滾子包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)的嚙合性能分析

王凱,付敏,王玨翎

(1.成都工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院裝備制造學(xué)院,610218,成都;2.重慶理工大學(xué)機(jī)械檢測(cè)技術(shù)與裝備教育部工程研究中心,400054,重慶)

為了解決蝸桿傳動(dòng)發(fā)熱量大、成本高、齒面容易磨損的問(wèn)題,提出滾子包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng),該蝸桿采用雙段蝸桿左右分布與單個(gè)蝸輪內(nèi)嚙合的結(jié)構(gòu)形式,由蝸桿作為主動(dòng)件,蝸輪為從動(dòng)件。蝸輪輪齒為圓周均布的圓柱與軸承的裝配體,即裝配完整的蝸輪輪齒在傳動(dòng)過(guò)程中能夠自轉(zhuǎn),一方面將蝸桿與蝸輪的嚙合齒面間的滑動(dòng)摩擦部分轉(zhuǎn)變?yōu)闈L動(dòng)摩擦,降低損耗、提高效率,另一方面蝸輪輪齒的自轉(zhuǎn)能夠使?jié)L子與蝸桿嚙合時(shí)接觸面不局限于單一區(qū)域而是整個(gè)滾子表面,降低了接觸面的磨損,減小了由輪齒磨損帶來(lái)的傳動(dòng)誤差。

王進(jìn)戈等提出的無(wú)側(cè)隙雙滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)的蝸輪由兩個(gè)對(duì)稱蝸輪半體組成,蝸輪輪齒為雙滾柱且滾柱錯(cuò)位均布在蝸輪半體的周向,滾柱可以自轉(zhuǎn),蝸輪輪齒及滾柱錯(cuò)位布置,分別與蝸桿的左右側(cè)齒面嚙合,從而實(shí)現(xiàn)了無(wú)側(cè)隙,消除了回程誤差,傳動(dòng)平穩(wěn)、精度高[1]。鄧星橋等提出了無(wú)側(cè)隙平面包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng),特點(diǎn)在于蝸桿為兩段且為端面嚙合,左右兩段蝸桿通過(guò)一連接軸實(shí)現(xiàn)蝸桿傳動(dòng)裝置的聯(lián)接,左右兩段蝸桿始終與蝸輪保持接觸,旨在解決蝸桿承載能力及間隙等實(shí)際問(wèn)題[2]。滾子包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)具有無(wú)側(cè)隙雙滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿和無(wú)側(cè)隙平面包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)的優(yōu)點(diǎn),為雙端內(nèi)嚙合的方式,嚙合齒對(duì)數(shù)更多,是一種承載能力高的蝸桿傳動(dòng)。鄧星橋團(tuán)隊(duì)研究的正弦齒端面嚙合蝸桿傳動(dòng)以正弦齒為母面包絡(luò)形成蝸桿,對(duì)該蝸桿傳動(dòng)進(jìn)行參數(shù)化分析,具有線性接觸、良好的嚙合性能和潤(rùn)滑性能,以及能夠自動(dòng)消除間隙的優(yōu)點(diǎn)[3]。陳尚友研究的無(wú)側(cè)隙滾柱包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng),蝸桿與蝸輪輪齒為外嚙合的結(jié)構(gòu)形式,單段嚙合最大齒數(shù)達(dá)到了3[4]。

孫月海等對(duì)基于接觸線的二次包絡(luò)TI蝸桿傳動(dòng)進(jìn)行了嚙合性能分析[5]。柳在鑫等針對(duì)交錯(cuò)軸雙滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)進(jìn)行了嚙合性能分析[6]。陳永洪等基于平面內(nèi)齒輪包絡(luò)凸環(huán)面蝸桿傳動(dòng)開(kāi)展了嚙合性能分析[7]。王凱等對(duì)無(wú)側(cè)隙雙滾子環(huán)面蝸桿傳動(dòng)進(jìn)行了嚙合分析[8-9]。Litvin等對(duì)改進(jìn)的蝸桿傳動(dòng)進(jìn)行了接觸應(yīng)力和嚙合性能分析[10]。

本文以滾子包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)為研究對(duì)象,以微分幾何和齒輪嚙合原理為基礎(chǔ),推導(dǎo)了齒面方程和嚙合性能相關(guān)公式,分析該傳動(dòng)各設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)嚙合性能的影響,為該傳動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

