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    自然常數(shù)e的指數(shù)形式與生活中物理現(xiàn)象的聯(lián)系

    2019-03-05 01:30:00
    物理通報 2019年3期
    關(guān)鍵詞:傳送帶定律常數(shù)

    李 康

    (蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校 江蘇 蘇州 215000)

    眾所周知,自然常數(shù)e是數(shù)學(xué)3個最著名的無理數(shù)之一.微積分的發(fā)展離不開e,經(jīng)濟學(xué)中的復(fù)利率出現(xiàn)了e的身影,就連自然界中的鸚鵡螺、羊觸角、向日葵種子等,甚至浩瀚宇宙中的螺旋星云,也都發(fā)現(xiàn)了與e緊密聯(lián)系的等角螺線.自古以來,等角螺線優(yōu)美的外形使它成為了藝術(shù)界裝飾圖案的基本元素.除此以外,與e相關(guān)的懸鏈線方程的獲得,使建筑學(xué)中的懸索橋至今廣泛應(yīng)用[1].這些不禁讓筆者聯(lián)想到生活中與物理學(xué)相關(guān)的“e”些事.

    1 最佳加熱/冷卻方案——流水噴淋法

    【例1】(第二十屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽第3題)在野外施工中,需要使質(zhì)量m=4.20 kg的鋁合金構(gòu)件升溫.除了保溫瓶中尚存有溫度t=90.0 ℃的1.200 kg的熱水外,無其他熱源.試提出一個操作方案,能利用這些熱水使構(gòu)件從溫度t0=10.0 ℃升溫到66.0 ℃以上(含66.0 ℃),并通過計算驗證你的方案.已知鋁合金的比熱容c=0.880×103J/(kg·℃),水的比熱容c0=4.20×103J/(kg·℃),不計向周圍環(huán)境散失的熱量.

    標(biāo)準(zhǔn)答案提示將保溫瓶中的熱水分成若干次倒到構(gòu)件上,每次倒在構(gòu)件上的水與構(gòu)件達(dá)到熱平衡后,立即將與構(gòu)件接觸的水倒掉.驗證的計算方案并不唯一,如果等質(zhì)量均分熱水,只要分成5份就能使構(gòu)件最終溫度達(dá)到66.0 ℃.那么,對于有限的熱水,構(gòu)件最終溫度的最大值又為多少?為了計算的方便,假設(shè)將熱水等質(zhì)量分成N份,不考慮熱損失,第1次混合達(dá)熱平衡后,構(gòu)件溫度T1滿足

    (1)

    第2次混合有

    (2)

    類似的,第i次混合有

    (3)

    式(3)可整理為

    (4)

    顯然,{Ti-t}是一等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項公式得

    (5)

    故第N次混合后構(gòu)件的最終溫度TN為

    (6)

    為使式(6)中最終溫度TN最大,由數(shù)學(xué)推導(dǎo)可知N應(yīng)盡可能大,即

    (7)

    其中

    (8)

    將式(8)代入式(7)有

    (9)

    原本未出現(xiàn)在題干的自然常數(shù)e,卻因求極限最終以指數(shù)的形式,將最高溫度TNmax與初溫t,t0聯(lián)系了起來.利用題中數(shù)據(jù),可以計算出最高溫度TNmax=69.5 ℃.

    可見,鋁合金構(gòu)件要盡可能吸收多的熱量從而升高溫度,就要將有限的熱水分成無窮多份,即將熱水一滴一滴地流到構(gòu)件上,此為最佳加熱方案.生活中利用類似的方法,將冷水以小水滴的形態(tài)噴淋在高溫物體上進行冷卻降溫——流水噴淋法,它不僅能使高溫物體表面均勻冷卻,還能保證最大程度的冷卻作用,實現(xiàn)快速降溫.

    2 力的放大器原理——歐拉公式

    【例2】(第二十七屆全國中學(xué)生物理競賽決賽第1題)如圖1所示,在固定不動的圓柱體上繞有繩索,繩兩端掛大、小兩桶,其質(zhì)量分別為M=1 000 kg和m=10 kg,繩與圓柱體之間的摩擦因數(shù)μ=0.05,繩的質(zhì)量可以忽略.那么要使兩桶靜止不動,繩至少需繞多少圈?

    圖1 例2題圖

    取所對圓心角為Δθ的繩段微元為研究對象,受力分析如圖2所示.對其列出切向和法向的平衡方程分別為

    (10)

    (11)

    圖2 對Δθ對應(yīng)的繩段受力分析

    由于Δθ很小,故

    代入式(10)、(11)得

    Ti+1=Ti+fi

    (12)

    (13)

    當(dāng)繩即將滑動時有

    fi=μNi

    (14)

    聯(lián)立式(12)、(13)、(14),忽略二階小量得

    (15)

    對式(15)兩邊求和,整理得

    T=T0eμθ

    (16)

    當(dāng)船只靠岸時,船員可以利用繞在纜柱上多圈的纜繩,輕而易舉地控制住質(zhì)量巨大的船只.只要將繩在纜柱上多繞幾圈,余下的纜繩隨意扔在船上,繩端不必打結(jié),也不系在其他物體上,eμθ指數(shù)關(guān)系就能束縛住整艘質(zhì)量巨大的船只.生活中,捆扎物體時將繩多繞幾圈可防松脫、牧民拴馬也是類似的道理.除此之外,傳送帶是靠摩擦力工作的,常見的環(huán)形傳送帶如圖3所示.有經(jīng)驗的工人師傅還會采用如圖4所示的“8”字形傳送帶,它比環(huán)形傳送帶具有更大的θ,因而更不容易打滑.

    圖3 常見的環(huán)形傳送帶

    圖4 “8”字形傳送帶

    3 考古神器——衰變定律

    放射性物質(zhì)因衰變而減少是一個普遍規(guī)律.通過對大量原子核進行研究,發(fā)現(xiàn)所有的放射性同位素的原子數(shù),隨時間作負(fù)指數(shù)函數(shù)而衰減——衰變定律N=N0e-λt,自然常數(shù)e竟然再一次以指數(shù)的形式出現(xiàn)在物理規(guī)律中,式中λ叫衰變常數(shù),以表征放射性元素衰變的快慢.一方面,衰變定律告訴我們,生活中的核廢料在丟棄多年之后,仍然有危險.因為它們的衰變常數(shù)λ很小,因而能放出α,β,γ等有害射線的放射性物質(zhì)衰減得很慢,所以2011年日本福島等地核電站放出的某些有害輻射會長期存在,而且永遠(yuǎn)不會消失.另一方面,考古科學(xué)家可以利用14C,18O等多種放射性元素,測定古文物、化石和巖石等年齡,再經(jīng)過必要的修正和測算,還能進一步估測地球的年齡.

    除此之外,牛頓冷卻定律中也出現(xiàn)了類似于衰變定律的負(fù)指數(shù)函數(shù)e-λt關(guān)系,這一定律的發(fā)現(xiàn)為鑒定死亡時間發(fā)揮了重要作用,為刑事偵查帶來了方便.

    綜上所述,無論是從工業(yè)上的流水噴淋法,到系船纜繩的拉力,還是從古物年齡的測定,到死亡時間的鑒定,亦或是從火箭飛天的計算,到氣象學(xué)中高空氣壓的研究,還是從含容電路的暫態(tài)過程,到統(tǒng)計學(xué)中的布朗運動……這些問題無一不與自然常數(shù)e有關(guān).

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