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    基于“灰度不減”公理的改進(jìn)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型

    2019-03-05 06:01:12謝秀萍
    統(tǒng)計(jì)與決策 2019年2期
    關(guān)鍵詞:灰數(shù)測度預(yù)測值

    李 翀,謝秀萍

    (福州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,福州 350116)

    0 引言

    灰色系統(tǒng)理論的研究對象之一是灰色預(yù)測模型,其中,GM(1,1)模型又是灰色預(yù)測理論的基礎(chǔ)模型。目前關(guān)于GM(1,1)模型的研究主要是從模型的性質(zhì)以及適用范圍[1,2],背景值構(gòu)建[3,4];初始值選擇[5,6];與其他算法的組合[7,8];引入時(shí)間項(xiàng)[9,10];建模序列的優(yōu)化[11,12];模型求解[13]等。GM系列模型是以確定數(shù)據(jù)為建模序列,無法直接對含有不確定數(shù)據(jù)的序列進(jìn)行有效建模。隨著信息復(fù)雜性的增長,具有不確定特征的序列已隨處可見,這類的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行建模已引起眾多學(xué)者的關(guān)注。根據(jù)建模序列數(shù)據(jù)類型可以分為兩種:區(qū)間灰數(shù)序列預(yù)測[14-17]和灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)序列預(yù)測[17,18]。其中區(qū)間灰數(shù)序列建模方法主要有:(1)基于序列的幾何特征[14,15];(2)基于序列的表征信息[16,17];(3)組合模型[17,18]等。目前,無論是區(qū)間灰數(shù)序列還是異構(gòu)數(shù)據(jù)序列預(yù)測模型,主要思想是將灰數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)構(gòu)建預(yù)測模型,再還原為區(qū)間灰數(shù)。對于灰度波動(dòng)較大的區(qū)間灰數(shù)序列,此類模型不僅對灰度變化較大的區(qū)間灰數(shù)擬合精度低,并且不能反映灰數(shù)灰度的未來的發(fā)展趨勢。

    對于區(qū)間灰數(shù)序列,本文將分析在核和“灰度不減”公理下構(gòu)建的傳統(tǒng)預(yù)測模型的誤差情況。重新構(gòu)造兩組能夠反映上、下界變化特征的核序列,分別構(gòu)建DGM(1,1)模型;根據(jù)將兩組預(yù)測值與傳統(tǒng)預(yù)測模型結(jié)合;最后推導(dǎo)得到新的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型,并用算例驗(yàn)證了模型的可行性。

    1 基本概念

    定義1[19]:既有下限a(k)又有上限b(k)的灰數(shù)稱為區(qū)間

    定義2[19]:區(qū)間灰數(shù)?(k)的取值范圍稱為測度或信息域,記做u(k)=b(k)-a(k)。

    定 義 3[19]:存 在 區(qū) 間 灰 數(shù) ?(k)∈[a(k),b(k)],則 稱灰數(shù),記為為灰數(shù)?(k)的核;

    公理1[19]:(灰度不減公理)兩個(gè)灰度不同的灰數(shù)進(jìn)行和、差、積、商運(yùn)算時(shí),運(yùn)算結(jié)果的灰度不小于灰度較大的灰數(shù),為計(jì)算方便,通??蓪⑦\(yùn)算結(jié)果的灰度取為灰度較大的灰數(shù)的灰度。

    推論1[19]:兩個(gè)信息域不同的區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行和、差、積、商運(yùn)算時(shí),運(yùn)算結(jié)果的信息域不小于信息域較大的區(qū)間灰數(shù)的信息域。

    設(shè)存在區(qū)間灰數(shù)序列X(?)={? (1),?(2),...,?(n)} ,其中 ?(k)∈[a(k),b(k)],根據(jù)定義1和定義2,由每個(gè)灰元的“核”和“測度”分別構(gòu)成X(?)的核序列X0(?0)和測度序列UX,記作:

    2 基于“灰度不減”公理的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型

    2.1 基于“灰度不減”公理的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型建模原理

    設(shè) 有 區(qū) 間 灰 數(shù)X(?)={? (1),?(2),...,?(n)},?(k)其核序列和測度序列分別為:

    對核序列X0(?0)構(gòu)建預(yù)測模型得到擬合序列

    根據(jù)定義2和定義3,建立方程組:

    解方程組得:

    稱(1)為區(qū)間灰數(shù)序列X(?)的傳統(tǒng)預(yù)測模型。

    2.2 傳統(tǒng)預(yù)測模型誤差分析

    由公式(1)可知,序列X(?)的上、下限預(yù)測值分別為:

    (1)當(dāng)核預(yù)測值不存在誤差時(shí)。假設(shè)?0(k+1)=?0即將模型誤差都轉(zhuǎn)移到測度預(yù)測誤差上,則式(1)可調(diào)整為:

    則區(qū)間灰數(shù)下、上限誤差值分別為:

    由公式(2)、公式(3)可知,當(dāng)核預(yù)測值不存在誤差時(shí),區(qū)間灰數(shù)的上、下限誤差值存在關(guān)系ε1(k+1)+ε2(k+1)=0,且ε1(k+1)≥0,ε2(k+1)≤0

