基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好距離的多屬性決策研究

劉東海,劉原園,陳曉紅

(1.湖南科技大學(xué)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)系，湖南 湘潭 411201;2.湖南商學(xué)院 湖南省移動(dòng)電子商務(wù)協(xié)同創(chuàng)新中心，湖南 長(zhǎng)沙 410205)

1 引言

1965年，Zadeh[1]在X={x1,x2,…,xn}上定義了模糊集A={(xi,μA(xi))xi∈X},其中μA(xi)∈[0,1]表示xi∈X的隸屬度。Atanassov[2]認(rèn)為模糊集只考慮了xi∈X的隸屬度并沒(méi)有考慮其非隸屬度，為了更好地對(duì)相關(guān)信息進(jìn)行描述，提出了直覺(jué)模糊集A′={xi,(μA′(xi),νA′(xi),πA′(xi))xi∈X},且μA′(xi)+νA′(xi)+πA′(xi)=1,其中μA′(xi),νA′(xi),πA′(xi)∈[0,1]分別表示xi∈X的隸屬度，非隸屬度和猶豫度。人們常用直覺(jué)模糊集來(lái)描述和處理多屬性群決策問(wèn)題中的不確定信息，如Liang等[3]針對(duì)混合型的不完全評(píng)價(jià)信息，提出了一種基于直覺(jué)模糊集和證據(jù)理論的決策方法，解決了供應(yīng)商選擇的多屬性決策問(wèn)題，Yue[4]將直覺(jué)模糊集理論應(yīng)用到雙邊匹配決策領(lǐng)域中，給出了一種直覺(jué)模糊集信息下雙邊匹配的決策途徑。直覺(jué)模糊集中隸屬度和非隸屬度是用確定的數(shù)值表示，在一些決策問(wèn)題中，由于決策環(huán)境的復(fù)雜性、不確定性以及決策者對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象的主觀認(rèn)識(shí)，此時(shí)人們無(wú)法用精確的數(shù)值來(lái)對(duì)他們進(jìn)行評(píng)價(jià)。例如，評(píng)價(jià)某一公司投資方案的優(yōu)劣時(shí)，決策者可能會(huì)說(shuō)“這個(gè)投資方案整體上是好的，但可行性有一點(diǎn)弱”等語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)，語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)表達(dá)的觀點(diǎn)與人們的認(rèn)知非常接近，但其運(yùn)算有點(diǎn)復(fù)雜。Zadeh[5-7]定義了語(yǔ)言集S，用語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)表達(dá)決策信息，如七值語(yǔ)言集S可表示為S={s0:非常低,s1:很低,s2:低,s3:中等,s4:高,s5:很高,s6:非常高}。一些學(xué)者利用語(yǔ)言集表達(dá)信息的可行性和靈活性來(lái)考慮多屬性群決策問(wèn)題，如Herrera等[8]考慮了語(yǔ)言評(píng)估的一致性，進(jìn)一步Herrera等[9]利用語(yǔ)言有序加權(quán)算子研究了個(gè)體語(yǔ)言偏好關(guān)系的群決策問(wèn)題，Xu Zeshui[10]提出了利用語(yǔ)言混合聚合算子解決具有不確定乘性語(yǔ)言偏好關(guān)系的群決策問(wèn)題。但在一些實(shí)際問(wèn)題的評(píng)價(jià)中，如專家組對(duì)某地區(qū)的洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行評(píng)估時(shí)，決策者認(rèn)為該地區(qū)的風(fēng)險(xiǎn)“有可能是中等，有可能是高”，此時(shí)無(wú)法用單一的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)來(lái)表達(dá)他們的評(píng)價(jià)信息[11]。為此，Liao Huchang等[13]提出了猶豫模糊語(yǔ)言集HS={(xi,MS(xi)xi∈X)}，其中MS(xi)是由多個(gè)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)構(gòu)成的集合，如MS(xi)={s3,s4}表示xi∈X隸屬度有可能是中等，有可能是高。猶豫模糊語(yǔ)言集雖能靈活地反映決策者的猶豫程度，但它沒(méi)有表示xi∈X語(yǔ)言評(píng)價(jià)術(shù)語(yǔ)的非隸屬度，并沒(méi)有全面反映決策者對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象的評(píng)價(jià)情況。為此，Beg和Rashid[14]提出了猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集ES={(xi,MS(xi),NS(xi))xi∈X}，其中MS(xi),NS(xi)是語(yǔ)言集的子集，分別表示xi∈X語(yǔ)言評(píng)價(jià)術(shù)語(yǔ)的隸屬度和非隸屬度。

