正交異性薄板的振動(dòng)能量傳遞特性

何理,陳天寧,陳琛

(西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安)

正交異性薄板作為常見工程結(jié)構(gòu),其動(dòng)力學(xué)特性影響著系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性、性能及壽命。然而,由于正交異性,薄板往往存在振動(dòng)能量分布不均的問題。為了滿足系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)要求,對(duì)正交異性薄板振動(dòng)能量傳遞特性進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)分析具有十分重要的工程意義。

Nefske等在1989年預(yù)測(cè)簡(jiǎn)支梁高頻振動(dòng)特性時(shí)首先提出了能量有限元法(EFEM)[1],這是一種將功率流理論與傳統(tǒng)有限元法(FEM)結(jié)合的混合建模分析方法,將結(jié)構(gòu)中每一微元視作子系統(tǒng),通過能量守恒定律建立結(jié)構(gòu)能量密度控制方程。EFEM以能量密度為控制方程變量,避免了傳統(tǒng)有限元法在分析高頻振動(dòng)時(shí)由網(wǎng)格密集帶來的巨大計(jì)算量,因?yàn)镋FEM基于波動(dòng)理論,不用考慮結(jié)構(gòu)模態(tài)密度,從而解決了統(tǒng)計(jì)能量法在中低頻不適用的問題。EFEM在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)高頻振動(dòng)分析方面獨(dú)具優(yōu)勢(shì)。1992年,Bouthier等利用空間平均的方式將一維梁結(jié)構(gòu)能量密度控制方程擴(kuò)展到二維薄板結(jié)構(gòu)[2-3];孫麗萍等通過能量反射與透射系數(shù)構(gòu)建起結(jié)構(gòu)耦合的橋梁,用于船舶高頻振動(dòng)分析[4]。上述研究都是針對(duì)各向同性均勻的理想薄板,而大多數(shù)實(shí)際工程的薄板結(jié)構(gòu)具有正交異性:在正交垂直方向有不同的彎曲剛度,以適應(yīng)在垂直方向不同的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度要求。直到2003年,Park等在Bouthier基礎(chǔ)上推導(dǎo)出正交異性薄板的能量密度控制方程[5],并通過解析法進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證,但是卻沒有進(jìn)一步推導(dǎo)能量密度控制方程的有限元形式,而且重點(diǎn)都是分析計(jì)算振動(dòng)能量密度,對(duì)于振動(dòng)能量傳遞特性未深入研究。解妙霞在2008年推導(dǎo)了圓柱殼體在軸對(duì)稱彎曲振動(dòng)情況下的能量密度控制方程[6];2009年,朱翔引入結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)概念,通過有限元法對(duì)裂紋損傷結(jié)構(gòu)的功率流進(jìn)行研究,并實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)能量流動(dòng)的可視化[7];張猛在2013年提出了隨機(jī)參數(shù)能量有限元方法,解決了單個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)變化時(shí)梁的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特性[8];2016年,Petrone等利用Nastran、Matlab軟件結(jié)合求解結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)場(chǎng),分析了約束、載荷、阻尼以及正交異性對(duì)振動(dòng)能量分布與傳遞的影響,并且進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[9]。Wang等利用流線可視化技術(shù),詳細(xì)分析了局部阻尼作用下振動(dòng)能量傳遞路徑及對(duì)結(jié)構(gòu)的影響[10]。

本文對(duì)正交異性薄板能量密度控制方程進(jìn)行有限元離散處理,推導(dǎo)出能量有限元方程,并且通過數(shù)值算例對(duì)比經(jīng)典模態(tài)法,驗(yàn)證了方程的正確性。求解能量有限元方程得到結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)場(chǎng),同時(shí)以流線可視化方式可直觀呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量傳遞特性。應(yīng)用該方法,分析了不同局部阻尼分布位置對(duì)正交異性薄板振動(dòng)能量傳遞特性的影響。

1 正交異性薄板的能量有限元方程

1.1 二維薄板功率流理論

對(duì)于簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的正交異性薄板,其振動(dòng)微分方程為[11]

