三維編織復(fù)合材料宏細(xì)觀多尺度傳熱分析

黃志強(qiáng)，聶玉峰，李義強(qiáng)

(1.西北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，西安 710072)(2.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

0 引 言

三維編織復(fù)合材料具有高沖擊韌性、損傷容限與抗疲勞特性，結(jié)構(gòu)可設(shè)計(jì)性強(qiáng)，能夠?qū)崿F(xiàn)異形件的凈尺寸整體成型，可有效保障結(jié)構(gòu)件物理力學(xué)性能的穩(wěn)定性[1-2]。因此，三維編織復(fù)合材料在航空、航天等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，而熱傳導(dǎo)性能是其重要的物理性能之一。面對(duì)不斷增長(zhǎng)的工程應(yīng)用需求，如何有效表征三維編織復(fù)合材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)并建立細(xì)觀結(jié)構(gòu)與宏觀熱傳導(dǎo)性能之間的定量關(guān)系，已成為材料科學(xué)與工程領(lǐng)域的重要課題。

研究三維編織復(fù)合材料熱傳導(dǎo)性能的手段主要有試驗(yàn)方法和數(shù)值方法。由于三維編織復(fù)合材料組分相種類的多樣性及細(xì)觀結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，其熱傳導(dǎo)性能具有較大的分散性，完全通過(guò)試驗(yàn)手段來(lái)獲取熱傳導(dǎo)性能是不可取的。數(shù)值方法能有效克服試驗(yàn)方法的缺點(diǎn)，從而在預(yù)測(cè)三維編織復(fù)合材料熱傳導(dǎo)性能中得到了廣泛的應(yīng)用。程偉等[3]采用“米”字型枝狀單胞有限元模型和試驗(yàn)方法對(duì)三維四向編織復(fù)合材料的整體等效熱傳導(dǎo)系數(shù)進(jìn)行了分析，但所用單胞模型與實(shí)際情況相差甚遠(yuǎn)，模擬結(jié)果并不理想；Liu Z G等[4]和李典森等[5]建立了更真實(shí)的三維四向編織復(fù)合材料單胞模型，該模型區(qū)別于以往的“米”字型模型，進(jìn)一步研究了三維編織復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)性能；夏彪等[6]采用周期性非絕熱溫度邊界條件和周期性位移邊界條件，建立了三維四向編織復(fù)合材料的有限元模型并計(jì)算得到有效熱傳導(dǎo)系數(shù)，所得數(shù)據(jù)比其他文獻(xiàn)模型計(jì)算結(jié)果更接近實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；Jiang L L等[7]基于三維四向編織復(fù)合材料的螺旋型單胞幾何模型，推導(dǎo)了三維四向編織復(fù)合材料熱彈性問(wèn)題的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)分析有限元方程，并對(duì)材料進(jìn)行了穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)分析；Dong K等[8]建立了三維四向編織復(fù)合材料的多尺度單胞模型并使用有限元方法分析了熱傳導(dǎo)性能，包括等效熱傳導(dǎo)系數(shù)和溫度場(chǎng)分布；Fang W Z等[9]利用具有多重弛豫時(shí)間的格子波爾茲曼模型預(yù)測(cè)了三維四向編織復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比；Gou J J等[10]發(fā)展了多尺寸單胞模型并預(yù)測(cè)了三維四向編織復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)。

由于三維編織復(fù)合材料性能的不均勻性，直接使用傳統(tǒng)數(shù)值方法時(shí)需要非常精細(xì)的網(wǎng)格才能捕捉復(fù)合材料的局部特征，導(dǎo)致計(jì)算規(guī)模大幅增加。此外，傳統(tǒng)有限元方法很難捕捉三維編織復(fù)合材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)對(duì)宏觀性能的影響，數(shù)值模擬結(jié)果存在較大的誤差。因此，建立一種預(yù)測(cè)三維編織復(fù)合材料熱傳導(dǎo)性能有效的數(shù)值算法是十分必要的。三維編織復(fù)合材料具有典型的多尺度特征，而多尺度分析方法考慮了空間和時(shí)間的跨尺度與跨層次特征，并耦合相關(guān)尺度的物理機(jī)理，是求解材料科學(xué)和工程問(wèn)題的重要手段。近年來(lái)，基于均勻化理論[11-12]，多尺度分析方法被成功用于預(yù)測(cè)不同復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的物理和力學(xué)性能[13-16]。楊志強(qiáng)等[17-19]發(fā)展了多孔復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的多尺度分析方法，并通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了模型與算法的有效性。而編織復(fù)合材料具有更為復(fù)雜的細(xì)觀結(jié)構(gòu)，發(fā)展相應(yīng)的多尺度分析方法具有更為重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

