教材分析的四條基本邏輯線
——以人教版“單調(diào)性與最大（小）值”為例

潘 超，吳立寶

（1.重慶第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，重慶 400067；2.天津師范大學(xué)教師教育學(xué)院，天津 300387）

教材分析是教學(xué)系統(tǒng)中教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)性工作，是體現(xiàn)教育學(xué)、心理學(xué)理論與實(shí)踐操作緊密結(jié)合的重要工程。它最重要的作用是為后續(xù)的教材處理提供依據(jù)，為教學(xué)設(shè)計(jì)做好鋪墊。掌握恰當(dāng)?shù)慕滩姆治龇椒芴岣呓虒W(xué)設(shè)計(jì)的成效，對(duì)實(shí)施有效教學(xué)具有奠基意義。但是，許多中小學(xué)教師忽視教材的價(jià)值，對(duì)教材分析并不重視，難以抓住要點(diǎn)，有序開(kāi)展分析。教材是課程的載體，主要包括教科書(shū)（教師用書(shū)、學(xué)生用書(shū)）、教學(xué)參考資料、教具與學(xué)具等教學(xué)材料。其中，教科書(shū)是教材的主體，承載著課程的目標(biāo)、內(nèi)容、實(shí)施和評(píng)價(jià)要素。[1]雖然有時(shí)教材被當(dāng)作創(chuàng)造性解決問(wèn)題的資源或?qū)W生自學(xué)的材料，但教材的主要功能還是作為傳授權(quán)威知識(shí)的儲(chǔ)庫(kù)。[2]而權(quán)威知識(shí)的儲(chǔ)庫(kù)要很好地開(kāi)發(fā)出來(lái)就必須要重視教材分析。這里，我們所稱(chēng)的教材分析是以教科書(shū)為主要分析對(duì)象，參照課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)參考資料，按特定的要求，對(duì)教材的內(nèi)容、編排意圖等實(shí)施要素分析、結(jié)構(gòu)分析、原理分析的過(guò)程。教材分析不僅要考慮目的、要素、對(duì)象、過(guò)程、特點(diǎn)等因素[3]，還要考慮教材分析的邏輯線索。

教材分析的邏輯線索附著于實(shí)質(zhì)性的教材內(nèi)容，包括文字、符號(hào)、圖表等顯性結(jié)構(gòu)所呈現(xiàn)的內(nèi)容，還包括知識(shí)、教學(xué)、學(xué)習(xí)等隱性結(jié)構(gòu)所蘊(yùn)含的意義、原理、思想等深層內(nèi)容。[4]教材分析的邏輯是教學(xué)系統(tǒng)中教學(xué)邏輯的另一形態(tài)，仍然存在潛在的主客體關(guān)系的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)換關(guān)系。而知識(shí)邏輯、教學(xué)邏輯、學(xué)習(xí)邏輯和認(rèn)知邏輯是構(gòu)成教學(xué)系統(tǒng)的邏輯要素，四個(gè)邏輯間相互運(yùn)演，教學(xué)要素關(guān)系變遷，促使教學(xué)系統(tǒng)達(dá)到有序化。[5]相應(yīng)地，教材分析作為教學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)子項(xiàng)內(nèi)容，應(yīng)該遵從這四個(gè)邏輯的相互運(yùn)演關(guān)系。教材分析者將親歷把教材內(nèi)容從靜態(tài)形式激活到動(dòng)態(tài)形式，再沉淀為靜態(tài)形式的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)教材話(huà)語(yǔ)體系向教師話(huà)語(yǔ)體系轉(zhuǎn)化，以及教師話(huà)語(yǔ)體系向?qū)W生話(huà)語(yǔ)體系轉(zhuǎn)化的遞進(jìn)順序。從教學(xué)邏輯視角來(lái)看，教材分析本質(zhì)上是以知識(shí)邏輯、教學(xué)邏輯、學(xué)習(xí)邏輯和認(rèn)知邏輯為線索。教學(xué)邏輯的四個(gè)邏輯組塊為教材分析提供四條可供操作的分析線索，即教材分析的知識(shí)邏輯線（知識(shí)線knowledge line：K-L）、教學(xué)邏輯線（教學(xué)線teaching line：T-L）、學(xué)習(xí)邏輯線（學(xué)習(xí)線learning line：L-L）和認(rèn)知邏輯線（認(rèn)知線cognition line：C-L），其邏輯結(jié)構(gòu)見(jiàn)參圖1。這四條分析線構(gòu)成了教材分析的基本邏輯線索，它們經(jīng)過(guò)循環(huán)、交織、組合等可以得到教材分析的多種變式結(jié)構(gòu)。因而，這四條分析線實(shí)為基本的邏輯分析線。一般說(shuō)來(lái)，分析教材時(shí)，可以按照“知識(shí)線——教學(xué)線——學(xué)習(xí)線——認(rèn)知線”的基本順序進(jìn)行。