(1)

式中:w為薄板橫向位移;F為施加在板上的均布激勵(lì)力;ρ為薄板密度;h為板厚;Dxc、Dyc分別為薄板沿x、y方向的復(fù)彎曲剛度;Hc為復(fù)扭轉(zhuǎn)剛度。當(dāng)板厚為常數(shù)時(shí),Hc可以近似用Dxc、Dyc乘積開根號(hào)表示[11],即

(2)

式中:η為黏滯阻尼系數(shù);Dx、Dy為薄板沿x、y方向的彎曲剛度。

基于薄板平面波遠(yuǎn)場(chǎng)疊加原理,能夠得到式(1)關(guān)于時(shí)間平均的能量密度值。Park通過對(duì)其進(jìn)行空間平均處理,推導(dǎo)出正交異性有限薄板的能量密度控制方程以及平均結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)I[5]

(3)

(4)

式中:Pin為外界平均輸入功率;e為平均能量密度;ω為圓頻率;i、j為方向向量;Cgx、Cgy為彎曲波在板中的群速度,表達(dá)式為[5]

(5)

1.2 能量密度控制方程的有限元分析模型

通過有限元變分原理,采用Galerkin加權(quán)殘值法對(duì)式(3)進(jìn)行求解[12]。利用形函數(shù)N對(duì)平均能量密度e進(jìn)行插值

e=N·en

(6)

式中en為單元節(jié)點(diǎn)處的能量密度。將能量密度控制方程轉(zhuǎn)化為離散后單元的節(jié)點(diǎn)加權(quán)殘差形式,即

?ΩNTηωedA-?ΩNTPindA

(7)

為了整體有限元方程求解的準(zhǔn)確性,各節(jié)點(diǎn)殘差值應(yīng)為0。式(7)中第1項(xiàng)經(jīng)過分部積分法和散度定理等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化,有如下等式

(8)

式中Γ為單元邊界。為了簡(jiǎn)化方程,令應(yīng)變矩陣為

BT=(

(9)

聯(lián)立式(6)～(9),單元的節(jié)點(diǎn)殘差可表示為

(10)

(11)

通過有限單元法[13]對(duì)式(10)進(jìn)行組裝,可得薄板能量密度整體有限元方程

(KT+KD)e=P

(12)

式中:KT為整體能量傳遞單元矩陣;KD為整體能量耗散矩陣;P為輸入功率流向量。

由式(12)可知,能量有限元法將能量密度作為基本未知量,不再關(guān)注結(jié)構(gòu)模態(tài)與彎曲波波長(zhǎng),網(wǎng)格劃分不受頻率影響[12],即使高頻激勵(lì)也不需要細(xì)密的網(wǎng)格。

選擇平面四邊形等單元,其形函數(shù)為

N=[N1N2N3N4]

(13)

式中Nm(m=1,2,3,4)為單元自然坐標(biāo)系下結(jié)點(diǎn)形函數(shù),結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為(ξm,ζm),如圖1所示。

圖1 形函數(shù)自然坐標(biāo)系

結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)形函數(shù)可表示為

(14)

局部單元的自然坐標(biāo)系與全局物理坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系式為

dA=dxdy=|J|dξdζ

(15)

(16)

式中J為坐標(biāo)映射雅可比矩陣。

將式(15)(16)代入式(11),得

(17)

式中積分可由數(shù)值積分求解,從而可求得式(10),組裝成式(12)即可求得正交異性薄板能量有限元方程。

2 正交異性薄板振動(dòng)傳遞特性

2.1 正交異性薄板能量有限元方程驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文推導(dǎo)的能量有限元方程,采用與文獻(xiàn)[5]相同的方形簡(jiǎn)支鋁板為計(jì)算實(shí)例,其邊長(zhǎng)為1 m,厚度為1 mm,在普通各向同性薄板基礎(chǔ)上沿y方向進(jìn)行加強(qiáng)處理,其y向彎曲剛度Dy為x向彎曲剛度Dx的20倍;在薄板中心處(x0=Lx/2,y0=Ly/2)輸入幅值F0=1 N、頻率f=1 000 Hz的簡(jiǎn)諧激勵(lì)力;結(jié)構(gòu)黏滯阻尼η=0.05。采用功率級(jí)表示能量密度值