本文建立三維四向編織復(fù)合材料熱傳導(dǎo)性能的宏細(xì)觀多尺度模型，并采用多尺度有限元算法分析三維四向編織復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)性能。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究編織角和纖維體積含量對(duì)材料熱傳導(dǎo)性能的影響規(guī)律。

1 三維編織復(fù)合材料單胞模型

三維編織復(fù)合材料具有復(fù)雜的空間拓?fù)潢P(guān)系，受計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)的限制，很難對(duì)三維編織復(fù)合材料整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析?？紤]到三維編織復(fù)合材料細(xì)觀單胞結(jié)構(gòu)呈周期性分布，本文以細(xì)觀單胞為研究對(duì)象。根據(jù)單胞模型空間拓?fù)鋷缀侮P(guān)系，采用Python語(yǔ)言在Gmsh軟件上進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)，建立三維四向編織復(fù)合材料的單胞模型，如圖1所示(體分比為54%，編織角為41°)。

(a) 纖維取向和位置

(b) 纖維在基體中的分布

2 宏細(xì)觀多尺度分析模型

根據(jù)上述三維編織復(fù)合材料的細(xì)觀結(jié)構(gòu)表征，考慮如下熱傳導(dǎo)問(wèn)題：

(1)

假設(shè)在單胞Y內(nèi)溫度場(chǎng)具有如下多尺度漸近展開(kāi)形式[17]：

Tε(x)=T0(x,y)+εT1(x,y)+ε2T2(x,y)+…

(2)

由于y=x/ε，存在如下鏈?zhǔn)椒▌t：

(3)

將式(2)～式(3)帶入式(1)，并整理成ε冪級(jí)數(shù)的形式，可得：

O(ε)=h(x)

(4)

通過(guò)比較式(4)兩端ε不同冪次的系數(shù)，根據(jù)偏微分方程理論可分別定義T0和T1，則溫度場(chǎng)的多尺度漸進(jìn)展開(kāi)式可定義為

(5)

式中：T0(x)為定義在宏觀區(qū)域Ω上的均勻化解；Nα1(y)為定義在單胞Y上的一階局部單胞函數(shù)。

Nα1(y)滿足如下控制方程：

(6)

(7)

利用上述均勻化系數(shù)，可以定義三維編織復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的均勻化熱傳導(dǎo)方程：

(8)

(9)

3 多尺度有限元算法

在對(duì)三維四向編織復(fù)合材料的幾何模型進(jìn)行有限元網(wǎng)格剖分時(shí)，采用網(wǎng)格劃分軟件Gmsh[20]。將由Python二次開(kāi)發(fā)建立的幾何模型導(dǎo)入Gmsh進(jìn)行剖分，即可得到所需要的有限元網(wǎng)格數(shù)據(jù)。體分比為54%，編織角為41°的單胞幾何模型的四面體網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖2所示。

(a) 纖維網(wǎng)格

(b) 單胞網(wǎng)格

基于上述單胞幾何模型的建模過(guò)程及其有限元網(wǎng)格的劃分結(jié)果，預(yù)測(cè)三維四向編織復(fù)合材料結(jié)構(gòu)熱傳導(dǎo)性能的多尺度算法過(guò)程如下：

(1) 根據(jù)給定的纖維體分比和編織角，利用第1節(jié)的建模方法生成三維四向編織復(fù)合材料的單胞幾何模型；確定復(fù)合材料中基體和纖維的熱傳導(dǎo)系數(shù)，并生成有限元網(wǎng)格。

(10)

(11)

(3) 根據(jù)已經(jīng)求出的均勻化熱傳導(dǎo)系數(shù)并確定求解區(qū)域Ω的幾何構(gòu)造，使用有限元方法求解邊值問(wèn)題(8)，對(duì)應(yīng)的離散變分形式為式(12)，得到溫度場(chǎng)的有限元解T0h0(x)(h0為宏觀區(qū)域的有限元網(wǎng)格剖分參數(shù))。

