一個圓錐曲線問題的推廣

摘 要：三種圓錐曲線的性質(zhì)經(jīng)常是互通的。在其中一種曲線得到的結(jié)論同樣可以推廣到其他的圓錐曲線。

關鍵詞：雙曲線；切線；圓錐曲線

圓錐曲線的性質(zhì)經(jīng)常是互通的。所以當?shù)玫狡渲幸环N曲線的性質(zhì)時，經(jīng)常可以推廣到其他的圓錐曲線中。

一、 問題呈現(xiàn)

例1 在拋物線x2=2py中，過其焦點F作直線交拋物線于AB兩點，過AB分別作拋物線的切線l1，l2，l1，l2交于點P，求證：點P在拋物線的準線上。

證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=kx+p2，

x2=2py

y=kx+p2

x2-2pkx-p2=0，

∴x1+x2=2pk，x1x2=-p2，過點AB的切線方程

x1x=py+py1

x2x=py+py2

得x=p（y1-y2）x1-x2=x1+x22

y=x1x22p=-p2則點Px1+x22，-p2在拋物線的準線上。

二、 推廣探究

現(xiàn)在我們將這個結(jié)論推廣到橢圓和雙曲線中。

例2 在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，過橢圓的右焦點F2作直線AB交橢圓于AB兩點，過AB分別作橢圓的切線l1，l2，l1，l2交于點P，求證：點P在橢圓的右準線上。

證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=my+c，

x2a2+y2b2=1

x=my+c

（b2m2+a2）y2+2b2mcy-b4=0，

∴y1+y2=-2b2mcb2m2+a2，y1y2=-b4b2m2+a2，過點AB的切線方程x1xa2+y1yb2=1

x2xa2+y2yb2=1，

得x=a2（y2-y1）x1y2-x2y1=a2（y2-y1）（my1+c）y2-（my2+c）y1=a2c，則點P在橢圓的右準線上。

同理可證，結(jié)論對于橢圓的左焦點也成立。

例3 在雙曲線x2a2-y2b2=1中，過雙曲線的右焦點F2作直線AB交雙曲線于AB兩點，過AB分別作雙曲線的切線l1，l2，l1，l2交于點P，求證：點P在雙曲線的右準線上。

證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=my+c，x2a2-y2b2=1

x=my+c

（b2m2-a2）y2+2b2mcy+b4=0∴y1+y2=-2b2mcb2m2-a2，y1y2=b4b2m2-a2，過點AB的切線方程x1xa2-y1yb2=1

x2xa2-y2yb2=1，得x=a2（y2-y1）x1y2-x2y1=a2（y2-y1）（my1+c）y2-（my2+c）y1=a2c，則點P在雙曲線的右準線上。

同理可證，結(jié)論對于雙曲線的左焦點也成立。

參考文獻：

[1]M·克萊因.古今數(shù)學思想（第一冊）[M].上海：上?？茖W技術出版社，1985.

作者簡介：艾志景，江西省撫州市，江西省撫州市臨川一中。