基于求解雙側(cè)對流條件Stefan問題的高爐爐缸凝殼生成過程數(shù)學(xué)模型

，，

(1 寶山鋼鐵股份有限公司，上海201901，2 東北大學(xué)冶金學(xué)院，沈陽110819)

現(xiàn)階段常用于砌筑高爐爐缸的石墨質(zhì)和陶瓷質(zhì)耐火材料均無法長期抵御炙熱渣鐵的侵損[1-4].事實(shí)上，在保溫性好、抗化學(xué)侵蝕和機(jī)械破壞等性能優(yōu)異的超級耐火材料問世前，高爐爐缸內(nèi)襯在生產(chǎn)過程中的耗損不可避免.目前來看，采用較高導(dǎo)熱能力的襯材，配備高效冷卻器，以爐缸內(nèi)熔融產(chǎn)物為原料，在襯材熱面形成“自保護(hù)”的凝殼(文獻(xiàn)中常使用諸如凝鐵層、渣鐵鍋、沉積層等相近術(shù)語)，是將內(nèi)襯與高溫渣鐵隔絕，從而保障爐缸長期安全的根本途徑.

從傳熱角度來說，高爐爐缸凝殼的生成是襯材熱面鐵水熔池的對流供熱、鐵水顯熱以及潛熱被其冷面冷卻器中流動(dòng)介質(zhì)不斷帶出的動(dòng)態(tài)過程.冷卻制度一定時(shí)，隨著凝殼增厚，整個(gè)傳熱體系的熱阻逐漸增大，使得凝殼最終穩(wěn)定在一平衡厚度.鑒于冷卻器的工作原理同為對流換熱，高爐爐缸凝殼的生成可視為計(jì)算域兩端均為對流條件的凝固傳熱問題.這類雙側(cè)對流條件的移動(dòng)邊界問題亦屬Stefan問題的范疇，其理論解算一般很復(fù)雜，至今仍是應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.鋼鐵冶金領(lǐng)域的模鑄和連鑄過程涉及類似問題，一些學(xué)者從理論上推導(dǎo)了不同傳熱控制環(huán)節(jié)下的解析解，從而可以繪制熔體凝固層厚度隨時(shí)間的變化曲線[5-6].必須指出的是，與爐缸凝殼生成過程不同，模鑄和連鑄的Stefan問題通常不考慮邊界上的對流換熱.更重要的是，模鑄和連鑄的襯材與高爐爐缸相比，無論是在影響熱量傳輸?shù)谋诿婧穸冗€是其熱物性參數(shù)方面，均存在顯著差別.由此可以推斷，模鑄或連鑄的Stefan問題解析解不適用于描述高爐爐缸凝殼的生成過程.到目前為止，國內(nèi)外關(guān)于凝殼生成動(dòng)態(tài)過程的系統(tǒng)研究還未見報(bào)導(dǎo).絕大多數(shù)學(xué)者趨于借助多層平壁的一維穩(wěn)態(tài)傳熱模型，分析多樣化因素對凝殼平衡厚度的影響[7-9].然而，若想更進(jìn)一步探究凝殼生成的動(dòng)態(tài)，即非穩(wěn)態(tài)過程，仍需設(shè)法求解上述雙側(cè)對流條件的Stefan問題.這些便是本文研究的背景和主要目的.

基于求解上述雙側(cè)對流條件的Stefan問題，本文結(jié)合理論分析和數(shù)值計(jì)算方法，建立能夠準(zhǔn)確描述高爐爐缸內(nèi)襯熱面凝殼生成過程的數(shù)值傳熱模型.在重點(diǎn)闡述此模型構(gòu)建思路的同時(shí)，本文還進(jìn)行相應(yīng)準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型的推導(dǎo).最后，借助相應(yīng)條件下的實(shí)驗(yàn)測量值校驗(yàn)這兩種模型計(jì)算結(jié)果的精確度，并開展模型適用性的相關(guān)討論.

1 模型構(gòu)建

1.1 主要假設(shè)與簡化

鑒于高爐爐缸內(nèi)傳輸現(xiàn)象的復(fù)雜性及其影響因素的多樣和多變，為建立凝殼生成過程的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行以下假設(shè)與簡化.

(1)暫不考慮高爐爐缸的實(shí)際幾何形狀.鑒于高爐(圓筒形)爐缸的曲率半徑極大，將凝殼的生成簡化為通過多層平壁的一維非穩(wěn)態(tài)傳熱過程，其中各層材料的密度、熱容以及導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù).