(12)

(13)

(5) 基于式(5)，由式(14)可計(jì)算區(qū)域Ω內(nèi)任一點(diǎn)處溫度場(chǎng)的多尺度有限元近似解。

(14)

4 算例分析

為了驗(yàn)證三維四向編織復(fù)合材料單胞模型的正確性，并檢驗(yàn)多尺度方法用于三維四向編織復(fù)合材料熱傳導(dǎo)性能預(yù)測(cè)的有效性，數(shù)值計(jì)算出纖維增強(qiáng)編織復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較?；w的熱導(dǎo)率為0.18 W/mK，纖維的橫向和縱向熱導(dǎo)率分別為1.00和8.00 W/mK。

三維四向編織復(fù)合材料橫向熱傳導(dǎo)系數(shù)的多尺度計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)[3]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果、文獻(xiàn)[6-7]中的數(shù)值計(jì)算結(jié)果的對(duì)比如表1所示。

表1 橫向熱傳導(dǎo)系數(shù)計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[3,6-7]的結(jié)果對(duì)比

從表1可以看出：本文采用均勻化方法得到的橫向熱傳導(dǎo)系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值吻合較好，且比文獻(xiàn)[6-7]的預(yù)測(cè)結(jié)果更加接近實(shí)驗(yàn)值，但略低于實(shí)驗(yàn)值。

三維四向編織復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)隨編織角和纖維體積分?jǐn)?shù)的變化曲線如圖3～圖4所示。

圖3 有效熱傳導(dǎo)系數(shù)隨編織角的變化趨勢(shì)

圖4 有效導(dǎo)熱系數(shù)隨纖維體分比的變化趨勢(shì)

從圖3可以看出：三維四向編織復(fù)合材料的縱向熱傳導(dǎo)系數(shù)整體上高于橫向熱傳導(dǎo)系數(shù)，且編織角越小二者之間的差異越明顯，表明三維四向編織復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)性能具有明顯的各向異性特征，且編織角越小，各向異性特征越明顯；此外，三維四向編織復(fù)合材料的橫向熱傳導(dǎo)系數(shù)隨編織角的增加而不斷增大，而縱向熱傳導(dǎo)系數(shù)隨編織角的增加而不斷減小，且編織角的變化對(duì)縱向熱傳導(dǎo)系數(shù)影響較大。這是因?yàn)槔w維的熱傳導(dǎo)系數(shù)大于基體，且隨著編織角的增大，橫向纖維比例增大而縱向纖維比例減小，從而使得三維四向編織復(fù)合材料的橫向熱傳導(dǎo)系數(shù)提高，而縱向熱傳導(dǎo)系數(shù)降低。

從圖4可以看出：當(dāng)編織角一定時(shí)，三維四向編織復(fù)合材料的橫向和縱向熱傳導(dǎo)系數(shù)都隨著纖維體積分?jǐn)?shù)的增加而增加。

三維四向編織復(fù)合材料單胞內(nèi)的溫度分布情況如圖5所示，可以看出：由于纖維的熱傳導(dǎo)系數(shù)明顯大于基體的熱傳導(dǎo)系數(shù)，纖維束所在區(qū)域的溫度值高于基體區(qū)域。此外，由于三維四向編織復(fù)合材料的各向異性，單胞的溫度分布存在明顯的不均勻性，而本文所采用的多尺度分析方法能有效捕捉溫度場(chǎng)的不均勻性及局部振蕩效應(yīng)，為三維編織復(fù)合材料的熱力耦合分析奠定基礎(chǔ)。

(a) 單胞宏觀均勻化溫度場(chǎng)分布

(b) z=0.375處的均勻化溫度場(chǎng)分布

(c) 單胞細(xì)觀溫度場(chǎng)分布

(d) z=0.375處的細(xì)觀溫度場(chǎng)分布

5 結(jié) 論

(1) 宏細(xì)觀多尺度方法能有效預(yù)測(cè)三維編織復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)性能，并且能有效捕捉材料內(nèi)部的局部振蕩效應(yīng)。

(2) 三維編織復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)性能具有明顯的各向異性特征，且編織角越小，各向異性特征越明顯。

(3) 三維編織復(fù)合材料單胞模型中的溫度分布表現(xiàn)出明顯的不均勻性。