另一方面，基于距離測(cè)度的決策方法是多屬性決策問(wèn)題中一種重要的決策方法，它是描述評(píng)價(jià)集合之間不同性的一種度量。一些學(xué)者對(duì)語(yǔ)言集、猶豫模糊語(yǔ)言集、猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集的距離進(jìn)行了研究，并將它們廣泛應(yīng)用到數(shù)據(jù)挖掘、模式識(shí)別等領(lǐng)域。Xu Zeshui[15]定義了語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)的偏離度，并將其應(yīng)用于語(yǔ)言偏好關(guān)系的群決策問(wèn)題，但此距離僅適合兩個(gè)語(yǔ)言集語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)個(gè)數(shù)相同的情況。Liao Huchang等[16]在Xu Zeshui[15]的基礎(chǔ)上考慮了當(dāng)兩個(gè)猶豫模糊語(yǔ)言集語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)個(gè)數(shù)不相同時(shí)，根據(jù)決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好將兩個(gè)猶豫模糊語(yǔ)言集的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)個(gè)數(shù)添加至相同，并定義了猶豫模糊語(yǔ)言集的混合Hamming距離和混合Euclidean距離，提出了基于相應(yīng)距離測(cè)度的決策方案排序問(wèn)題。進(jìn)一步Beg和Rashid[14]提出了猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集的包絡(luò)距離，在這個(gè)距離測(cè)度中，只用了語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)隸屬度與非隸屬度的最大值和最小值，并沒(méi)有考慮其余的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)評(píng)價(jià)值，這就有可能出現(xiàn)評(píng)價(jià)信息失真的情況。在文獻(xiàn)[14-16]中定義的語(yǔ)言集距離均是用語(yǔ)言變量的下標(biāo)值計(jì)算，這失去了語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)集本身表達(dá)的優(yōu)勢(shì)，且沒(méi)有體現(xiàn)在不同語(yǔ)義環(huán)境下語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)評(píng)價(jià)值的差別?；谏鲜鲅芯?，本文將運(yùn)用語(yǔ)言尺度函數(shù)，定義基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好的Hamming距離，提出基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集距離測(cè)度的TOPSIS和TODIM的多屬性群決策方法，并利用這兩種方法對(duì)評(píng)估對(duì)象進(jìn)行排序。

本文的結(jié)構(gòu)是：第二節(jié)給出了預(yù)備知識(shí)；第三節(jié)定義了基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差的距離測(cè)度，并證明了它的相關(guān)性質(zhì)；第四節(jié)給出了基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差距離的TOPSIS和TODIM決策方法；第五節(jié)通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了上述方法的可行性和有效性，并與已有方法進(jìn)行了比較；第六節(jié)對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié)，并對(duì)將要進(jìn)行的研究做了展望。

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 語(yǔ)言集

定義1[5]設(shè)S={s0,s1,…,s2t}是由語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)組成的集合, 且滿足: (1) 逆運(yùn)算neg(si)=sj,i+j=2t;(2)有序性：si≤sj?i≤j,且當(dāng)sj≥si時(shí)，最大算子max(si,sj)=sj;當(dāng)si≤sj時(shí)，最小算子min(si,sj)=si，滿足上述條件的集合S稱為語(yǔ)言集，2t+1為語(yǔ)言集S中語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)的個(gè)數(shù)。

(1)si⊕sj=si+j;(2)λsi=sλi;(3)當(dāng)j>i時(shí)，sj>si。

2.2 猶豫直覺(jué)模糊集

2.3 猶豫模糊語(yǔ)言集

定義3[13]設(shè)X={x1,x2,…,xn},si∈S,則定義在X上的猶豫模糊語(yǔ)言集HS={(xi,MS(xi)xi∈X)},其中MS(xi)?S,MS(xi)中的每個(gè)元素表示xi∈X的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)評(píng)價(jià)值隸屬度。