(2)暫不考慮凝殼生成所涉及的傳質(zhì)現(xiàn)象，并假定鐵水的固相線為1 423 K.將鐵水流動(dòng)、液相線下糊狀區(qū)、熱輻射、焦炭以及鐵水顯熱等因素的影響歸結(jié)為一熔池綜合對流換熱系數(shù).

(3)將爐缸側(cè)壁內(nèi)的冷卻壁或爐底水冷盤管做一維等效處理，并視其為對流邊界.將水溫、水、垢層以及冷卻器壁面條件等因素的影響歸結(jié)速為一冷卻水綜合對流換熱系數(shù).

1.2 控制方程

為提高模型的通用性，模型構(gòu)建時(shí)考慮的多層平壁由n層耐材磚襯和1層凝殼構(gòu)成，如圖1所示.與傳統(tǒng)的多層平壁一維非穩(wěn)態(tài)傳熱體系不同，圖1所示體系第n+1層，即凝殼層的厚度隨時(shí)間變化，導(dǎo)致計(jì)算區(qū)域不定.

圖1 多層平壁一維非穩(wěn)態(tài)傳熱體系示意圖Fig.1 A sketch of one-dimensional heat transfer through a composite plane wall

結(jié)合圖1，可在各層材料的厚度范圍內(nèi)寫出如下傳熱控制方程.

(1)

式中，T為溫度(K)，t為時(shí)間(s).ρ、Cp以及k為各層材料的密度(kg/m3)、比熱容J/(kg·K)以及導(dǎo)熱系數(shù)W/(m·K).

qcold=hcold(T1-Tcold)

(2)

式中，q為熱通量(W/m2)，h為綜合對流換熱系數(shù)W/(m2·K)，下標(biāo)cold和1分別代表冷卻水和第1層平壁(即與冷卻壁緊鄰的耐材)的冷面，也就是整個(gè)傳熱體系的冷面位置.

圖1所示傳熱體系熱面，即x=sskull處的熱量平衡為

(3)

式中，L為凝固潛熱J/(kg·K)，下標(biāo)skull、hot和solid分別代表凝殼、熔池以及熔體固相線.

記凝殼與耐材磚襯界面，即x=0處的溫度為Twall，則相應(yīng)位置兩側(cè)的熱通量遵循

(4)

1.3 算法設(shè)計(jì)與計(jì)算流程

針對厚度變化的凝殼層，可應(yīng)用變量置換法推導(dǎo)其一維非穩(wěn)態(tài)傳熱方程的解[10]，即

(5)

式中，a為凝殼的熱擴(kuò)散系數(shù)(m2/s)，U為一未知溫度，在以下算法設(shè)計(jì)中可以消去.

由式(5)可得x=sskull處的溫度表達(dá)式，為

(6)

由式(5)亦可得凝殼層兩端的溫度梯度分別為：

(7)

(8)

由式(7)和式(8)可得

(9)

至此，聯(lián)立式(3)、式(4)和式(9)可得

(10)

而聯(lián)立式(4)、式(6)和式(7)可得

(11)

圖2 高爐爐缸凝殼生成過程數(shù)值傳熱模型計(jì)算流程圖Fig.2 The flow chart of the numerical heat transfer model of skull buildup process for a blast furnace hearth

1.4 準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型

針對圖1所示的傳熱體系，亦可在準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)假設(shè)的前提下寫出如下熱量平衡方程

(12)

將式(12)分離變量可得

(13)

積分式(13)可得

(14)

式(14)中y的取值需滿足

(15)

2 結(jié)果分析及討論

本文通過NASA技術(shù)報(bào)告[11]中的實(shí)驗(yàn)測量值對以上兩種數(shù)學(xué)模型的精確度進(jìn)行校驗(yàn).若暫不考慮高爐爐缸凝殼生成過程中的傳質(zhì)行為，該技術(shù)報(bào)告所述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與爐缸凝殼的生成同為雙側(cè)對流條件的Stefan問題，具體涉及一定厚度鉻鎳鐵合金(inconel)雙側(cè)對流條件下水的凝固過程.

圖3為上述兩種模型計(jì)算結(jié)果與相應(yīng)實(shí)驗(yàn)測量值的比較，其中各算例的主要計(jì)算參數(shù)見圖中實(shí)驗(yàn)條件.相關(guān)初始條件和材料的熱物性參數(shù)詳見文獻(xiàn)[11].另外，數(shù)值傳熱模型中采用有限元法編制程序進(jìn)行inconel平壁內(nèi)非穩(wěn)態(tài)傳熱的計(jì)算，并根據(jù)前期的參數(shù)敏感度分析，設(shè)定時(shí)間步長Δt為1 s.

