣元在空間上是離散和稀疏分布的，因此稀疏陣列綜合在本質(zhì)上等效于稀疏信號重構(gòu)問題。文獻(xiàn)[8]利用基于迭代加權(quán)L1范數(shù)最小化的稀疏信號重構(gòu)方法來求解陣列的綜合問題，在每次迭代中利用開源凸優(yōu)化軟件得出用于下次迭代的陣列加權(quán)向量，當(dāng)滿足迭代終止條件時由陣列加權(quán)向量的非零值確定陣列的陣元位置及其激勵。此類方法利用稀疏陣列天線的稀疏物理特性，能以較少的迭代次數(shù)獲得稀疏程度更高的天線陣列。

本文將多凸優(yōu)化方法與基于L1范數(shù)最小化的稀疏線性陣列綜合方法相結(jié)合，提高方向圖輻射性能(Narrow Half-Power Beamwidth (HPBW)，3 dB波束寬度;最大副瓣值)的同時有效減少陣列中單元個數(shù)，從而簡化實饋電網(wǎng)絡(luò)。

1 算法介紹

假設(shè)所有2N個各向同性初始陣元都均勻分布在一條直線上， 各陣元等間距排布，間距為Δd， 則其遠(yuǎn)場方向圖可以表示為

(1)

1.1 多凸優(yōu)化方法

方向圖綜合的目的是尋找一組最優(yōu)的單元激勵從而提高方向圖的輻射性能(例如較窄的主瓣寬度、較低的副瓣)。該優(yōu)化問題可表示為

sup||w(u)a|2-d(u)|≤ε

(2a)

|w(u)a|≤ρ(u)，u∈SL

(2b)

方向圖|F(u)|2的主瓣部分(SB)盡可能地接近理想波形d(u)，d(u)∈R+，使得|F(u)|2與d(u)之間的距離ε盡可能地縮小。副瓣部分(SB)電平的最大值低于ρ(u)。這里，本文將文獻(xiàn)[8-10]中主瓣增益的最大化問題轉(zhuǎn)化為盡可能接近期望方向圖d(u)的逼近問題。式(2b)為凸優(yōu)化問題，可以用凸優(yōu)化工具包求得。式(2a)為控制主瓣寬度的非凸函數(shù)。本文對經(jīng)典凸優(yōu)化方法進(jìn)行改進(jìn)延伸，引入雙變量的多凸優(yōu)化方法，通過迭代的多凸模型來近似求解關(guān)于控制主瓣寬度的非凸問題，具體如下：

|(wal)Hwar-d|≤ε，al=ar

(3a)

|war|≤ρ

(3b)

|car-d|≤ε，al=ar

(4)

該迭代算法的初始值選擇關(guān)系到是否陷入局部最優(yōu)以及整個迭代過程的收斂速度，這里選擇基于IFT[11]方法所得出的激勵作為初始值。在使用IFT過程中，可將約束條件參數(shù)ε及ρ做適當(dāng)放寬。

1.2 基于迭代加權(quán)L1范數(shù)的稀疏陣列綜合

為了使陣列加權(quán)向量a盡可能稀疏,即a非零元素盡可能少, 在該假設(shè)條件下稀疏優(yōu)化問題可以由下式來描述：

min||a||0

(5)

由于式(5)的L0范數(shù)屬于NP問題，當(dāng)問題規(guī)模中等的情況下便已經(jīng)難以求解。針對此問題，提出了基于迭代加權(quán)L1范數(shù)的稀疏陣列綜合方法，目標(biāo)函數(shù)如下：

min||a||1

(6)

目標(biāo)函數(shù)L1范數(shù)系最接近稀疏優(yōu)化問題L0范數(shù)的凸函數(shù)。參考文獻(xiàn)[8]中的應(yīng)用，求解過程中可以在每一次的迭代中給出陣列激勵的封閉解?；诘訖?quán)L1范數(shù)稀疏陣列綜合方法，則所求激勵向量在第k+1次迭代過程中的約束條件為

(7)

為防止迭代過程中式(7)為0, 參數(shù)μ取值大于0，則對方向圖建立的凸優(yōu)化問題可以表示為

(8)

與文獻(xiàn)[8-10]相比，本文可以實現(xiàn)陣列天線的精確波束掃描和零陷控制。

2 算法應(yīng)用

為了驗證基于本文方法的優(yōu)勢，在本節(jié)仿真中設(shè)計了利用NUIFT以及NUIFT-SA方法和多凸優(yōu)化方法進(jìn)行平面陣列綜合的對比實驗。以下仿真實驗均使用配置為 Intel?CoreTMi5-6500T處理器、主頻為 3.4 GHz、內(nèi)存為12 GB的計算機。下文中所有仿真中μ均取值為0.01。