2.4 猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集

定義4[14]定義在X={x1,x2,…,xn}上的猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集ES={(xi,MS(xi),NS(xi))|xi∈X},其中MS(xi),NS(xi)?S，分別表示xi∈X的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)評(píng)價(jià)的隸屬度和非隸屬度。當(dāng)X中只有一個(gè)元素xi時(shí)，簡(jiǎn)記ES={MS,NS},稱其為猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言數(shù)。

當(dāng)人們應(yīng)用語(yǔ)言信息解決多屬性決策問(wèn)題時(shí), 是利用語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)下標(biāo)直接進(jìn)行計(jì)算，在運(yùn)算過(guò)程中可能會(huì)造成信息的丟失，為了克服這個(gè)問(wèn)題，Xu Zeshui[19]利用語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)與其下標(biāo)之間的嚴(yán)格遞增關(guān)系，提出了基于語(yǔ)言標(biāo)度中術(shù)語(yǔ)指標(biāo)的多屬性群決策方法，由于在不同語(yǔ)義環(huán)境下語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象的表達(dá)有一定的差異性，為了刻畫(huà)這種抽象程度的差異性，可以利用語(yǔ)言尺度函數(shù)對(duì)不同語(yǔ)義環(huán)境下的語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)賦予確定的數(shù)值。語(yǔ)言尺度函數(shù)的靈活性以及描述不同語(yǔ)義環(huán)境下評(píng)價(jià)對(duì)象的差異性等優(yōu)點(diǎn)，使它在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。

定義5[19]設(shè)S={s0,s1,…,s2t}為語(yǔ)言集,si∈S,如果存在嚴(yán)格單調(diào)的遞增映射f:si→θi,

(i=0,1,,…,2t)，則稱f為語(yǔ)言尺度函數(shù)。常用的語(yǔ)言尺度函數(shù)有以下三種[20]：

(1)f1(si)=θi=i/2t(i=0,1,…,2t)，θi∈[0,1]

(2)f2(si)=θi=

(3)f3(si)=θi=

當(dāng)語(yǔ)言集S為七值語(yǔ)言集時(shí)，此時(shí)語(yǔ)言尺度函數(shù)f2(si)中a通常取值為1.37,語(yǔ)言尺度函數(shù)f3(si)中ξ,η通常取值為0.88[21]。

為對(duì)不同的直覺(jué)模糊數(shù)進(jìn)行比較，Xu Zeshui[22]基于直覺(jué)模糊數(shù)的得分函數(shù)和精確函數(shù)提出了直覺(jué)模糊數(shù)的比較法則。這種比較方法得到了廣泛的推廣，在Xu Zeshui[22]的基礎(chǔ)上，F(xiàn)aizi等[23]提出了猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言數(shù)的得分函數(shù)，精確函數(shù)以及猶豫直覺(jué)度函數(shù)。

定義6[23]設(shè)S={s0,s1,…,s2t}為語(yǔ)言集，ES={MS,NS}為某一猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言數(shù)，其得分函數(shù)為S(ES)=s(MS)-s(NS),精確函數(shù)為A(ES)=s(MS)+s(NS),猶豫直覺(jué)度函數(shù)為

基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言數(shù)的得分函數(shù)和精確函數(shù)，F(xiàn)aizi等[23]給出了兩個(gè)猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言數(shù)ES1,ES2的比較法則：

(1)如果S(ES1)>S(ES2),則有ES1?ES2;

(2)如果S(ES1)=S(ES2)且A(ES1)>A(ES2),則有ES1?ES2;

(3)如果S(ES1)=S(ES2)且A(ES1)=A(ES2),則有ES1=ES2。

3 基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差的偏好距離

基于距離測(cè)度的決策方法是多屬性決策問(wèn)題的一種重要決策方法，常用于分析兩個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象集合的差異。當(dāng)兩個(gè)猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集的得分函數(shù)和精確函數(shù)都相等時(shí)，此時(shí)無(wú)法利用Faizi等[23]提出的法則對(duì)它們進(jìn)行比較，但利用距離測(cè)度能很好地解決這個(gè)問(wèn)題。有學(xué)者對(duì)猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集的距離測(cè)度進(jìn)行了研究，如Beg和Rashid[14]提出了猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集的包絡(luò)距離測(cè)度：