1 傳動(dòng)的工作原理

本文提出的滾子包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)的工作原理圖如圖1所示,該蝸桿副由蝸桿軸、兩段蝸桿和蝸輪構(gòu)成,其中兩蝸桿分別安裝在蝸桿軸的左右兩側(cè),由臺(tái)階和軸套確定其軸向位置。作為減速裝置,蝸桿為主動(dòng)件,蝸輪為從動(dòng)件,工作過(guò)程中蝸桿軸輸入,蝸輪輸出;左端蝸桿的上齒面始終與蝸輪輪齒相嚙合,右端蝸桿的下齒面始終與蝸輪輪齒相嚙合,兩端的蝸桿與蝸輪呈對(duì)稱嚙合狀態(tài),在蝸桿副正反轉(zhuǎn)的情況下能夠起到消除間隙的作用。

圖1 滾子包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)工作原理

滾子包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)的蝸輪輪齒為能夠繞自身轉(zhuǎn)動(dòng)的滾柱,可以將蝸輪與蝸桿嚙合齒面間的滑動(dòng)摩擦部分轉(zhuǎn)換為滾動(dòng)摩擦,從而減少磨損,降低損耗,減少發(fā)熱,提高效率。傳動(dòng)結(jié)構(gòu)用滾針軸承作為滾柱,蝸輪的輪齒軸頸與滾針軸承內(nèi)圈接觸為滾動(dòng)摩擦,滾針軸承外圈與蝸桿齒面接觸也為滾動(dòng)摩擦,采用該蝸輪代替?zhèn)鹘y(tǒng)的銅合金蝸輪,可降低成本、提高承載能力。與滾子包絡(luò)端面蝸桿嚙合的蝸輪輪齒以蝸輪圓周均布的25個(gè)圓柱為軸頸,在每個(gè)軸頸上安裝一個(gè)滾針軸承,并通過(guò)軸用卡簧將軸承固定在軸頸卡槽上組成蝸輪輪齒;軸頸通過(guò)過(guò)盈配合與滾針軸承精密配合,并利用卡簧固定,形成具有自轉(zhuǎn)功能的蝸輪機(jī)構(gòu),結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

1:蝸輪滾柱;2:卡簧;3:滾針軸承圖2 蝸輪結(jié)構(gòu)圖

蝸桿齒面成形原理圖如圖3所示,傳統(tǒng)的環(huán)面蝸桿齒面由蝸輪水平中心線上下兩部分輪齒與蝸桿嚙合形成,端面蝸桿齒面由蝸輪垂直中心線的左右兩部分輪齒與蝸桿嚙合形成。由此表明,端面嚙合的方式同時(shí)嚙合的齒數(shù)多,可滿足不同傳動(dòng)比與多工作負(fù)載的需求。

圖3 蝸桿齒面成形原理

2 傳動(dòng)的嚙合分析

2.1 坐標(biāo)系的設(shè)置及坐標(biāo)變換

圖4 坐標(biāo)系的設(shè)置

坐標(biāo)系設(shè)置如圖4所示,σ1(i1,j1,k1)為蝸桿靜坐標(biāo)系,σ2(i2,j2,k2)為蝸輪靜坐標(biāo)系,σ1′(i1′,j1′,k1′)為蝸桿動(dòng)坐標(biāo)系,σ2′(i2′,j2′,k2′)為蝸輪動(dòng)坐標(biāo)系,k1=k1′為蝸桿回轉(zhuǎn)軸,k2=k2′為蝸輪回轉(zhuǎn)軸,ω1為蝸桿的角速度,ω2為蝸輪的角速度。蝸輪輪齒為單個(gè)滾子,在滾子柱頂中心建立坐標(biāo)系σ0(i0,j0,k0)。端面嚙合蝸桿繞回轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)角為φ1,蝸輪繞回轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)角為φ2,且φ1/φ2=ω1/ω2=Z2/Z1=i12=1/i21,其中Z1為蝸桿頭數(shù),Z2為蝸輪的齒數(shù),i12為傳動(dòng)比。當(dāng)φ1=φ2=0°時(shí),動(dòng)坐標(biāo)系與靜坐標(biāo)系重合,設(shè)o0點(diǎn)在σ2中的坐標(biāo)為(a2,b2,c2),在接觸點(diǎn)op處設(shè)置活動(dòng)標(biāo)架σp(e1,e2,n),固定坐標(biāo)系S0的位置在滾子頂部圓的中心。

