基于相對財富效用的多階段投資組合博弈模型

周忠寶， 任甜甜， 肖和錄，吳士健，LIU Wenbin

(1.湖南大學工商管理學院，湖南 長沙 410082；2.湖南師范大學商學院，湖南 長沙 410082；3.山東科技大學經濟管理學院，山東 青島 266510；4.Business School, University of Kent, England Kent CT2 7PE)

1 引言

投資組合理論一直是現(xiàn)代金融研究的重要方向之一，旨在有效地配置金融資產，以實現(xiàn)資產組合收益最大化與風險最小化之間的均衡，其具有重要的理論與現(xiàn)實意義。從投資者的分類來說，金融市場中主要包括個體投資者和機構投資者。對于不同的投資者類型，在理論建模上也會存在較大的差異。一般而言，對于個體投資者的研究多數(shù)假定投資者在制定決策只與自身風險偏好和市場條件有關，此類問題的建模主要是基于Markowitz的投資組合理論。盡管Markowitz[1]的均值-方差理論為現(xiàn)代投資組合優(yōu)化奠定了基石，但是從本質上來講，該理論是一個靜態(tài)的投資決策問題，然而在實際金融市場中，投資大多是多階段或動態(tài)的過程。到目前為止，關于個體投資者的多階段投資組合優(yōu)化研究已經比較廣泛，而關于機構投資者的理論建模則沒有統(tǒng)一的標準。

不難發(fā)現(xiàn)，上述多階段投資組合優(yōu)化問題的研究都是基于單個投資者的投資行為，并未考慮投資者之間的影響關系。然而，對于機構投資者(如基金和保險公司)而言，投資者之間相互獨立的假定往往是不符合市場實際的。隨著我國金融市場的發(fā)展，機構投資者力量不斷增強。面對行業(yè)中眾多勢均力敵的競爭者，機構投資者在制定策略時需要充分考慮其對手的投資行為，來權衡投資收益與風險。在現(xiàn)實金融市場中，機構投資者不僅關注自身績效，往往還趨向于比較自身與同行業(yè)競爭者績效之間的差距。以基金管理為例，基金投資者往往會選擇排名靠前的基金來進行購買，這就要求基金經理的投資目標不僅是實現(xiàn)自身基金終端財富最大化，同時還要盡可能拉大與同行業(yè)中其他競爭者之間的財富差距，使自身績效表現(xiàn)更為突出，以吸引更多的基金投資者。因此，將機構投資者之間的相互影響考慮到多階段投資組合優(yōu)化中具有較強的現(xiàn)實意義，同時這也是本文的主要研究動機。

許多學者根據(jù)投資者與其競爭對手的關系，將投資者與其競爭對手的投資行為抽象為博弈問題進行研究。如Browne[22]首先在連續(xù)時間模型中研究了兩個相關投資者間的零和隨機微分博弈。Bensoussan和Frehse[23]使用動態(tài)規(guī)劃方法來解決了非零和隨機微分博弈問題，并證明了納什均衡解的存在性。張衛(wèi)國等[24]建立了風險投資者和企業(yè)的多階段雙方博弈模型，討論了在最優(yōu)狀態(tài)下的融資合約機制選擇。Basu和Ghos[25]研究了多種模式下零和隨機微分博弈，并將其應用于投資組合優(yōu)化問題。曹國華和耿朝剛[26]考慮了競爭機制條件下的風險投資機構決策之間的影響關系，并建立了博弈模型，得出納什均衡解。Leong和Huang[27]運用非零和隨機微分博弈理論來分析投資者的資產分配問題。此外，對于市場中存在競爭關系的投資者而言，各自的投資目標不僅僅是投資者自身終端財富最大化，同時也希望擴大自身與其競爭者的財富差距。與傳統(tǒng)的投資組合博弈模型不同，Espinosa和Touzi[28]首次運用相對財富效用(所謂的相對財富效用主要是指投資者自身相對財富所帶來的期望效用，其中相對財富為投資者自身財富和自身財富與競爭者財富差距的加權平均)來描述此類博弈關系，在連續(xù)時間框架下，利用非零和隨機微分博弈形式來解決多個相互作用的投資者最優(yōu)投資決策問題，證明了在指數(shù)效用函數(shù)框架下投資者之間的納什均衡解的存在性。基于Espinosa和Touzi[28]的研究思路，Bensoussan等[29]考慮了兩個保險公司的相互影響，建立了非零和博弈模型，并給出基于投資-再保險策略的納什均衡解。之后，許多學者在Espinosa和Touzi[28]在基礎進行了各種拓展，其相關文獻如：Meng Hui等[30]，Chi等[31]，Guan Guohui和Liang Zongxia[32]，Yan Ming等[33]以及Deng Chao等[34]。