(18)

式中e0=1×10-12J/m2,為基準(zhǔn)能量密度。

利用正交異性薄板能量有限元方程,求解得到能量密度,結(jié)果如圖2所示。為了驗(yàn)證能量有限元法,采用文獻(xiàn)[5]中經(jīng)典模態(tài)法對(duì)相同條件鋁板的能量密度進(jìn)行求解,結(jié)果如圖3所示。由圖2、圖3可知,能量有限元法與經(jīng)典解析法的結(jié)果吻合較好。能量有限元法的結(jié)果相當(dāng)于將經(jīng)典解析法的局部細(xì)節(jié)進(jìn)行了平均處理,更能體現(xiàn)薄板振動(dòng)的整體特性,對(duì)高頻振動(dòng)分析更有實(shí)際意義;有限元法還適用于復(fù)雜求解域,具有工程實(shí)際意義。

由圖2可知,薄板中心處為能量峰值,由于結(jié)構(gòu)黏滯阻尼的存在,振動(dòng)能量隨距離中心能量輸入點(diǎn)不斷降低,并有明顯的正交異性:由于薄板沿y方向加強(qiáng),沿y方向傳遞時(shí)能量損失明顯小于沿x方向傳遞時(shí),能量流動(dòng)從能量值最高處流向能量值最低處,因?yàn)檠豿方向能量梯度值大,所以振動(dòng)能量?jī)?yōu)先沿x方向流動(dòng)。

圖2 能量有限元法求得的薄板能量密度

圖3 經(jīng)典模態(tài)法求得的薄板能量密度

2.2 局部阻尼分布對(duì)振動(dòng)能量傳遞特性的影響

為了進(jìn)一步說明振動(dòng)能量的傳遞特性,引入流線可視化技術(shù)[10],利用平行于能量流速度方向的流線表示結(jié)構(gòu)能量流動(dòng)方向,表達(dá)式為

drI(r,t)=0

(19)

式中:r為能量流粒子的位置;I為結(jié)構(gòu)聲強(qiáng),與dr平行。向量示意圖如圖4所示,流線與每個(gè)節(jié)點(diǎn)的r相互垂直,與dr相切。根據(jù)式(19),描述二維平面結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)流線的微分方程式可寫為

(20)

考慮整個(gè)薄板所有節(jié)點(diǎn),多條流線組合即可繪制結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量流線場(chǎng)圖。

圖4 流線上P點(diǎn)向量示意圖

為了研究局部阻尼對(duì)正交異性薄板振動(dòng)能量傳遞的影響,采用算例鋁板,修正其結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)使得η=0.001,在局部阻尼單元處,增加其阻尼系數(shù)使得η=0.5?？紤]3種典型局部阻尼分布位置,研究其對(duì)振動(dòng)能量傳遞的影響[14],局部阻尼分布如圖5所示。圖中網(wǎng)格為求解薄板能量有限元方程時(shí)所劃分,大圓表示能量輸入單元,小圓表示局部阻尼單元,數(shù)字1、2、3表示3種不同阻尼分布情況:第1種局部阻尼單元與能量輸入單元呈對(duì)角線分布;第2種局部阻尼沿x方向分布;第3種局部阻尼沿y方向分布,其中能量輸入單元的位置保持不變。

圖5 局部阻尼分布示意圖

當(dāng)局部阻尼與能量輸入單元為第1種分布時(shí),正交異性薄板振動(dòng)能量傳遞特性如圖6所示,圖中黑色流線表示振動(dòng)能量流線場(chǎng),描述薄板振動(dòng)能量從能量輸入點(diǎn)到能量耗散點(diǎn)的流向軌跡,流線由振動(dòng)能量輸入點(diǎn)處向周圍擴(kuò)散,由于阻尼耗能,流線在阻尼點(diǎn)匯聚。云圖為薄板結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)向量的幅值,顏色變化對(duì)應(yīng)幅值大小變化,顏色越淺能量密度越高,顏色越深能量密度越低,描述了振動(dòng)能量在薄板的大小以及分布。由于整體結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)較小,振動(dòng)能量峰值與最低值變化不大。