圖1

“單調(diào)性與最大（?。┲怠笔歉咧袛?shù)學(xué)中很典型的一節(jié)內(nèi)容，該節(jié)在人教版教材中處于必修一“第一章集合與函數(shù)概念”的第三節(jié)內(nèi)容，下面以該節(jié)內(nèi)容為例，談?wù)劷滩姆治龅乃臈l邏輯線，以及如何按照這四條邏輯線進(jìn)行教材分析。

一、教材分析的知識(shí)邏輯線

教材編寫(xiě)是遵從一定的學(xué)科知識(shí)體系的，因此，教材分析的首要邏輯線就是學(xué)科知識(shí)線。從知識(shí)邏輯線分析教材時(shí)，主要分析教材包含的學(xué)科知識(shí)內(nèi)容，解決“是什么”的基本問(wèn)題。其要點(diǎn)有：厘清教材呈現(xiàn)的學(xué)科知識(shí)，找準(zhǔn)新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)和來(lái)龍去脈；厘清整節(jié)內(nèi)容在教材體系中的地位和作用，分清教材內(nèi)容的重點(diǎn)。其中，最核心的要點(diǎn)是分析知識(shí)體系和教材重點(diǎn)。

1.分析知識(shí)體系

分析知識(shí)體系是指按照知識(shí)邏輯線，剖析教材內(nèi)容的知識(shí)結(jié)構(gòu)和邏輯關(guān)聯(lián)，以及把握學(xué)科知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵。在操作上，一般可以從宏觀和微觀兩個(gè)角度著手。宏觀角度上，要確定本節(jié)內(nèi)容在教材體系中的地位和作用。通過(guò)分析本節(jié)教材的主體內(nèi)容及與之直接或間接相關(guān)的前、后章節(jié)內(nèi)容，確定學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容所需要的學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)和方法，以及對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的具體作用。用“十字模型”來(lái)凸顯本節(jié)教材內(nèi)容在教材體系中的地位和作用，用知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖來(lái)刻畫(huà)本節(jié)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)?！昂瘮?shù)的單調(diào)性”是反映函數(shù)變化規(guī)律的一個(gè)最基本的性質(zhì)，是對(duì)函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，也是后續(xù)研究幾類(lèi)具體函數(shù)和解決與函數(shù)相關(guān)的綜合問(wèn)題的基礎(chǔ)和工具，對(duì)學(xué)生進(jìn)一步研究其他函數(shù)性質(zhì)起示范和引領(lǐng)作用（如圖2所示）。微觀角度上，要確定本節(jié)教材所含的知識(shí)內(nèi)容及其知識(shí)結(jié)構(gòu)。操作方法就是梳理本節(jié)教材所含的知識(shí)點(diǎn)（塊）、涉及的方法等，并尋找各知識(shí)點(diǎn)（塊）之間的關(guān)聯(lián)，總結(jié)其知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖。“單調(diào)性與最大（?。┲怠币还?jié)，在知識(shí)層面上，主要對(duì)增函數(shù)、減函數(shù)、最大值進(jìn)行了嚴(yán)格定義，對(duì)其他相關(guān)概念給予適當(dāng)說(shuō)明；在方法層面上，舉例說(shuō)明了用圖像法、定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的方法和如何用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大（小）值（參見(jiàn)圖3）。