圖3 數(shù)值傳熱模型和準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型計(jì)算結(jié)果與相應(yīng)實(shí)驗(yàn)測量值的比較Fig.3 Results from the numerical heat transfer model and quasi-steady state model with the corresponding experimental data

由圖3可知，從實(shí)驗(yàn)測量凝殼厚度隨時(shí)間的變化上看，數(shù)值傳熱模型預(yù)測結(jié)果的精確度高于準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型.具體來說，較數(shù)值傳熱模型，準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型計(jì)算的凝殼增長速率更大.也就是說，在同一時(shí)刻，準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型對應(yīng)傳熱體系的熱阻更大，帶來的結(jié)果是其預(yù)測的界面溫度更低，傳熱體系達(dá)到平衡所需的時(shí)間更短，正如圖3中的虛線和實(shí)線末端對應(yīng)時(shí)刻所示.

圖3的對比結(jié)果表明，應(yīng)用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型解析inconel平壁雙側(cè)對流條件Stefan問題存在一定誤差.這實(shí)際上決定于準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)假設(shè)自身，其可簡述為凝殼的增長速率遠(yuǎn)小于凝殼變化導(dǎo)致的溫度擾動(dòng)于各層平壁中的傳播速率.也就是說，單位厚度凝殼生成的時(shí)間段內(nèi)，各層平壁中的溫度分布已達(dá)穩(wěn)定狀態(tài).對于一維平壁而言，若導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，穩(wěn)態(tài)傳熱條件下的溫度分布是斜率為熱阻的直線.圖4為不同時(shí)刻數(shù)值傳熱模型所得inconel平壁內(nèi)溫度分布與穩(wěn)態(tài)傳熱對應(yīng)結(jié)果的比較.由圖可知，即使對于熱擴(kuò)散系數(shù)較大(3.98×10-6m2/s)且厚度(溫度擾動(dòng)傳播距離)僅為4.67 mm的inconel平壁而言，其溫度分布在凝殼生成初期也未達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).相應(yīng)時(shí)刻數(shù)值傳熱模型所得凝殼層內(nèi)溫度分布與穩(wěn)態(tài)傳熱對應(yīng)結(jié)果的比較與圖4所示趨勢類似，在此不再贅述.據(jù)此可以推斷，若考慮熱擴(kuò)散系數(shù)更小但厚度遠(yuǎn)大于4.67 mm的高爐爐缸襯材，準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型的計(jì)算誤差將成倍增大.

圖4 數(shù)值傳熱模型計(jì)算inconel平壁內(nèi)溫度分布與穩(wěn)態(tài)傳熱對應(yīng)結(jié)果的比較Fig.4 Temperature distributions in inconel plane calculated by the numerical heat transfer model and by the steady-state model

為進(jìn)一步展示本文數(shù)值傳熱模型的可用性，以典型陶瓷杯結(jié)構(gòu)爐缸為例，研究陶瓷杯壁厚度對爐缸熱面凝殼生成過程的影響.模型考慮兩層總厚為0.5 m的耐材磚襯，其中第1層為微孔炭磚，第2層為陶瓷杯壁.參考相關(guān)文獻(xiàn)[1, 3, 4, 7-9]，本文模型的計(jì)算參數(shù)設(shè)定為：微孔炭磚密度、熱容和導(dǎo)熱系數(shù)分別為1 600 kg/m3、2 000 J/(kg·K)和20 W/(m·K)；陶瓷杯壁密度、熱容和導(dǎo)熱系數(shù)分別為2 500 kg/m3、1 100 J/(kg·K)和2.5 W/(m·K)；鐵水凝殼的密度、熱容、導(dǎo)熱系數(shù)和凝固潛熱分別為3 000 kg/m3、950 J/(kg·K)、2 W/(m·K)和2.3×105J/(kg·K)；熔池溫度和其綜合對流換熱系數(shù)為1 773 K和50 W/(m2·K)；冷卻水溫度及其綜合對流換熱系數(shù)分別為298 K和1 000 W/(m2·K).此外，為提高各算例結(jié)果的可比性，計(jì)算的終止條件為凝殼厚度達(dá)到相應(yīng)平衡厚度的95%，且微孔炭磚和陶瓷杯壁內(nèi)的初始溫度均設(shè)定為鐵水固相線.可以預(yù)測，在計(jì)算開始后的一段時(shí)間內(nèi)，陶瓷杯壁熱面的傳熱條件無法維持凝殼生成所需的熱通量，也就沒有凝殼生成.因此，下文各圖中的零時(shí)刻與計(jì)算的起始時(shí)刻不相對應(yīng)，而是指陶瓷杯壁熱面剛剛出現(xiàn)凝殼之際.