蝸桿傳動(dòng)包絡(luò)過(guò)程中,蝸輪柱面坐標(biāo)與蝸桿動(dòng)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換如下

(i1′,j1′,k1′)T=M10(i0,j0,k0)T

(1)

(2)

(3)

2.2 相對(duì)速度

活動(dòng)標(biāo)架是在曲面的各點(diǎn)建立與曲面有密切聯(lián)系的正交標(biāo)架,使曲面上的每一給定點(diǎn)都有唯一標(biāo)架與之對(duì)應(yīng)[9]?；顒?dòng)標(biāo)架轉(zhuǎn)換到蝸輪動(dòng)坐標(biāo)系的底矢和坐標(biāo)變換過(guò)程如下。

圖5為蝸輪滾柱活動(dòng)標(biāo)架設(shè)置圖,由圖可見(jiàn),滾柱面在坐標(biāo)系σ0中的矢量方程為

(4)

式中:u、θ為柱面參數(shù);R為蝸輪滾柱的回轉(zhuǎn)半徑。

圖5 蝸輪滾柱活動(dòng)標(biāo)架的設(shè)置

蝸桿傳動(dòng)的中心距為ξ,將ξ寫(xiě)到σ2′中為

ξ=Acosφ2i2′-Asinφ2j2′

(5)

(6)

經(jīng)過(guò)底矢變換,相對(duì)速度矢量在蝸輪活動(dòng)標(biāo)架σp中可以表示為

(7)

2.3 齒面方程

由嚙合原理[11]可知,當(dāng)母面隨轉(zhuǎn)角φ2變化時(shí),在不同時(shí)刻的不同位置構(gòu)成了一個(gè)單參數(shù)曲面族,該曲面族的包絡(luò)面就是蝸桿齒面。滾子包絡(luò)端面嚙合蝸桿齒面方程為

(8)

2.3.1 一界函數(shù) 根據(jù)齒輪嚙合原理[11],齒面偶[Σ(2′),Σ(1′)]的一界函數(shù)為

(9)

2.3.2 誘導(dǎo)法曲率 根據(jù)活動(dòng)標(biāo)架法[11],在包絡(luò)過(guò)程中滾子包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)沿接觸線法線方向的誘導(dǎo)法曲率為

kδ(1′2′)=-kδ(2′1′)=

(10)

2.3.3 潤(rùn)滑角 由齒輪嚙合原理[11],端面嚙合蝸桿傳動(dòng)的潤(rùn)滑角為

(11)

2.3.4 相對(duì)卷吸速度 相對(duì)卷吸速度為

(12)

2.3.5 自轉(zhuǎn)角 自轉(zhuǎn)角μz0是v(12)與k0之間的夾角,可由下式確定[8-9,11]

(13)

3 傳動(dòng)副的嚙合性能分析

假定沿接觸線方向載荷分布均勻,應(yīng)用MATLAB對(duì)滾子包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)的嚙合性能進(jìn)行分析,確定設(shè)計(jì)參數(shù)最優(yōu)值范圍[3,12-13]。

3.1 滾柱半徑對(duì)嚙合性能的影響

以中心距A=125 mm、Z1=1、Z2=25、i12=25/1、k1=0.35為例,說(shuō)明滾柱半徑R對(duì)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)中誘導(dǎo)法曲率、潤(rùn)滑角、相對(duì)卷吸速度和自轉(zhuǎn)角的影響。根據(jù)蝸輪尺寸的幾何關(guān)系計(jì)算得R<11.53 mm,為了保證蝸桿的承載能力,本文選取R的范圍為3～11 mm來(lái)分析蝸桿副的嚙合性能。

圖6～圖9分別給出了R取3～11 mm時(shí)蝸桿的誘導(dǎo)法曲率、潤(rùn)滑角、相對(duì)卷吸速度及自轉(zhuǎn)角的嚙合性能狀態(tài)。