由上述研究不難發(fā)現(xiàn)，已有的關于投資組合博弈問題的大部分文獻都局限于連續(xù)時間優(yōu)化問題，離散時間的多階段投資組合博弈的研究甚少。然而在現(xiàn)實的金融市場中，投資者的決策過程和所能觀測到的金融數(shù)據(jù)往往都是離散的，離散時間的投資組合模型能夠更加有效地刻畫實際投資過程、提供可供操作的投資建議。本文基于Espinosa和Touzi[28]提出的相對財富效用的概念，在離散時間框架下考慮投資者之間的博弈關系，以實現(xiàn)每個投資者相對終端財富期望效用最大化為投資目標，構建多階段投資組合博弈模型，利用動態(tài)規(guī)劃方法求出最優(yōu)納什均衡投資策略的解析解和均衡值函數(shù)。最后，本文的仿真分析部分選取了累計經驗分布函數(shù)和確定性等價兩個主要指標來評價策略的績效[21,35]，分別比較了不同風險厭惡系數(shù)、反應敏感系數(shù)以及投資階段變動時的納什均衡策略和傳統(tǒng)策略投資績效的差異，結果表明納什均衡策略優(yōu)于傳統(tǒng)策略。該研究拓展了多階段投資組合博弈理論，對投資者的決策也有一定的指導作用。

2 多階段投資組合博弈模型的構建

ERt=[E(Rt1),E(Rt2),…,E(Rti)…,

E(Rtm)]′

第i個風險資產在第t階段的超額收益率Pti=Rti-rt，超額收益率的期望值和協(xié)方差矩陣分別記為EPt和Cov(Pt)。

投資者k的效用函數(shù)記為Uk，其中k=1,2。基于Espinosa和Touzi[28]以及Bensoussan等[29]提出的相對財富效用的思想，假定投資者的目標是最大化自身相對終端財富，即自身終端財富相對于其他投資者終端財富差距的加權平均。在效用理論框架下，投資者k會選擇證券投資決策uk來最大化終端相對財富水平帶來的期望效用，則相對財富期望效用可以表示為如下形式：

(1)

(2)

由于投資者在制定策略時考慮競爭對手的表現(xiàn)，據(jù)此，用自身財富和自身財富與競爭者財富差距的加權平均值來定義相對財富，其動態(tài)轉移過程可表示為：

(3)

其中，t=0,1,…,T-1，m≠k∈{1,2}，αk∈[0,1)。

基于如下假設[18]：

1)投資者所處的市場是無摩擦的，并且無買空賣空限制；

2)風險資產收益率服從正態(tài)分布，且各階段相互獨立；

3)投資者只在投資初期投入一定財富，而在其后任意投資階段都不增加資金投入，也不會進行消費。

投資者1的最優(yōu)策略應滿足：

(4)

投資者2的最優(yōu)策略應滿足：

(5)

上述問題的納什均衡π*=(u1*,u2*)應滿足如下條件[36]：

(6)

3 納什均衡投資策略的求解

(7)

其中，t=0,1,…,T-1，k∈{1,2}，C>0，1/βk>0，表示投資者k的風險厭惡水平。

定理：假設投資者k的效用函數(shù)為負指數(shù)型，且在t(t=0,1,…,T-1)階段，風險資產收益率服從正態(tài)分布Ν(μt,Σt)，無風險資產收益率為常數(shù)rt。則在給定競爭對手的投資策略時，投資者k的最優(yōu)值函數(shù)及最優(yōu)投資決策分別為：

t=0,1,…,T-1

(8)

t=0,1,…,T-1

(9)

其中

證明：首先用數(shù)學歸納法證明定理對投資者1成立。

1)在第T-1階段，投資者1的最優(yōu)值函數(shù)可表示為:

(10)

投資者1的最優(yōu)決策應滿足

(11)

則投資者1在第T-1階段的最優(yōu)決策與最優(yōu)值函數(shù)分別為:

(12)

(13)

其中

因而，定理在t=T-1時成立。

2)假設定理對于t=j成立，則在第j-1階段的最優(yōu)值函數(shù)可表示為:

(14)

在資產滿足聯(lián)合正態(tài)分布的假設下，投資者1在t=j-1時的最優(yōu)策略滿足如下條件:

(15)

即

(16)

相應的最優(yōu)值函數(shù)為:

(17)

其中

Cj-1

因而定理對t=j-1也成立。

由數(shù)學歸納法可知定理對投資者1成立。同理可證定理對投資者2成立。

根據(jù)定理以及納什均衡解的定義，聯(lián)立下述方程組:

(18)

可得如下推論。

推論：假設投資者k(k=1,2)的效用函數(shù)為負指數(shù)型，且在t(t=0,1,…,T-1)階段，風險資產收益率服從正態(tài)分布Ν(μt,Σt)，無風險資產收益率為常數(shù)rt。則投資者納什均衡投資策略和納什均衡值函數(shù)分別為：

t=0,1,…,T-1

(19)

t=0,1,…,T-1

(20)

這里

不難發(fā)現(xiàn)，當考慮競爭者的投資行為時，投資者的投資策略制定不僅依賴于自身的風險厭惡水平與標的資產的統(tǒng)計特征，同時還依賴于其競爭者的風險態(tài)度以及兩者對于財富差距的敏感系數(shù)。