例1仿真參數(shù)設(shè)置如下：平面陣列橫向長度為 249.46λ，陣元間距dx=0.6949λ，綜合前的陣元總數(shù)為 360, HPBW設(shè)為0.4°。 如圖1所示，本文介紹的多凸優(yōu)化算法得出最終的副瓣電平為-42.3 dB，比文獻(xiàn)[12]降低了約7.35 dB。天線尺寸為194.6λ，Ne(天線單元個數(shù))為265個。各單元激勵如圖2，相位值各單元相同，均為0。與文獻(xiàn)[12]對比，本文中的天線尺寸以及單元個數(shù)方法分別減少了22%和44%。如圖1中顯示， 3 dB波束寬度為[-0.1828,0.1828]。與文獻(xiàn)算例中的[-0.2,0.2]相比，本算例中的波束寬度更窄。利用文獻(xiàn)[13]中的計算公式，本例中的方向性系數(shù)(Directivity)為27.72 dB，無論從方向圖性能提高還是天線優(yōu)化結(jié)果均可以表現(xiàn)本文算法的優(yōu)勢。

圖1 低副瓣優(yōu)化效果圖

圖2 陣列優(yōu)化后的幅度分布圖

實際應(yīng)用中，單元隨機損壞情況下，天線激勵得出的方向圖性能急劇下降[14]。該情況下，優(yōu)化算法利用余下單元快速重新計算單元激勵從而恢復(fù)方向圖性能。本例中，隨機假設(shè)265單元中的[3、6、9、15、27、32、35、37、39、44、46、48、49、76、123、125、165、171、187、208、224、226、228、236、261、264]損壞。損壞單元約占總數(shù)的10%。利用剩余單元原有激勵值得出副瓣電平上升到-28.62 dB。本文算法利用剩余單元計算新的激勵權(quán)值(用時16 s)，得出圖3中的歸一化方向圖，HPBW滿足0.4°，最終的副瓣電平為33.18 dB，與陣元損壞后的方向圖副瓣相比降低了4.57 dB。

例2為擴展算法的應(yīng)用背景，區(qū)別于文獻(xiàn)[8-10], 本例中的仿真涉及不對稱的零陷控制。初始平面陣列橫向長度為 349.46λ，陣元間距dx=0.9761λ，

圖3 低副瓣優(yōu)化效果圖

綜合前的陣元總數(shù)為359, 主瓣寬度設(shè)為[-0.036，0.036]。利用本文介紹的多凸優(yōu)化算法得出最終的副瓣電平為-34.99 dB，歸一化方向圖如圖4所示。

圖4 低副瓣優(yōu)化效果圖

與文獻(xiàn)[12]對比，本例中副瓣電平降低了約2.76 dB。綜合后的陣列位置、幅度的優(yōu)化結(jié)果如圖5所示，天線尺寸為266.49λ，Ne為169個，各單元激勵如圖5，相位值各單元相同，均為0。與文獻(xiàn)[12]對比，本文中的天線尺寸以及單元個數(shù)方法分別減少了23.74%和31.58%。零陷控制為Null=-55.56 dB，位于[-76.7°,-74.4°]和[14.1°,15.9°]位置，比文獻(xiàn)[12]中零陷降低3.57 dB。運算中，方向圖均勻取樣3 601個點。

例3本文算法應(yīng)用于大型線性陣列天線，并與文獻(xiàn)[15]中的仿真結(jié)果進(jìn)行全面比較。初始陣列尺寸設(shè)置為190、220、 250、275、310和320λ，相對應(yīng)的初始單元分別設(shè)為241、251、281、285、341 和 331。每個天線仿真中，單元距離均大于0.94λ，主瓣寬度設(shè)為[-0.36，0. 36]。表1給出了與文獻(xiàn)[15]仿真結(jié)果的對比，最大副瓣電平降低了0.24～3.29 dB不等，天線尺寸及單元數(shù)量分別減少了2.1%～48.1%和66.6%～

圖5 陣列優(yōu)化后的幅度分布圖

78.9%。圖6為對應(yīng)不同初始天線尺寸(單元個數(shù))的收斂情況。在大型線性陣列的模擬仿真中，本文算法可以在11次迭代內(nèi)收斂，具有很強的實時計算能力。

表1 本文算法與文獻(xiàn)[15]中的NUIT的仿真結(jié)果對比

圖6 算法在不同初始天線尺寸下的收斂情況

這里需強調(diào)，以上例1～3所有最終仿真結(jié)果相對應(yīng)的單元最小間距均接近于1個波長，柵瓣未出現(xiàn)的同時相互耦合效應(yīng)很小。

3 結(jié)束語

與傳統(tǒng)優(yōu)化算法相比，本文提出的基于多凸優(yōu)化算法的稀疏線性陣列綜合方法具有4個優(yōu)點：(1)根據(jù)多凸算法仿真結(jié)果，陣列天線在滿足相同的方向圖

性能的同時具有更少的單元數(shù)；(2)與傳統(tǒng)全局優(yōu)化算法或NUIFT算法相比, 多凸算法無需控制變量，魯棒性極強；(3)本文單元布局均為事先固定位置，有利于實際加工；(4)該算法收斂速度快，有利于實時處理方向圖綜合問題。本文提出的多凸優(yōu)化方法還適用于掃描低副瓣筆形波束與和差波束綜合等領(lǐng)域。