圖6 R對(duì)誘導(dǎo)法曲率的影響

從圖6可以看出:誘導(dǎo)法曲率隨著滾柱半徑的增大,甲乙面均有明顯減小的趨勢(shì),這對(duì)傳動(dòng)是有利的。甲面滾子半徑從3 mm增大到11 mm,嚙入端的誘導(dǎo)法曲率減小0.231 3 mm-1,齒對(duì)3的誘導(dǎo)法曲率減小0.237 8 mm-1,嚙出端的誘導(dǎo)法曲率減小0.240 8 mm-1。

圖7 R對(duì)潤(rùn)滑角的影響

從圖7可以看出:潤(rùn)滑角隨著滾柱半徑的增大呈略微減小的趨勢(shì)。滾子半徑從3 mm增大到11 mm,嚙入端的潤(rùn)滑角減小了0.102 3°,齒對(duì)3的潤(rùn)滑角減小了0.022°,嚙出端的潤(rùn)滑角減小了0.006 3°。

圖8 R對(duì)相對(duì)卷吸速度的影響

從圖8可以看出:相對(duì)卷吸速度隨著滾柱半徑增大呈增大態(tài)勢(shì),當(dāng)滾柱半徑從3 mm增加到11 mm,嚙入端相對(duì)卷吸速度增大3.508 2 mm·s-1,齒對(duì)3相對(duì)卷吸速度增大3.999 1 mm·s-1,嚙出端相對(duì)卷吸速度增大3.499 9 mm·s-1。

圖9 R對(duì)自轉(zhuǎn)角的影響

從圖9可以看出:自轉(zhuǎn)角隨著滾柱半徑增大呈減小趨勢(shì),從嚙入到嚙出的5對(duì)齒自轉(zhuǎn)角依次增大,滾柱半徑從3 mm增加到11 mm,嚙入端自轉(zhuǎn)角減小0.753 3°,齒對(duì)3自轉(zhuǎn)角減小0.254 7°,嚙出端自轉(zhuǎn)角減小0.123 3°。

總體來(lái)說(shuō),滾柱半徑對(duì)端面嚙合蝸桿副的嚙合性能影響明顯,較大的R可以獲得較小的誘導(dǎo)法曲率和較大的相對(duì)卷吸速度,從而獲得優(yōu)越的嚙合性能。

3.2 喉徑系數(shù)對(duì)嚙合性能的影響

為了研究喉徑系數(shù)k1對(duì)蝸桿副嚙合性能的影響,將端面蝸桿傳動(dòng)的喉徑系數(shù)作為變參,其他參數(shù)不變,取R=9 mm。本文k1的取值范圍為0.15～0.6。

圖10～圖13分別給出了k1取0.15～0.6時(shí)蝸桿的誘導(dǎo)法曲率、潤(rùn)滑角、相對(duì)卷吸速度及自轉(zhuǎn)角等嚙合性能狀態(tài)。

圖10 k1對(duì)誘導(dǎo)法曲率的影響

從圖10可以看出:嚙入端的誘導(dǎo)法曲率隨著喉徑系數(shù)的增大呈減小趨勢(shì),喉徑系數(shù)從0.1增大到0.6,其誘導(dǎo)法曲率減小0.010 4 mm-1,齒對(duì)2、3的誘導(dǎo)法曲率變化微弱,齒對(duì)4、嚙出端的誘導(dǎo)法曲率隨著喉徑系數(shù)的增大呈微弱增大的趨勢(shì)。

從圖11可以看出:隨著喉徑系數(shù)的增大,潤(rùn)滑角呈增大趨勢(shì)。喉徑系數(shù)從0.1增大到0.6,嚙入端的潤(rùn)滑角增大0.024 8°,其他4對(duì)嚙合齒對(duì)的潤(rùn)滑角基本保持不變。該蝸桿的潤(rùn)滑角均達(dá)到89.9°以上,潤(rùn)滑效果好。

圖11 k1對(duì)潤(rùn)滑角的影響

從圖12可以看出:嚙入端和齒對(duì)2的相對(duì)卷吸速度隨著喉徑系數(shù)的增大而增大,齒對(duì)3、4和嚙出端的相對(duì)卷吸速度隨著喉徑系數(shù)的增大而減小;當(dāng)喉徑系數(shù)從0.1增大到0.6,嚙入端的相對(duì)卷吸速度增大7.631 5 mm·s-1。