圖2 本節(jié)教材內(nèi)容在教材體系中地位

圖3 本節(jié)教材內(nèi)容的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

2.分析教材重點(diǎn)

分析教材重點(diǎn)是指按照知識(shí)邏輯線，在把握教材體系基礎(chǔ)上，剖析教材各種知識(shí)組塊的主體部分，判斷最基本、最核心的教材內(nèi)容。在操作上，可以通過(guò)教材內(nèi)容的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和挖掘教材知識(shí)層面的設(shè)置意圖來(lái)分析出教材重點(diǎn)，為確定教學(xué)難點(diǎn)奠定基礎(chǔ)。如圖3中的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)所示，判斷函數(shù)的單調(diào)性的本質(zhì)是聯(lián)系函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)最值問(wèn)題的紐帶，而判斷函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)又依賴(lài)于增（減）函數(shù)的判定。增（減）函數(shù)概念的定義方式是關(guān)系定義，用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述其內(nèi)涵，具有較高程度的抽象性。所以，教材體系中，用形式化語(yǔ)言刻畫(huà)增（減）函數(shù)是知識(shí)板塊的主體和關(guān)鍵內(nèi)容，突破增（減）函數(shù)概念的教學(xué)會(huì)使該節(jié)其他內(nèi)容的教學(xué)變得更容易。因此，本節(jié)教材的核心內(nèi)容是增（減）函數(shù)、最大（小）值的定義及其應(yīng)用，并且增函數(shù)、減函數(shù)的形式化定義是判斷函數(shù)的單調(diào)性和解決最大（?。┲祮?wèn)題的關(guān)鍵。由此，我們可以得到本節(jié)的重點(diǎn)知識(shí)是增（減）函數(shù)、最大（?。┲档亩x和判斷函數(shù)的單調(diào)性以及求一些函數(shù)的最大（?。┲?。另外，觀察函數(shù)圖像時(shí)，一般先注意到的是圖像的上升或下降性態(tài)，然后才是圖像在某些特殊位置的狀態(tài)，所以教材在順序上首先安排刻畫(huà)函數(shù)整體特征的單調(diào)性，再安排函數(shù)的最大值、最小值，以及后邊的零點(diǎn)問(wèn)題等。

綜上，“函數(shù)的單調(diào)性”是反映函數(shù)變化規(guī)律的一個(gè)最基本的性質(zhì)，是對(duì)函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，也是后續(xù)研究幾類(lèi)具體函數(shù)和解決與函數(shù)相關(guān)的綜合問(wèn)題的基礎(chǔ)和工具，對(duì)學(xué)生進(jìn)一步研究其他函數(shù)性質(zhì)起示范和引領(lǐng)作用。該節(jié)內(nèi)容主要對(duì)增（減）函數(shù)、最大（小）值進(jìn)行了嚴(yán)格定義，對(duì)其他相關(guān)概念給予適當(dāng)說(shuō)明；在方法層面上，舉例說(shuō)明了用圖像法、定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的方法和如何用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大（?。┲?。其中，重點(diǎn)知識(shí)是增（減）函數(shù)、最大（?。┲档亩x和判斷函數(shù)的單調(diào)性以及求一些函數(shù)的最大（?。┲?。

二、教材分析的教學(xué)邏輯線

教材編寫(xiě)具有一定情境性，教材將教學(xué)的學(xué)科知識(shí)內(nèi)容“浸泡”在豐富的教學(xué)情境中，“如何教”的基本問(wèn)題在教材情境中呈現(xiàn)出一條線索，即教學(xué)邏輯線。按照教學(xué)邏輯線分析教材，從教師教的角度去思考教學(xué)問(wèn)題，要明確教材設(shè)計(jì)的教學(xué)思路，明確教材中預(yù)設(shè)的關(guān)鍵性問(wèn)題，明確教材是如何引導(dǎo)學(xué)生思維的，采取什么樣的教法等。

