小談生活中有趣的數(shù)學(xué)概率現(xiàn)象

呂源

摘 要：我們生活中經(jīng)常會(huì)遇到涉及概率運(yùn)算的問(wèn)題和現(xiàn)象，從小學(xué)起我們就開(kāi)始有體系的接觸學(xué)習(xí)概率知識(shí)，能夠根據(jù)一定的條件計(jì)算某一事件發(fā)生的概率。本文介紹了概率這門(mén)學(xué)科的起源以及發(fā)展歷程，并比較詳細(xì)地論述了這門(mén)學(xué)科中的一些基本概念，如小概率事件、墨菲定律等，然后通過(guò)一些生活中關(guān)于概率的現(xiàn)象幫助大家更準(zhǔn)確地理解概率的概念和應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：概率 貝葉斯公式 全概率公式

一、概率學(xué)科起源與發(fā)展

關(guān)于概率的應(yīng)用與研究很早就有，但真正正式關(guān)于隨機(jī)現(xiàn)象的概率論的研究出現(xiàn)在15世紀(jì)之后，當(dāng)時(shí)保險(xiǎn)業(yè)已經(jīng)蓬勃發(fā)展但很不成熟，保險(xiǎn)公司要承擔(dān)很大的不確定性風(fēng)險(xiǎn)，渴望有精確的計(jì)算方法指導(dǎo)保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算，這新方法的渴望卻因?yàn)?5世紀(jì)末大規(guī)模賭博現(xiàn)象的出現(xiàn)而得到解決。法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡和費(fèi)馬系統(tǒng)分析了賭徒朋友提出的“分賭注”問(wèn)題，并在討論中形成了概率論中的一個(gè)重要概念—數(shù)學(xué)期望。荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯在聽(tīng)聞他們的討論過(guò)程后整理出版了一本書(shū)《賭博中的計(jì)算》。之后伯努利發(fā)表了《猜度術(shù)》，棣莫弗最早使用正態(tài)曲線，拉格朗日提出了誤差理論，到了1812年拉普拉斯總結(jié)之前概率論的眾多論述發(fā)表了《概率的解析理論》，將古典概率論和數(shù)學(xué)強(qiáng)有力的結(jié)合在一起，并做了很多數(shù)學(xué)證明，并在書(shū)中討論了概率在保險(xiǎn)業(yè)、天文學(xué)、度量衡甚至法律等方面的應(yīng)用，自此概率論開(kāi)始廣泛使用在生活中各個(gè)方面。

二、概率統(tǒng)計(jì)中的一些常用概念

（1）小概率事件

小概率事件一般就是指發(fā)生概率很小的事件，在具體的事件中小概率有不同的標(biāo)準(zhǔn)，一般根據(jù)事件的重要程度多采用0.01和0.05兩個(gè)閾值，這兩個(gè)值也被成為小概率標(biāo)準(zhǔn)。小概率事件和不可能事件是有很大區(qū)別的，小概率事件雖然發(fā)生的可能性很小，但依舊存在發(fā)生的概率，下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算分析下兩者的不同。假設(shè)事件甲發(fā)生的可能性很小，為小概率事件，可能性為P甲，很小接近于零，但只要這個(gè)事件重復(fù)進(jìn)行下去就總會(huì)有可能發(fā)生。因?yàn)檫@件事上一次不發(fā)生的概率為P=（1-P甲），前n次都不發(fā)生的概率為（1-P甲）n，當(dāng)事件重復(fù)進(jìn)行下去，即n→∞，則前n次發(fā)生事件甲的概率則為1-（1-P甲）n→1，事件甲必然會(huì)發(fā)生。

（2）墨菲定律

墨菲定理是由美國(guó)人愛(ài)德華·墨菲提出的，它其實(shí)是一種心理效應(yīng)，如果有一種選擇方式將導(dǎo)致事件結(jié)果變壞，那么無(wú)論這種方式被采納的可能性有多小，則必定有人會(huì)做出這種選擇。墨菲定理主要論述有：所有的事都會(huì)比你預(yù)計(jì)的時(shí)間長(zhǎng)；還有你擔(dān)心可能會(huì)出錯(cuò)的事情它總會(huì)出錯(cuò)；一旦你擔(dān)心某件不好的事情發(fā)生，那么它就更加可能發(fā)生；任何事都沒(méi)有其表面看起來(lái)那么容易解決。墨菲定律雖然是一個(gè)心理學(xué)定律，但它給我們能夠給我們一個(gè)警醒，對(duì)于全世界而言，任何事件的發(fā)生似乎都是必然的。但對(duì)于每個(gè)個(gè)體來(lái)說(shuō)，很多看上去幾乎不可能發(fā)生的事件，突然有一天這件事就在他身上發(fā)生了，對(duì)于他這個(gè)小概率事件就成了必然事件。所以我們做事情時(shí)對(duì)于事情可能變壞的再小的可能性也不能掉以輕心，要全力準(zhǔn)備，杜絕發(fā)生。