    (2)當(dāng)測度預(yù)測值不存在誤差時(shí),假設(shè)預(yù)測誤差都轉(zhuǎn)移到核預(yù)測上,即其中即將測度預(yù)測值的誤差都轉(zhuǎn)移到核預(yù)測誤差上,則式(1)可調(diào)整為:

    此時(shí),區(qū)間灰數(shù)下、上限誤差值相等,為:

    綜合公式(2)至公式(4)可得傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型的下、上限的誤差分別為:

    下、上限的平均誤差為:

    3 基于“灰度不減”公理改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型

    3.1 基于“灰度不減”公理改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型構(gòu)建

    上限預(yù)測誤差為ε2(k+1)=0

    證畢。

    由命題1可知對于傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型,當(dāng)對上、限分別取核預(yù)測值分別為和時(shí),區(qū)間灰數(shù)預(yù)測誤差為0。當(dāng)定義上、下限的核序列分別為時(shí),可以提高模型預(yù)測精度。

    為GM(1,1)模型的離散形式,簡稱DGM(1,1)模型;其中

    累減還原式為:

    由式(9)和式(10)可得到序列

    =[ρ,ρ]T,其中:

    將上、下限核預(yù)測值分別帶入公式(1)的上、下限預(yù)測模型,得到新的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型為:

    稱式(13)為改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型。

    3.2 基于“灰度不減”公理改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型建模步驟

    基于傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型具體建模步驟為:

    (1)由定義2得到序列X(?)的測度序列,得到最大測度值;

    (2)由定義4分別確定序列X(?)的下、上限核序列;

    (3)分別構(gòu)建上、下限核序列的預(yù)測模型;

    (4)將上、下限核序列的預(yù)測帶入公式(1)。

    3.3 基于“灰度不減”公理改進(jìn)的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型性質(zhì)分析

    (1)模型的適用范圍

    本文所研究的預(yù)測模型,通過對上、下限取不同的核序列,并分別建立DGM(1,1)模型,再結(jié)合“灰度不減公理”確定上、下限預(yù)測值。因此,模型的適用范圍主要取決于DGM(1,1)模型的適用范圍。

    (2)模型預(yù)測值測度分析:

    對于模型(13),其預(yù)測值的測度為:

    與傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型想比,其預(yù)測區(qū)間的測度隨著區(qū)間灰數(shù)上下限的變化而變化,對于測度變化較大的區(qū)間灰數(shù)序列預(yù)測具有較好的適應(yīng)性。

    (3)預(yù)測值誤差分析

    4 算例分析

    為了便于建模精度比較,將文獻(xiàn)[20]的算例和建模方法與傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)建模方法及本文構(gòu)建的區(qū)間灰數(shù)序列的預(yù)測模型的擬合結(jié)果進(jìn)行比較,以驗(yàn)證新模型的有效性。

    表1 X(?)中的區(qū)間灰數(shù)

    根據(jù)本文建模過程構(gòu)建表1中序列X(?)的預(yù)測模型,具體步驟如下:

    (1)計(jì)算序列X(?)的測度最大值

    由定義2得到區(qū)間灰數(shù)序列X(?)的測度序列為測度最大值為測隊(duì)最小值為測度極值之差為顯然區(qū)間灰數(shù)序列X(?)的測度變化較大。

    (2)構(gòu)造上、下限核序列

    (3)構(gòu)造上、下限核序列的預(yù)測模型

    對上、下限核序列建立DGM(1,1)模型,可得:

    (4)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型構(gòu)建

    由式(13)可得:

    根據(jù)上式得到列X(?)的預(yù)測值,并與公式(1)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,如下頁表2所示。

    表2 模擬結(jié)果比較

    由表2可知,本文構(gòu)建模型的平均相對誤差為1.61%,遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)方法,同時(shí)也小于文獻(xiàn)[20]方法的平均相對誤差,也就是本文模型有良好的預(yù)測精度。由表3對比三種方法得到的預(yù)測值的測度發(fā)現(xiàn),公式(1)得到的測度預(yù)測值是保持不變的,而其他兩種方法的測度具有時(shí)變性。綜合考慮擬合值的預(yù)測誤差和測度的時(shí)變性,本文方法具有較好的擬合和預(yù)測效果。

    表3 預(yù)測值測度比較

    5 結(jié)論

    基于核和“灰度不減”公理構(gòu)建的區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型,對于灰度或測度波動(dòng)大的序列擬合效果不好,且無法預(yù)測序列測度的發(fā)展趨勢。本文首先分析了傳統(tǒng)區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型的上、下限預(yù)測值的誤差組成,為提高區(qū)間灰數(shù)上下限的擬合精度,在原模型基礎(chǔ)上,分別構(gòu)造新的上、下限核序列;然后分別建立上、下限核序列預(yù)測模型;最后將上、下限核序列預(yù)測值帶入傳統(tǒng)預(yù)測模型中,推導(dǎo)得到新的預(yù)測模型。新的預(yù)測模型不僅遵循了“灰度不減”公理,同時(shí)通過對上、下限取不同的核預(yù)測值提高了模型的擬合精度。實(shí)現(xiàn)對測度波動(dòng)較大序列的有效擬合,同時(shí)考慮序列的動(dòng)態(tài)發(fā)展,使測度具有時(shí)變性,從而擴(kuò)大了模型的應(yīng)用范圍。

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