涂黃油吐司面包落地問題的力學(xué)分析*

米廣宇

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)煙臺研究院 山東 煙臺 264043)

卓啟同 呂洪鳳

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院 北京 100083)

著名的墨菲定律[1]指出：如果有兩種或兩種以上的選擇，而其中一種將導(dǎo)致災(zāi)難，則必定有人會作出這種選擇．(If there are two or more ways to do something, and one of those ways can result in a catastrophe, then someone will do it.)

在生活中常常能看到這種觀點(diǎn)：如果一片涂黃油的吐司面包從桌上掉落，一定是涂黃油面著地——因為這是最壞的結(jié)果．那么這個十分契合墨菲定律的現(xiàn)象為何會時常發(fā)生呢？這到底是偶然概率問題，還是必然的物理現(xiàn)象呢？

對于這個問題，前人已經(jīng)有過一些研究，例如文獻(xiàn)[1]用牛頓方程法和拉格朗日方程法對涂黃油吐司面包落地的過程建立了物理模型,并對涂黃油面包翻轉(zhuǎn)角在不同條件下的角度做出了討論，文獻(xiàn)[2]則是從力學(xué)原理的角度，運(yùn)用“降落傘效應(yīng)”對此問題做出了定性分析[2]．

現(xiàn)從一全新視角，將形狀和大小相對穩(wěn)定的吐司面包看作剛體，并運(yùn)用動力學(xué)的相關(guān)知識對此進(jìn)行分析．

1 涂黃油吐司面包落地前的情景模擬

如圖1所示，給出涂黃油吐司面包從桌邊滑落前的示意圖，涂黃油的一面在上．為簡化分析，假設(shè)黃油在吐司面包上涂抹均勻．涂抹上的薄層黃油的質(zhì)量(約3 g)遠(yuǎn)小于吐司面包片的質(zhì)量(約35 g)，它對黃油吐司面包片整體的質(zhì)心位置、慣性大小及其后的轉(zhuǎn)動過程影響可以忽略[7]．

圖1 涂黃油吐司面包從桌邊滑落示意圖

假設(shè)吐司面包與黃油涂層的總質(zhì)量為m，長度為L，面包與桌面的夾角為θ，面包的質(zhì)心離開桌邊的一小段距離為r，面包的質(zhì)心速度v可分解為平行于面包平面的速度vτ(以速率標(biāo)示)與垂直于面包平面的速度vn(以速率標(biāo)示)，面包繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動角速度為ω，轉(zhuǎn)動慣量為Ic. 下面分析涂黃油吐司面包片從桌面掉落的條件．

分析面包掉落前的受力，繞面包與桌面接觸點(diǎn)轉(zhuǎn)動的力矩來自于重力mg，摩擦力f和支持力Fn對繞過接觸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)，由轉(zhuǎn)動定律可得

(1)

對于式(1)進(jìn)行計算，乘以2ω并代入初始條件ω=0,θ=0，有

得到

(2)

質(zhì)心加速度由系統(tǒng)合外力決定． 以質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于面包平面的方向為x軸，垂直于面包平面向下的方向為y軸． 假設(shè)面包片傾斜到φ角度時開始沿斜面下滑，由受力分析知

(3)

(4)

f=μFn

(5)

由式(3)～(5)可知，沿著速度vτ方向的合力大于最大靜摩擦力時，面包片跌落．相應(yīng)的最大靜摩擦因數(shù)

(6)

面包片下滑對應(yīng)夾角為

(7)

涂黃油吐司面包離開桌面時的夾角與面包和桌面間的摩擦系數(shù)有關(guān)[5～7]，與面包長度L和面包質(zhì)心距離桌邊距離r有關(guān)．

2 涂黃油吐司面包翻轉(zhuǎn)過程分析

若取極限情況，不考慮面包從桌面滑落時摩擦力所做的功則在脫離桌面時，其勢能之差將完全轉(zhuǎn)變成質(zhì)心的動能和繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動動能

(8)

從而得到

(9)

假設(shè)面包從開始傾斜到完全滑離桌面的時間為T，且在滑動中面包與桌面的夾角θ不變，則根據(jù)沖量定理，沿著x方向有

mgsinθT=mvτ

(10)

(11)

根據(jù)角動量定理(沖量矩定理)：力矩在時間上的累積等于角動量的改變量，結(jié)合式(10)，在T時刻有

(12)

離開桌面前，根據(jù)平行軸定理，面包繞接觸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為

此刻的角動量為

(13)

比較式(12)和式(13)可得

(14)

將式(14)代入式(9) 得到

(15)

在脫離桌面后的自由下落過程中，面包的角動量守恒，其繞質(zhì)心軸旋轉(zhuǎn)的角速度不變，恰為T時刻脫離桌面時的角速度．假設(shè)桌面高h(yuǎn)，下落時間在不考慮空氣阻力時為

可近似取下落時間

則面包落到地面時的空中翻轉(zhuǎn)角為

總翻轉(zhuǎn)角度Ψ為

(16)

圖2 總翻轉(zhuǎn)角度Ψ三維變化圖

3 公式在實際生活中的應(yīng)用

將L=100 mm和h=780 mm代入式(16),可得到不同初始下滑角θ對應(yīng)的總翻轉(zhuǎn)角度Ψ．

表1 總翻轉(zhuǎn)角度Ψ

圖3 總翻轉(zhuǎn)角度ψ圖(弧度)