4 仿真分析

本文仿真分析采用的數(shù)據(jù)為2001-2015年的四只風險資產年收率和無風險資產年收益率，投資者的初始財富為W0=1，無風險資產收益率rt=1.0400，風險資產在各階段的均值和協(xié)方差矩陣分別為：

E(et)=[1.2567,1.3938,1.2739,1.3989],

其中，t=1,2,…,T。

接下來將比較本文得到的多階段投資組合納什均衡策略和傳統(tǒng)策略(基于指數(shù)效用的多階段投資組合優(yōu)化模型對應的最優(yōu)投資策略)。首先利用蒙特卡洛方法，隨機產生105組相互獨立且服從正態(tài)分布的風險資產收益率，進而比較同一投資者在上述兩種優(yōu)化模型下的投資績效。本文采用投資者終端財富的累積經驗分布函數(shù)(ECDF)和Balduzzi和Lynch[35]提出的如下確定性等價(Certainty Equivalent)[21]作為評價指標：

U(CE)=E[U(WT)]?CE

以投資者1為例，兩種投資策略下投資者1的終端財富累積經驗函數(shù)分布比較如圖1～圖5所示(圖中Double表示納什均衡策略，Single表示傳統(tǒng)策略)。

圖1 投資者1風險厭惡系數(shù)變動時的終端財富累積經驗分布比較

由圖1～圖5可知，在不同情況下，納什均衡策略對應的終端財富累積經驗分布均位于傳統(tǒng)策略對應的終端財富累積經驗分布的右方。這說明對于任一給定的終端財富水平，納什均衡策略的投資收益超過該水平的概率大于傳統(tǒng)策略。此外，如果定義投資者的終端財富值小于零為發(fā)生破產。很顯然，投資者采用兩種策略導致的破產概率非常接近。這就表明，投資者在納什均衡策略下能夠獲取較高的收益，而投資者的破產概率并不會明顯增加。綜合考慮投資收益與風險，不難發(fā)現(xiàn)納什均衡策略優(yōu)于傳統(tǒng)策略。其原因主要在于，當投資者能夠觀測到競爭對手的特征、戰(zhàn)略組合或支付水平等相關信息，投資者對自身的投資行為更為自信，使得自身對風險的偏好程度發(fā)生某種程度的改變，更有把握構造高收益資產組合策略，進而實現(xiàn)自身收益最大化和與競爭對手收益差距最大化的投資目標。

接下來本文分兩種情況比較兩種策略的確定性等價。

(1)1/β1∈{0.2,0.8,2}，1/β2=1，α1=0.2，α2=0.4，T∈{45,…,80}；

(2)1/β1=0.5，1/β2=1，α1∈{0.1,0.5,0.8}，α2=0.4，T∈{45,…,80}。

圖2 投資者2風險厭惡系數(shù)變動時的終端財富累積經驗分布比較

圖3 投資者1反應敏感系數(shù)變動時的終端財富累積經驗分布比較

在兩種情況下，兩模型對應的財富終值對應的CE值如表1和表2所示。

由表1和表2可知，納什均衡策略對應的CE值高于傳統(tǒng)策略對應的CE值，這說明納什均衡策略在不同情況下的表現(xiàn)均優(yōu)于傳統(tǒng)策略，且隨著投資階段的增加，兩種策略的CE值的差距逐漸增大，這也表明納什均衡策略對于長期投資更有效。其主要原因在于，投資者在每一期都能夠運用當前及往期博弈對手的信息，進而調整自身投資策略，且相比于傳統(tǒng)策略，納什均衡策略在每期都能獲得較高的收益。因此，投資階段的增加會導致這種財富差距得到了進一步拉大。

圖4 投資者2反應敏感系數(shù)變動時的終端財富累積經驗分布比較

圖5 不同投資階段的終端財富累積經驗分布比較

表1 不同風險厭惡系數(shù)和投資階段下的終端財富CE值比較

表2 不同反應敏感系數(shù)和投資階段下的終端財富CE值比較

5 結語

本文考慮了投資者之間的相互影響，以每個投資者相對終端財富水平的期望效用值最大化為目標，構建多階段投資組合博弈模型，得到了多階段投資組合博弈模型的納什均衡的解析解和均衡值函數(shù)。最后通過仿真分析，比較了不同風險厭惡系數(shù)、反應敏感系數(shù)和投資階段變動時的納什均衡策略和傳統(tǒng)策略的累積經驗概率分布和確定性等價，結果表明納什均衡策略優(yōu)于傳統(tǒng)策略，從而說明本文所構建的多階段投資組合博弈模型的合理性和納什均衡投資組合策略的優(yōu)越性。本文的研究不僅拓展了現(xiàn)有的多階段投資組合優(yōu)化理論，而且對于投資者在金融市場中的決策活動具有一定的參考價值。