定義7[14]定義X={x1,x2,…,xn}在上的猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集A的包絡(luò)可以表示為：env(A)={(xi;[min(MS(xi)),max(MS(xi))],[min(NS(xi)), max(NS(xi)]xi∈A)},為了方便，將env(A(xi))=[min(MS(xi)),max(MS(xi))],[min(NS(xi)),max(NS(xi)]記為猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集的包絡(luò)元素。

例 1 設(shè)EA(x),EB(x)和EC(x)為三個(gè)猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言數(shù),EA(x)=([s6,s6],[s1,s2]),EB(x)=([s5,s5],[s2,s2]),EC(x)=([s6,s6],[s4,s4]),由Faizi等[23]的比較法則，有EC(x)EB(x)EA(x),則EA(x)與EC(x)的偏差大于EB(x)與EC(x)的偏差。

而由Beg和Rashid[14]定義的距離測(cè)度，有d(EA(x),EC(x))=|6-6|+|6-6|+|1-4|+|2-4|=5；d(EB(x),EC(x))=6,即d(EA(x),EC(x))

這時(shí)EA(x)與EC(x)的偏差小于EB(x)與EC(x)的偏差。由Beg等[14]定義的距離來(lái)看,顯然不滿足:當(dāng)EC(x)?EB(x)?EA(x)時(shí),d(EA(x),EC(x))≥d(EB(x),EC(x)),d(EA(x),EC(x))≥d(EA(x),EB(x))。

我們可以看到，Beg和Rashid[14]定義的距離測(cè)度只考慮了隸屬度的最大值和最小值，并沒(méi)有考慮其它語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)評(píng)價(jià)值的信息，同時(shí)它也忽略了猶豫模糊集多值評(píng)價(jià)的顯著特點(diǎn)；另一方面，該距離的計(jì)算是直接運(yùn)用語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)評(píng)價(jià)值的下標(biāo)，這不僅失去了語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)表達(dá)實(shí)際問(wèn)題的靈活性，而且也沒(méi)有考慮不同語(yǔ)義環(huán)境下語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)評(píng)價(jià)值的差別。

為克服上述距離的不足之處，基于語(yǔ)言尺度函數(shù)，我們來(lái)定義猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好的Hamming距離。

定義9設(shè)兩個(gè)猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言數(shù)為ES1={MS1,NS1}和ES2={MS2,NS2},基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言數(shù)均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好的Hamming距離定義為：

α,β為非負(fù)常數(shù)，且α+β=1;Emi,Eni?(i=1,2)分別為xi的隸屬度和非隸屬度的均值；Smi,Sni(i=1,2)分別為xi的隸屬度和非隸屬度的標(biāo)準(zhǔn)差;#MS1,#NS1, #MS2,#NS2分別為對(duì)應(yīng)集合中元素的個(gè)數(shù)，f(·)為語(yǔ)言尺度函數(shù)。

定理1設(shè)ES1={MS1,NS1},ES2={MS2,NS2}和ES3={MS3,NS3}為猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言數(shù)，基于兩個(gè)猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言數(shù)均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好的Hamming距離滿足以下性質(zhì)：

(1)0≤d(ES1,ES2)≤1;(2)d(ES1,ES2)=d(ES2,ES1);(3)d(ES1,ES2)≤d(ES1,ES3)+d(ES3,ES2)。

(2)證明： ∵Em1-Em2=Em2-Em1,En1-En2=En2-En1,Sm1-Sm2=Sm2-Sm1,Sn1-Sn2=Sn2-Sn1,

∴d(ES1,ES2)=d(ES2,ES1)。

(3)證明：∵Em1-Em2=Em1-Em3+Em3-Em2≤Em1-Em3+Em3-Em2;

同理En1-En2≤En1-En3+En3-En2,

Sm1-Sm2≤Sm1-Sm3+Sm3-Sm2,Sn1-Sn2≤Sn1-Sn3+Sn3-Sn2;

(3.1)

(3.2)

由(3.1)和(3.2)式可得：d(ES1,ES2)≤d(ES1,ES3)+d(ES3,ES2)