（3）貝葉斯公式

貝葉斯公式，也叫逆概率公式、貝葉斯定理，是貝葉斯在論文《機(jī)遇理論中一個(gè)問(wèn)題的解》中提出的算法，。在引出貝葉斯公式前先介紹幾個(gè)高中時(shí)有接觸過(guò)的概念，1）邊緣概率，指某事件發(fā)生的概率，與其他事件無(wú)關(guān)；2）聯(lián)合概率，聯(lián)合概率指的是兩個(gè)事件共同發(fā)生的概率，P（A，B） ；3）條件概率：又稱(chēng)后驗(yàn)概率，是指事件A在已知事件B已發(fā)生的條件下發(fā)生的概率，記作P（A|B）。

貝葉斯公式就是基于上述概念推導(dǎo)出來(lái)的，公式為；P（A|B）=P（B|A）*P（A）/P（B）。含義就是在事件B發(fā)生之前，判斷A發(fā)生的概率為P（A），稱(chēng)為"先驗(yàn)概率"；在事件B事件發(fā)生之后再對(duì)事件A發(fā)生概率的評(píng)估為 P（A|B），稱(chēng)為"后驗(yàn)概率"。"可能性函數(shù)"P（B|A）/P（B）是一個(gè)調(diào)整因子，為了使預(yù)估概率更加接近真實(shí)概率。

（4）全概率公式

全概率公式首先建立一個(gè)完備事件組的思想，其實(shí)全概率就是已知第一階段求第二階段，比如第一階段分A B C三種，然后A B C中均有D發(fā)生的概率，最后讓你求D的概率P（D）=P（A）*P（D/A）+P（B）*P（D/B）+P（C）*P（D/C）。全概率公式是用來(lái)計(jì)算普通概率的，其與貝葉斯公式的不同之處在于公式計(jì)算的對(duì)象不同，貝葉斯公式是用來(lái)計(jì)算簡(jiǎn)單條件下發(fā)生的復(fù)雜事件，而全概率公式用來(lái)計(jì)算復(fù)雜事件的概率。

三、生活中有趣的概率現(xiàn)象

（1）神奇的概率問(wèn)題

關(guān)于概率的有趣的問(wèn)題有很多，很多問(wèn)題用概率知識(shí)計(jì)算出的結(jié)果會(huì)讓人非常驚訝。比如一個(gè)有名的生日悖論，23個(gè)人中至少有兩個(gè)人的生日相同的概率要大于50%。聽(tīng)起來(lái)不敢相信，但經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算后就可得到結(jié)果，第二人與第一人生日不同的概率364/365，第三人與前兩個(gè)生日都不同的概率是363/365....利用乘法原理， 23人生日均不相同的概率約等于0.4927，則至少兩人生日相同的概率就大于50 %.

（2）經(jīng)濟(jì)生活中的有趣現(xiàn)象

概率計(jì)算在經(jīng)濟(jì)生活特別是企業(yè)管理中有著廣泛的應(yīng)用，很多經(jīng)濟(jì)學(xué)現(xiàn)象背后也蘊(yùn)含著概率的知識(shí)。在企業(yè)進(jìn)行決策時(shí)往往會(huì)面對(duì)不同的影響因素，要在復(fù)雜情況下做出最正確的決策其實(shí)就是計(jì)算不同決策可能帶來(lái)不同結(jié)果的概率，只用靈活運(yùn)用概率知識(shí)才能達(dá)到減小成本，獲得最大收益的目的。

（3）彩票中的有趣現(xiàn)象

每個(gè)人都幻想過(guò)一夜暴富，很多人由此沉迷于買(mǎi)彩票，幻想著通過(guò)彩票能走上人生巔峰，但其實(shí)彩票問(wèn)題只要簡(jiǎn)單的計(jì)算就可以認(rèn)清彩票中獎(jiǎng)幾乎是一個(gè)不可能事件。比如常見(jiàn)的“6+1”型的雙色球彩票，中一等獎(jiǎng)，也就是所有數(shù)字都命中的幾率只有十億分之564，連三等獎(jiǎng)概率也只有為十億分之91417，可見(jiàn)寄希望于彩票中獎(jiǎng)是非?？尚Φ?。

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，生活中很多神奇或者很難理解的問(wèn)題經(jīng)過(guò)概率的知識(shí)分析后就能夠簡(jiǎn)單易懂，而很多看起來(lái)很簡(jiǎn)單的現(xiàn)象卻遠(yuǎn)比我們想象中的要復(fù)雜深刻。這就要求我們?cè)黾游覀兏怕蕦W(xué)知識(shí)儲(chǔ)備，豐富相關(guān)知識(shí)，多動(dòng)腦，多思考，更靈活地使用概率學(xué)知識(shí)幫助我們更清晰地認(rèn)識(shí)這個(gè)世界，做出更加明智的決斷。

參考文獻(xiàn)

[1] 張潔.淺談小概率事件的內(nèi)涵[J].科技風(fēng)，2018，25：74+76.

[2] 王志剛.概率論在日常生活中的若干應(yīng)用[J].蘇州市職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，25：53-55.