1.分析教學(xué)思路

分析教學(xué)思路是指按照教學(xué)邏輯線，從教師教的視角，剖析教學(xué)內(nèi)容與教師教學(xué)行為的統(tǒng)整線路，為教學(xué)環(huán)節(jié)的安排和教學(xué)方法的選擇奠定基礎(chǔ)。在操作上，圍繞教材的重點(diǎn)梳理出教材的主要結(jié)構(gòu)。如對(duì)概念內(nèi)容，剖析出概念的引入、概念的定義、概念的辨析、概念的應(yīng)用等主要的教學(xué)結(jié)構(gòu)；對(duì)命題內(nèi)容，剖析出命題的引入、命題的證明、命題的應(yīng)用等主要的教學(xué)結(jié)構(gòu)?！皢握{(diào)性與最大（小）值”教材中，特別重視讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程。一定要充分利用好函數(shù)圖像，讓學(xué)生觀察圖像而獲得對(duì)函數(shù)基本性質(zhì)的直觀認(rèn)知，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，滲透直觀想象素養(yǎng)。具體而言，學(xué)生函數(shù)單調(diào)性概念的形成經(jīng)歷了“三步曲”：第一步，觀察函數(shù)圖像，描述函數(shù)圖像的“上升”“下降”特征。以學(xué)生熟悉的一次函數(shù)f(x)=x和二次函數(shù)f(x)=x2為例，給出函數(shù)的圖像，讓學(xué)生從圖像獲得“上升”“下降”的整體認(rèn)識(shí)。第二步，結(jié)合圖表，用自然語(yǔ)言（變量的數(shù)據(jù)變化）描述函數(shù)圖像特征。針對(duì)二次函數(shù)f(x)=x2給出下面的表格（參見(jiàn)表1）。結(jié)合表1，引導(dǎo)學(xué)生用自然語(yǔ)言描述圖像特征“上升”“下降”，即圖像在y軸左側(cè)“下降”，也就是在區(qū)間(-∞,0)上，隨著x的增大，相應(yīng)地f(x)隨著減小；圖像在y軸右側(cè)“上升”，也就是在區(qū)間(0,+∞)上，隨著x的增大，相應(yīng)地f(x)也隨著增大。第三步，用數(shù)學(xué)符號(hào)的語(yǔ)言描述增（減）函數(shù)的形式化定義。首先，用數(shù)學(xué)符號(hào)的語(yǔ)言描述f(x)=x2在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)的定義。這里要解決的關(guān)鍵問(wèn)題是，在研究區(qū)間上如何用簡(jiǎn)捷的方法來(lái)刻畫(huà)函數(shù)變量之間的變化趨勢(shì)，保證其“任意性”，也即“怎么樣”和“為什么”取自變量的兩個(gè)值，并比較函數(shù)值的大小來(lái)描述f(x)=x2的單調(diào)性。然后，用數(shù)學(xué)符號(hào)的語(yǔ)言描述一般函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的增（減）函數(shù)定義，實(shí)現(xiàn)由特殊到一般，由具體到抽象的數(shù)學(xué)抽象思維。

表1 二次函數(shù) f (x )=x 2取值表

函數(shù)的單調(diào)性定義的“三步曲”是教材內(nèi)容呈現(xiàn)的順序，也是教材編寫(xiě)的明顯意圖。教學(xué)時(shí)，要特別重視從幾個(gè)實(shí)例的共同特征到一般性質(zhì)的歸納概括過(guò)程，并引導(dǎo)學(xué)生用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)加以表達(dá)。這往往是形成數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)學(xué)生探究能力的契機(jī)。本節(jié)教材體現(xiàn)的教學(xué)思路與教學(xué)結(jié)構(gòu)是以函數(shù)單調(diào)性定義的“三步曲”為主體，總體上，以“概念→應(yīng)用→拓展”為線索，具體如圖4所示。

2.分析教學(xué)方法

圖4 教材體現(xiàn)的教學(xué)思路與教學(xué)結(jié)構(gòu)