圖5為陶瓷杯壁厚度對高爐爐缸凝殼生成過程的影響.總的來說，爐墻總厚不變時(shí)，陶瓷杯壁越薄(即圖中sn越小)，爐墻熱面的凝殼越厚.與之相應(yīng)的是，達(dá)到傳熱平衡所需的時(shí)間越長.陶瓷杯壁在爐墻中所占比例由16%降低到4%時(shí)，爐墻熱面凝殼厚度增加2倍以上.這表明，爐役初期陶瓷杯壁基本完整時(shí)，高爐爐缸熱面不易形成凝殼.但隨著“他保護(hù)”陶瓷杯壁的不斷侵損減薄，爐墻傳熱體系熱阻降低，爐缸會(huì)逐漸轉(zhuǎn)入利用當(dāng)?shù)罔F水生產(chǎn)凝殼的低成本“自保護(hù)”模式.據(jù)此可以推斷，在保障冷卻強(qiáng)度和穩(wěn)定出鐵操作的前提下，陶瓷杯壁越薄，爐缸越早轉(zhuǎn)入“自保護(hù)”模式.

圖5 陶瓷杯壁厚度對高爐爐缸凝殼生成過程的影響Fig.5 Influence of the ceramic cup sidewall thickness on the skull buildup process of a blast furnace hearth

圖6為陶瓷杯壁厚度對炭磚熱面溫度的影響.由圖可知，一個(gè)凝殼生成周期內(nèi)，炭磚的熱面溫度逐漸降低，并最終趨于穩(wěn)定.爐墻總厚不變時(shí)，陶瓷杯壁越薄，炭磚熱面溫度越高，且變化幅度越大.陶瓷杯壁在爐墻中所占比例由16%降低到4%時(shí)，凝殼生成前期炭磚熱面的溫降速率急劇提高，會(huì)加劇炭磚的熱震.因此，爐役中后期陶瓷杯損耗殆盡后，在實(shí)際生產(chǎn)中須重視爐缸區(qū)域的監(jiān)測，一旦出現(xiàn)凝殼消熔的跡象，應(yīng)及時(shí)調(diào)整，保證新的凝殼生成周期開始時(shí)炭磚熱面仍附著有一定比例的凝殼(“自生”陶瓷杯)，借以降低熱震導(dǎo)致的炭磚耗損.式(3)中hhot為爐缸鐵水綜合對流換熱系數(shù)，目前還未出現(xiàn)相關(guān)的系統(tǒng)研究和實(shí)驗(yàn)測定.根據(jù)定義，此對流換熱系數(shù)與爐缸鐵水的排放和死料柱行為密切相關(guān).因此，實(shí)際生產(chǎn)中若出現(xiàn)凝殼消熔、爐缸壁面溫度走高的跡象，通過減小上述對流換熱系數(shù)，保證凝殼厚度的技術(shù)措施包括：①退產(chǎn)量，降低爐缸鐵水流速；②延長鐵口，迫使鐵水向爐芯流動(dòng)，降低壁面流速；③改善爐缸死料柱透液性，控制環(huán)流，降低壁面流速.

圖6 陶瓷杯壁厚度對炭磚熱面溫度的影響Fig.6 Influence of the ceramic cup sidewall thickness on the hot face temperature of a carbon brick

3 結(jié) 論

(1)相比于準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型，數(shù)值傳熱模型針對雙側(cè)對流條件Stefan問題的計(jì)算精度更高.

(2)爐墻總厚不變時(shí)，陶瓷杯壁越薄，爐墻熱面的凝殼越厚.陶瓷杯壁在爐墻中所占比例由16%降低到4%時(shí)，爐墻熱面凝殼厚度增加2倍以上.

(3)爐墻總厚不變時(shí)，陶瓷杯壁越薄，炭磚熱面溫度越高，且變化幅度越大.陶瓷杯壁在爐墻中所占比例由16%降低到4%時(shí)，凝殼生成前期炭磚熱面的溫降速率急劇提高.