例 2 利用定義9中的距離繼續(xù)考慮例1。

我們定義基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好的Hamming距離如下：

α,β為非負(fù)常數(shù)，且α+β=1;Emji,Enji(j=1,2)分別為xi的隸屬度和非隸屬度的均值；Smji,Snji(j=1,2)分別為xi的隸屬度和非隸屬度的標(biāo)準(zhǔn)差;#MS1i,#NS1i, #MS2i,#NS2i分別為對(duì)應(yīng)集合中元素的個(gè)數(shù),f(·)為語(yǔ)言尺度函數(shù)。

與定理1的證明方法類似，容易證明d(EA1(x),EA2(x))滿足定理1中的三條性質(zhì)。

4 基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集距離測(cè)度的多屬性決策

下面我們將給出基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好Hamming距離的TOPSIS和TODIM的多屬性決策方法。

4.1 基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差距離測(cè)度的TOPSIS方法

TOPSIS方法是多屬性決策過(guò)程中一種經(jīng)典方法，它利用各方案與正理想解和負(fù)理想解的距離來(lái)對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象進(jìn)行排序[16,24]。最好的評(píng)價(jià)方案離“正理想解”距離最近，同時(shí)離“負(fù)理想解”距離最遠(yuǎn)，反之為最差。TOPSIS方法的優(yōu)點(diǎn)是考慮了不同屬性的類型，通過(guò)綜合評(píng)價(jià)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)評(píng)價(jià)方案的優(yōu)劣，計(jì)算簡(jiǎn)便，可以很快地得到方案的排序結(jié)果；該方法的不足之處是依賴于距離測(cè)度，使用不同的距離測(cè)度可能得到不同的排序結(jié)果?；讵q豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好Hamming距離測(cè)度的TOPSIS方法具體步驟如下：

步驟1.給出猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言決策矩陣ESt(t=1,2,…,k);

步驟2.對(duì)k個(gè)猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言決策矩陣進(jìn)行聚合，得ES=(ESij)i=1,2,…,mj=1,2,…,n,

步驟3.確定正理想解ES+和負(fù)理想解ES-;對(duì)于效益型J1和成本型J2兩種屬性，正理想解和負(fù)理想解分別可以表示為：

ES+={maxESi1,maxESi2,…,maxESin},j∈J1,i=1,2,…,m;ES-={minESi1,minESi2,…,minESin},j∈J1,i=1,2,…,m;

ES+={minESi1,minESi2,…,minESin},j∈J2,i=1,2,…,m;ES-={maxESi1,maxESi2,…,maxESin},j∈J2,i=1,2,…,m;其中maxESij,minESij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)由Faizi等[23]的比較法則確定。

步驟5.計(jì)算每個(gè)方案的綜合評(píng)價(jià)指數(shù)Hi=di-/(di++di-);

步驟6.對(duì)方案進(jìn)行排序：綜合評(píng)價(jià)指數(shù)越大，相應(yīng)的方案越優(yōu)。

4.2 基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差距離測(cè)度的TODIM方法

TODIM方法是一種基于前景理論的多屬性決策方法，是通過(guò)建立排序值函數(shù)計(jì)算備選方案的優(yōu)勢(shì)度來(lái)對(duì)方案進(jìn)行排序，這種方法可以有效地根據(jù)決策者的心理行為處理多屬性決策問(wèn)題中的不確定信息[25]。其優(yōu)點(diǎn)是根據(jù)決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好來(lái)調(diào)整計(jì)算過(guò)程中的參數(shù)，做出符合決策者心理的決策結(jié)果[26]，不足之處是參數(shù)取值條件的復(fù)雜性。對(duì)于4.1節(jié)中所考慮的決策問(wèn)題，基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好距離的TODIM方法步驟如下：

步驟1.給出猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言決策矩陣ESt(t=1,2,…,k);

步驟2.對(duì)k個(gè)猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言決策矩陣ESt進(jìn)行聚合；

步驟3.對(duì)聚合決策矩陣ES標(biāo)準(zhǔn)化，多屬性決策問(wèn)題中，屬性有效益型J1和成本型J2,通?？梢詫Q策矩陣ES=(ESij)m×n標(biāo)準(zhǔn)化為

其中neg(MSij,NSij)為語(yǔ)言集的逆算子。

步驟4.計(jì)算屬性的相對(duì)權(quán)重，根據(jù)參照準(zhǔn)則Cl(通常選取屬性權(quán)重最大的準(zhǔn)則作為參照準(zhǔn)則)，對(duì)于給定的每個(gè)屬性權(quán)重ωj，計(jì)算它們相對(duì)于參照屬性Cl的相對(duì)權(quán)重ωj*=ωj/ωl;