分析教學(xué)方法是指按照教學(xué)邏輯線，在梳理出教材教學(xué)思路基礎(chǔ)上，為實(shí)現(xiàn)教材體系內(nèi)容轉(zhuǎn)化為教師教學(xué)語(yǔ)言體系而確定所使用的方法和手段，為后續(xù)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)和學(xué)法指導(dǎo)做鋪墊。在操作上，分析者將確定采用具體的手段和行為要素將教學(xué)內(nèi)容串接起來(lái)。增（減）函數(shù)概念教學(xué)的“三步曲”中，教師主要引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納出函數(shù)圖像的變化特征，引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)據(jù)規(guī)律，講解出變量之間存在的變化關(guān)系，以及啟發(fā)學(xué)生從特例中提煉出一般規(guī)律，探究出如何用“任意兩點(diǎn)”的簡(jiǎn)捷方法來(lái)刻畫(huà)函數(shù)變量之間的變化情況，進(jìn)而用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述。整個(gè)過(guò)程主要用到分析、講解、歸納、探討等多種要素，因此，教師使用的教學(xué)方法主要包括講解法、探究法等；在研究函數(shù)圖像的變化情況和函數(shù)變量關(guān)系時(shí)，可以采用“幾何畫(huà)板”工具輔助教學(xué)，讓學(xué)生直觀感受到其中的規(guī)律；在函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用中，教師通過(guò)兩道例題引導(dǎo)學(xué)生鞏固增（減）函數(shù)的定義，會(huì)用圖像法和定義法判定函數(shù)的單調(diào)性。該過(guò)程主要通過(guò)應(yīng)用來(lái)鞏固新學(xué)知識(shí)，同時(shí)嘗試解決簡(jiǎn)單的單調(diào)性相關(guān)問(wèn)題。例1是為了強(qiáng)化圖像法判定函數(shù)單調(diào)性以及指出單調(diào)區(qū)間。例2是為了利用函數(shù)的單調(diào)性證明物理學(xué)重點(diǎn)玻意耳定律，讓學(xué)生感受到函數(shù)單調(diào)性的初步應(yīng)用；表明用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)性的基本步驟。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，重點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的定義法的應(yīng)用；在函數(shù)的最大（小）值的教學(xué)中，本質(zhì)上是函數(shù)單調(diào)性知識(shí)的拓展應(yīng)用，重點(diǎn)是用函數(shù)的單調(diào)性去解決函數(shù)的最大（?。┲祮?wèn)題。教師首先引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖像來(lái)理解最大（?。┲档亩x。然后，用數(shù)形結(jié)合的思想及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)求最大（?。┲?。

綜上，我們可以認(rèn)識(shí)到，本節(jié)教材特別重視讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，教學(xué)思路與教學(xué)結(jié)構(gòu)是以函數(shù)單調(diào)性定義的“三步曲”為主體，以“概念→應(yīng)用→拓展”為線索；主要采用講解法、探究法等教學(xué)方法，適當(dāng)采用“幾何畫(huà)板”軟件輔助教學(xué)。

三、教材分析的學(xué)習(xí)邏輯線

教材是基于學(xué)生的學(xué)科現(xiàn)實(shí)、生活現(xiàn)實(shí)背景編寫(xiě)的，符合學(xué)生學(xué)習(xí)的一般規(guī)律和成長(zhǎng)特征。它為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)提供基本線索，基本內(nèi)容和主要的活動(dòng)機(jī)會(huì)，是教學(xué)的重要資源。[6]教材分析的一條邏輯線就是學(xué)習(xí)邏輯線。按照學(xué)習(xí)邏輯線分析教材，學(xué)會(huì)換位思考，從學(xué)生的視角揣摩“如何學(xué)”的基本問(wèn)題，其主要要點(diǎn)有：分析教材如何突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)知識(shí)的，如何安排各種學(xué)習(xí)活動(dòng)的，學(xué)生是否適應(yīng)教材的各種安排等。

1.分析學(xué)習(xí)難點(diǎn)