圖12 k1對(duì)相對(duì)卷吸速度的影響

從圖13可以看出:嚙入端、齒對(duì)2的自轉(zhuǎn)角隨著喉徑系數(shù)的增大而增大,齒對(duì)3、4和嚙出端的自轉(zhuǎn)角隨著喉徑系數(shù)的增大而減小。當(dāng)喉徑系數(shù)從0.1增大到0.6,嚙入端的自轉(zhuǎn)角增大0.160 1°,齒對(duì)2的自轉(zhuǎn)角增大0.034 5°,齒對(duì)3的自轉(zhuǎn)角減小0.000 3°,齒對(duì)4的自轉(zhuǎn)角減小0.009 9°,嚙出端的自轉(zhuǎn)角增大0.012°。

圖13 k1對(duì)自轉(zhuǎn)角的影響

總體來(lái)說(shuō),喉徑系數(shù)對(duì)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)的嚙合性能影響顯著,增大喉徑系數(shù)能夠同時(shí)獲得較小的誘導(dǎo)法曲率、較大的潤(rùn)滑角和較大的相對(duì)卷吸速度。因此,選擇合理的喉徑系數(shù)對(duì)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)的綜合嚙合性能影響較大。

3.3 沿接觸線方向嚙合性能情況

以A=125 mm、i=25、Z1=1、Z2=25、R=9 mm為例,說(shuō)明各嚙合齒對(duì)沿接觸線方向的誘導(dǎo)法曲率、潤(rùn)滑角、相對(duì)卷吸速度和自轉(zhuǎn)角的變化情況。

圖14給出了沿接觸線方向誘導(dǎo)法曲率的變化情況。嚙入端從齒根到齒頂誘導(dǎo)法曲率減小0.004 3 mm-1,齒對(duì)2從齒根到齒頂誘導(dǎo)法曲率減小0.001 3 mm-1,齒對(duì)3、4從齒根到齒頂?shù)恼T導(dǎo)法曲率基本保持不變,嚙出端從齒根到齒頂誘導(dǎo)法曲率增大0.000 6 mm-1。

圖14 各嚙合齒對(duì)沿接觸線方向的誘導(dǎo)法曲率分布

圖15給出了沿接觸線方向潤(rùn)滑角的變化情況。嚙入端齒根到齒頂潤(rùn)滑角增大0.010 2°,齒對(duì)2齒根到齒頂潤(rùn)滑角增大0.001 8°,齒對(duì)3從齒根到齒頂?shù)臐?rùn)滑角基本保持不變,齒對(duì)4、嚙出端從齒根到齒頂?shù)臐?rùn)滑角減小0.000 3°。

圖15 各嚙合齒對(duì)沿接觸線方向的潤(rùn)滑角分布

圖16 各嚙合齒對(duì)沿接觸線方向的相對(duì)卷吸速度分布

圖17 各嚙合齒對(duì)沿接觸線方向的自轉(zhuǎn)角分布

圖16給出了沿接觸線方向相對(duì)卷吸速度的變化情況。甲面嚙入端齒根到齒頂相對(duì)卷吸速度減小3.177 7 mm·s-1,齒對(duì)2、3、4和嚙出端齒根到齒頂相對(duì)卷吸速度分別減小4.516 1、5.569、6.270 5、6.576 9 mm·s-1。

圖17給出了沿接觸線方向自轉(zhuǎn)角的變化情況。嚙入端到齒頂自轉(zhuǎn)角增加0.665°,齒對(duì)2的自轉(zhuǎn)角增加0.014 5°,齒對(duì)3、4和嚙出端齒根到齒頂?shù)淖赞D(zhuǎn)角依次減小0.000 1°、0.004 2°、0.005 1°。

4 結(jié) 論

根據(jù)齒輪嚙合原理推導(dǎo)出滾子包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)的嚙合分析主要公式,運(yùn)用MATLAB分析了蝸桿主要設(shè)計(jì)參數(shù)的取值范圍。

滾子包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)屬于端面內(nèi)嚙合,單段蝸桿與蝸輪嚙合的同時(shí)嚙合齒對(duì)數(shù)達(dá)到5,誘導(dǎo)法曲率較小,齒面間的承載能力高,潤(rùn)滑角及相對(duì)卷吸速度均較大,蝸桿齒面間的潤(rùn)滑性能較好。分析結(jié)果可為滾子包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)的進(jìn)一步研究和設(shè)計(jì)工作提供理論依據(jù)。