步驟5.計(jì)算優(yōu)勢(shì)度矩陣，在屬性Cj下方案Ai優(yōu)于Ap的優(yōu)勢(shì)度φj(Ai,Ap)為

其中θ表示決策者對(duì)損失的敏感程度，θ越小表示決策者對(duì)損失的規(guī)避程度越高，具體的值可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行選擇；q(q≥1)為控制變量，根據(jù)決策者的偏好決定其值。

步驟8.對(duì)方案進(jìn)行排序：綜合排序值ζ(Ai)越大，方案越優(yōu)。

5 數(shù)值實(shí)例

為了說(shuō)明本文提出方法的可行性和有效性，我們采用Faizi等[23]中的實(shí)例和數(shù)據(jù)。

假設(shè)某一單位招標(biāo)建筑商修建辦公大樓，他們收到四家不同建筑商A1,A2,A3,A4的方案。為了選擇一家合適的建筑商，單位擬從建筑花費(fèi)C1,建筑材料C2,建筑進(jìn)程C3,技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)C4和合約保證C5五個(gè)方面來(lái)對(duì)四家建筑商的方案進(jìn)行決策。三個(gè)專家(D1,D2,D3)構(gòu)成的評(píng)審組對(duì)四個(gè)方案用七值的語(yǔ)言集S={s0:非常差,s1:差,s2:較差,s3:一般,s4:好,s5:較好,s6:非常好}從五個(gè)方面來(lái)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，選擇一家最優(yōu)的建筑商。五個(gè)屬性對(duì)應(yīng)的權(quán)重為ω=(ω1,ω2,ω3,ω4,ω5)=(0.2,0.4,0.2,0.1,0.1)T。

5.1 基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好距離的TOPSIS方法

步驟1.專家的評(píng)價(jià)既表達(dá)了方案Ai在屬性Cj下的隸屬度，又表達(dá)了非隸屬度，此時(shí)用猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集表達(dá)相關(guān)信息更為合適，對(duì)應(yīng)的決策矩陣見(jiàn)(表1～表3)：

表1 第一個(gè)專家的決策矩陣

表2 第二個(gè)專家的決策矩陣

表3 第三個(gè)專家的決策矩陣

步驟2.再利用4.1節(jié)中的決策步驟，得到四個(gè)方案的綜合評(píng)價(jià)指數(shù)H1=0.5012,H2=0.3208,H3=0.6677,H4=0.2661;故該單位應(yīng)選擇第三家建筑商修建辦公大樓。

類似地，當(dāng)語(yǔ)言尺度函數(shù)為f2si(i=1,2,…,6,t=3,a=1.37),α=0.1,β=0.9,對(duì)應(yīng)方案的排序?yàn)锳3?A1?A2?A4,此時(shí)最優(yōu)方案為A3；當(dāng)語(yǔ)言尺度函數(shù)為f3(si)(i=1,2,…,6,t=3,ξ=η=0.88,α=0.1,β=0.9),對(duì)應(yīng)方案的排序仍為A3?A1?A2?A4,此時(shí)最優(yōu)方案仍為A3。

5.2 基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好距離的TODIM方法

步驟1. 與TOPSIS方法類似；

步驟2.利用4.2節(jié)中的決策步驟，可得方案Ai的綜合排序值:ζ(A1)=0.9568,ζ(A2)=0.1787,ζ(A3)=1,ζ(A4)=0.因此該單位仍應(yīng)選擇建筑商A3修建辦公大樓。

類似地，當(dāng)語(yǔ)言尺度函數(shù)為f2si(i=1,2,…,6,t=3,a=1.37),θ=2,q=2時(shí)，對(duì)應(yīng)方案的排序?yàn)锳3?A1?A2?A4,最優(yōu)方案仍為A3;當(dāng)語(yǔ)言尺度函數(shù)為f3(si)(i=1,2,…,6,t=3,ξ=η=0.88,θ=2,q=2時(shí),對(duì)應(yīng)方案的排序?yàn)锳3?A1?A2?A4，最優(yōu)方案與f1(si),f2(si)是一致的。