分析學(xué)習(xí)難點(diǎn)是指按照學(xué)習(xí)邏輯線，在確定教材知識(shí)體系和教材重點(diǎn)基礎(chǔ)上，從學(xué)的視角來(lái)剖析學(xué)生不易理解的知識(shí)，或不易掌握的技能技巧。在操作上，主要分析新內(nèi)容與學(xué)生已有的認(rèn)知水平之間的落差情況。如果落差較大，則將其確定為學(xué)習(xí)難點(diǎn)。由于未學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分，學(xué)生對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性這一知識(shí)點(diǎn)所借助的直接經(jīng)驗(yàn)不多，因此，增（減）函數(shù)概念的形式化定義過(guò)程是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。教材安排上只能從圖像的變化進(jìn)行直觀理解，隨后再用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)圖像的“上升”和“下降”情況，這是一個(gè)從形到數(shù)的“翻譯”、從感性到理性、從直觀到抽象的認(rèn)識(shí)突破過(guò)程，這也是中國(guó)數(shù)學(xué)教材以直觀性強(qiáng)的知識(shí)為主的具體體現(xiàn)。[7]另外，函數(shù)單調(diào)性的證明也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)?，學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中第一次接觸到的代數(shù)論證形式，在這方面的推理論證能力還比較弱，尤其是有條理地表達(dá)推理論證過(guò)程的能力。

2.分析學(xué)習(xí)活動(dòng)

分析學(xué)習(xí)活動(dòng)是指按照學(xué)習(xí)邏輯線，在確定學(xué)習(xí)難點(diǎn)的基礎(chǔ)上，為實(shí)現(xiàn)教師教學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為學(xué)生學(xué)習(xí)語(yǔ)言而預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，特別是為消減學(xué)習(xí)難點(diǎn)而搭建合適的進(jìn)階。在“單調(diào)性與最大（?。┲怠币还?jié)中，學(xué)生要理解兩組定義（增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間；最大值、最小值）和解決兩類(lèi)問(wèn)題（判斷函數(shù)的單調(diào)性；求函數(shù)的最大值或最小值）。根據(jù)本節(jié)知識(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)，學(xué)生通過(guò)三個(gè)“探究”來(lái)完成增（減）函數(shù)概念的建立和理解；通過(guò)兩個(gè)“題組”的練習(xí)來(lái)強(qiáng)化函數(shù)單調(diào)性的理解和應(yīng)用。

探究1根據(jù)表格數(shù)據(jù)（表1二次函數(shù)f(x)=x2的取值表），如何用函數(shù)變量關(guān)系描述函數(shù)圖像的“上升”“下降”變化情況呢？

探究2（形式化語(yǔ)言描述變化）如何利用函數(shù)解析式f(x)=x2來(lái)描述“隨著x的增大，相應(yīng)地f(x)隨著減小”“隨著x的增大，相應(yīng)地f(x)也隨著增大”。

其中，探究3讓學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)單調(diào)性中的“任意性”，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生獲得感悟：通過(guò)觀察圖像，先對(duì)函數(shù)是否具有某種性質(zhì)做出猜想，然后通過(guò)邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數(shù)性質(zhì)的一種常用的方法。

題組1（教材練習(xí)1,2,3,4）：練習(xí)1是初步感受函數(shù)單調(diào)性的意義，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述變量規(guī)律；練習(xí)2是在練習(xí)1的基礎(chǔ)上用數(shù)學(xué)單調(diào)性的圖像語(yǔ)言描述生活中氣溫變化規(guī)律；練習(xí)3是承接例1強(qiáng)化圖像法判定函數(shù)單調(diào)性以及指出單調(diào)區(qū)間，與練習(xí)2相反的角度來(lái)強(qiáng)化函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；練習(xí)4承接例題2強(qiáng)化用定義法判定函數(shù)單調(diào)性。

題組2（教材練習(xí)5）：練習(xí)5是承接例3,4并在練習(xí)1,2,3的基礎(chǔ)上，尤其是掌握練習(xí)2中的畫(huà)圖方法基礎(chǔ)上，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的方法探求最大（小）值的方法。

綜上，本節(jié)中增（減）函數(shù)概念的形式化定義和函數(shù)單調(diào)性的證明是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)；學(xué)生主要進(jìn)行三個(gè)探究和兩組練習(xí)的學(xué)習(xí)活動(dòng)來(lái)完成理解兩組定義和解決兩類(lèi)問(wèn)題，經(jīng)歷“作圖、觀察、歸納、總結(jié)”“分析、討論、描述”“練習(xí)”等系列學(xué)習(xí)活動(dòng)。