圖6 阻尼分布于1處的結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)流線場(chǎng)圖

由圖6可知:振動(dòng)能量在輸入單元處能量密度達(dá)到峰值,形成能量源,不斷向外擴(kuò)散振動(dòng)能量;在局部阻尼單元處能量密度值為局部低谷,由于阻尼作用不斷耗散振動(dòng)能量,形成能量槽[10],將結(jié)構(gòu)周圍振動(dòng)能量吸收;由于薄板沿y向做了加強(qiáng)處理,流線場(chǎng)流向優(yōu)先沿x向傳遞,表現(xiàn)出明顯的正交異性。

當(dāng)局部阻尼單元與能量輸入單元為第2種分布時(shí),正交異性薄板振動(dòng)能量傳遞特性如圖7所示。類似第1種分布方式,云圖中激勵(lì)輸入單元顏色最淺,能量密度為峰值;阻尼單元顏色最深,能量密度為局部低谷;流線圖則清晰表示出振動(dòng)能量如何從激勵(lì)輸入單元流向局部阻尼單元,不同的是能量流向出現(xiàn)明顯差異:在靠近能量源與能量槽一側(cè),能量呈現(xiàn)快速下降,振動(dòng)能量流線為直線;在遠(yuǎn)離能量源與能量槽一側(cè),能量傳遞受到材料正交異性的影響,振動(dòng)能量流線為弧線,整體類似于磁場(chǎng)。

圖7 阻尼分布于2處的結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)流線場(chǎng)圖

當(dāng)局部阻尼單元與能量輸入單元為第3種分布時(shí),正交異性薄板振動(dòng)能量傳遞特性如圖8所示。類似前2種分布方式,振動(dòng)能量從激勵(lì)輸入單元流向局部阻尼單元,局部阻尼單元對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量的耗散范圍從整塊板縮小到板的1/3。正交異性將阻尼對(duì)薄板結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量吸收阻隔,從而在遠(yuǎn)離能量源與能量槽一側(cè),振動(dòng)能量隨薄板擴(kuò)散而不是流向局部阻尼單元。薄板結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)幅值出現(xiàn)小幅改變,振動(dòng)能量峰值有所降低而振動(dòng)能量最低值有所增加。局部阻尼位置對(duì)正交異性薄板振動(dòng)能量分布以及傳遞路徑有重要影響,通過上述方法可以繪制出任意能量輸入與局部阻尼位置下正交異性薄板的能量分布以及能流傳遞路徑。

圖8 阻尼分布于3處的結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)流線場(chǎng)圖

3 結(jié) 論

本文針對(duì)正交異性薄板中的高頻振動(dòng)問題,引入結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)概念,對(duì)正交異性薄板能量密度控制方程進(jìn)行有限元離散處理,推導(dǎo)出正交異性薄板能量有限元方程,并且通過數(shù)值算例對(duì)比經(jīng)典模態(tài)法,驗(yàn)證了方程的正確性;然后,求解能量有限元方程得到結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)場(chǎng),同時(shí)以流線可視化方式更直觀地呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量傳遞特性;最后,應(yīng)用該方法分析了不同局部阻尼分布位置對(duì)正交異性薄板的振動(dòng)能量傳遞特性的影響。通過算例分析得出如下結(jié)論:正交異性材料屬性改變了振動(dòng)能量傳遞路徑,振動(dòng)能量?jī)?yōu)先沿彎曲剛度較小方向流動(dòng);局部阻尼分布位置對(duì)振動(dòng)能量分布以及傳遞路徑有重要影響,決定了振動(dòng)能量流向以及整體能量分布。