5.3 偏好參數(shù)靈敏度分析

本文定義距離中的偏好參數(shù)α和β分別反映了決策者對(duì)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)評(píng)價(jià)值集中性和波動(dòng)性的不同偏好態(tài)度。我們可以根據(jù)決策者的偏好態(tài)度選擇不同的偏好值α(或β)來(lái)分析偏好參數(shù)的變化對(duì)方案排序的影響情況。

在TOPSIS方法中，我們以f1(si)為例，分別令α=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,討論綜合評(píng)價(jià)指數(shù)Hi隨α的變化情況，見(jiàn)圖1。

圖1 TOPSIS方法中Hi隨α的變化情況

由圖1可以看出，隨著α取值的變化，雖然四個(gè)方案Hi的大小排序發(fā)生了略微變化，但最優(yōu)方案一直為A3，從一定程度上說(shuō)明了我們定義距離測(cè)度TOPSIS決策方法的穩(wěn)定性。另一方面風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度越高的決策者α值越大，從圖1可以知道，決策者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避程度增大時(shí)，綜合評(píng)價(jià)指數(shù)Hi也增大，但到一定程度Hi將趨于穩(wěn)定，這也表明了各方案最終的排序結(jié)果與偏好參數(shù)α的取值無(wú)關(guān)。

在TODIM方法中，當(dāng)語(yǔ)言尺度函數(shù)為f1(si),α=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9，同樣我們來(lái)討論綜合排序值ζ(Ai)隨α的變化情況，見(jiàn)圖2。

圖2 TODIM方法中ζ(Ai)隨α的變化情況

由圖2可以看出，隨著α取值的變化，四個(gè)方案Ai的綜合排序值ζ(Ai)的結(jié)果并沒(méi)有發(fā)生改變，最優(yōu)方案一直為A3，說(shuō)明了α取值變化并不影響方案的最終排序結(jié)果，也表明基于均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好距離的TODIM決策方法得到的結(jié)果是穩(wěn)定的。

5.4 比較分析

為了說(shuō)明基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好距離決策方法的優(yōu)勢(shì)，我們與Faizi等[23]中同一實(shí)例采用outranking方法所得結(jié)果進(jìn)行比較，見(jiàn)表7。

表7 排序結(jié)果的比較

從表中可以看出，F(xiàn)aizi等[20]中采用基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集支撐函數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)和可信度函數(shù)的outranking方法所得方案的排序結(jié)果與本文基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好距離決策方法所得結(jié)果有所不同，主要原因是:outranking方法在評(píng)價(jià)決策過(guò)程中允許使用不完整的評(píng)價(jià)信息，并且允許偏好之間存在不可比性和非傳遞性[27-28]。另一方面本文提出的猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集距離的決策方法是基于均值-標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行排序的，明顯優(yōu)于以得分函數(shù)和猶豫度函數(shù)的outranking決策方法。同時(shí)基于猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好距離的TOPSIS和TODIM決策方法考慮了決策者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的態(tài)度，并且兩種方法所得的排序結(jié)果相同，表明了TOPSIS方法和TODIM方法的可行性和有效性。另一方面，本文定義的距離測(cè)度是基于語(yǔ)言尺度函數(shù)的，決策者能夠根據(jù)他們的偏好和實(shí)際情況來(lái)選擇語(yǔ)言尺度函數(shù)，這更符合實(shí)際情形。

6 結(jié)語(yǔ)

本文定義了猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好的距離測(cè)度，并提出了基于相應(yīng)距離TOPSIS和TODIM的多屬性決策方法來(lái)對(duì)備選方案進(jìn)行排序。雖然文中是以實(shí)例建筑商招標(biāo)方案來(lái)說(shuō)明決策方法的可行性，但以猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集均值-標(biāo)準(zhǔn)差偏好距離的決策方法也能夠用于供應(yīng)商選擇、風(fēng)險(xiǎn)投資分析等領(lǐng)域的其它決策問(wèn)題。同時(shí)，我們還會(huì)考慮猶豫直覺(jué)模糊語(yǔ)言集中每個(gè)語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)評(píng)價(jià)值出現(xiàn)的頻數(shù)問(wèn)題，即我們后面要研究的基于語(yǔ)言尺度函數(shù)的概率猶豫模糊語(yǔ)言集和它在實(shí)際決策問(wèn)題的運(yùn)用。