四、教材分析的認(rèn)知邏輯線

教材編寫(xiě)一般要體現(xiàn)認(rèn)知目標(biāo)的定位和達(dá)成措施，因此教材分析中還蘊(yùn)含一條認(rèn)知邏輯線，即從目標(biāo)定位到目標(biāo)達(dá)成的邏輯線。按照認(rèn)知邏輯線分析教材，能了解到學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中或?qū)W習(xí)后在知識(shí)與技能，過(guò)程與方法，情感、態(tài)度、價(jià)值觀等單個(gè)或多個(gè)目標(biāo)點(diǎn)上發(fā)展的大致定位。按照認(rèn)知邏輯線分析教材就是要從預(yù)想中解決學(xué)生學(xué)得“怎么樣”的基本問(wèn)題。在操作上，主要對(duì)兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行具體分析：第一，學(xué)生在認(rèn)知上應(yīng)該有怎么樣的目標(biāo)定位？第二，學(xué)生通過(guò)怎么樣的方式達(dá)成目標(biāo)？對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題，可以從課程目標(biāo)意志和教材著力體現(xiàn)的認(rèn)知目標(biāo)來(lái)分析。

1.分析目標(biāo)定位

認(rèn)知目標(biāo)的定位和評(píng)價(jià)應(yīng)作為教材的一個(gè)有機(jī)組成部分貫穿在每一章的學(xué)習(xí)。[8]認(rèn)知目標(biāo)是章節(jié)內(nèi)容存在的依據(jù)所在，也是教材意圖的集中體現(xiàn)，因此，分析認(rèn)知目標(biāo)是凝練教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)。在操作上，可以在整體把握課程標(biāo)準(zhǔn)的目標(biāo)定位基礎(chǔ)上，繼解決“是什么”“如何教”“如何學(xué)”的問(wèn)題后，深入分析教材在知識(shí)、技能、過(guò)程、方法、情感、態(tài)度、價(jià)值觀等目標(biāo)點(diǎn)的體現(xiàn)，特別是關(guān)于前四個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的情況。在“單調(diào)性與最大（?。┲怠币还?jié)中，基于該節(jié)教材知識(shí)體系和教材內(nèi)容的“三步曲”呈現(xiàn)路徑，可以分析得到教材在學(xué)生認(rèn)知目標(biāo)上有如下預(yù)設(shè)：

（1）建立增（減）函數(shù)的概念：通過(guò)觀察一些函數(shù)圖像的升降，形成增（減）函數(shù)的直觀認(rèn)識(shí)。再通過(guò)具體函數(shù)值的大小比較，認(rèn)識(shí)函數(shù)值隨自變量的增大（減小）的規(guī)律，由此得出增（減）函數(shù)的定義。掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法與步驟。

（2）經(jīng)歷探究的過(guò)程，學(xué)會(huì)思考：函數(shù)單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象，從圖形語(yǔ)言到數(shù)學(xué)語(yǔ)言，理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間概念的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生通過(guò)自主探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，使學(xué)生形成數(shù)學(xué)思考的基本方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（3）掌握判定函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)最值的方法：學(xué)生在理解增（減）函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，掌握用圖像法和定義法判定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而會(huì)利用圖像和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大（小）值。

2.分析目標(biāo)達(dá)成

目標(biāo)達(dá)成是從靜態(tài)的教材語(yǔ)言體系向靜態(tài)的課程目標(biāo)的直接轉(zhuǎn)化和從動(dòng)態(tài)的教學(xué)話(huà)語(yǔ)體系向靜態(tài)的課堂目標(biāo)的間接轉(zhuǎn)換過(guò)程和方式。分析教材對(duì)目標(biāo)的達(dá)成過(guò)程和方式能為教學(xué)的實(shí)施提供有利的參考。教材在建立增（減）函數(shù)的概念過(guò)程中，采用圖像語(yǔ)言讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)圖像的“上升”“下降”變化趨勢(shì)，直觀認(rèn)識(shí)到函數(shù)單調(diào)性的意義，與此對(duì)應(yīng)，圖像法作為了判定函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最大（小）值的一種方法。在這個(gè)過(guò)程中，教材預(yù)設(shè)了對(duì)直觀想象核心素養(yǎng)的培育過(guò)程。而學(xué)生對(duì)于如何用形式化語(yǔ)言刻畫(huà)增（減）函數(shù)的定義通常會(huì)有困難，并且如何用這種形式化語(yǔ)言證明函數(shù)單調(diào)性也不容易。為了突破這些難點(diǎn)，教材在給出直觀認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，研究函數(shù)f(x)=x2在(0,+∞)上的數(shù)據(jù)變化規(guī)律，形成單調(diào)性的定性認(rèn)識(shí)：“在某區(qū)間上，隨著自變量x的增大，相應(yīng)地函數(shù)f(x)的值也隨著增大”。隨后，再通過(guò)定量方式探索“對(duì)于(0,+∞)上任意的x1，x2的值，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)”，形成刻畫(huà)函數(shù)單調(diào)性的形式化語(yǔ)言。整個(gè)過(guò)程經(jīng)歷了“三步曲”，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)培育過(guò)程。同時(shí)，在此過(guò)程中，學(xué)生加深了對(duì)已學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的理解，歸納出這三類(lèi)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性（參見(jiàn)表2），把已學(xué)知識(shí)和新學(xué)知識(shí)形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，再次經(jīng)歷簡(jiǎn)單建模過(guò)程。

表2 三類(lèi)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性

綜上，從認(rèn)知邏輯線分析可以看出，教材在目標(biāo)定位上主要在知識(shí)層面和過(guò)程與方法層面進(jìn)行了設(shè)定，并通過(guò)特定的方式，如滲透核心素養(yǎng)的培育過(guò)程來(lái)落實(shí)認(rèn)知目標(biāo)。在知識(shí)層面上，學(xué)生建立增（減）函數(shù)的概念，并加以理解；在過(guò)程與方法層面上，學(xué)生經(jīng)歷探究的過(guò)程，學(xué)會(huì)思考，掌握判定函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)最大（?。┲档姆椒?。

知識(shí)邏輯線、教學(xué)邏輯線、學(xué)習(xí)邏輯線、認(rèn)知邏輯線這四條教材分析線索是按漸進(jìn)思維順序展開(kāi)的，分別主要解決“是什么”“如何教”“如何學(xué)”“怎么樣”四個(gè)基本問(wèn)題，使教材分析按照問(wèn)題解決的線索延伸出去并向縱深方向發(fā)展，因此，四條邏輯主線在本質(zhì)上是按照問(wèn)題解決的主線展開(kāi)的。四條邏輯線是基于教材分析的學(xué)科知識(shí)、教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)、考核評(píng)價(jià)的四個(gè)視角延伸出來(lái)的[9]，它們共同構(gòu)成了教材分析的主體模型（參見(jiàn)圖5）。從案例中可以看出，按照這個(gè)模型分析教材時(shí)，我們需要抓住八個(gè)分析要點(diǎn)，即知識(shí)體系分析、教材重點(diǎn)分析、教學(xué)思路分析、教學(xué)方法分析、學(xué)習(xí)難點(diǎn)分析、學(xué)習(xí)活動(dòng)分析、核心素養(yǎng)分析和認(rèn)知目標(biāo)分析。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)我們分析了八個(gè)要點(diǎn)時(shí)，對(duì)教材就能得到較為全面的理解。教師在分析教材時(shí)不僅要按照這種邏輯線索開(kāi)展，還要結(jié)合教學(xué)的實(shí)際需求對(duì)教材進(jìn)行合理重組、創(chuàng)造[10]，此外，分析教材還要根據(jù)具體的教材內(nèi)容采用一些策略，比如目標(biāo)化策略、結(jié)構(gòu)化策略、生活化策略、主體化策略、教學(xué)程序化策略、工具化策略、縱橫比較策略、反思性策略等[11]，以保障教材分析的充分性、系統(tǒng)性和有效性?！?/p>

圖5 教材分析的主體模型