可控擴(kuò)散葉型全3維黏性反問題設(shè)計方法

李清華 ，劉昭威

（1.南京航空航天大學(xué)能源與動力學(xué)院，南京210016；2.中國航發(fā)四川燃?xì)鉁u輪研究院，成都610500）

0 引言

計算流體力學(xué)（CFD）技術(shù)在壓氣機(jī)設(shè)計領(lǐng)域主要用于進(jìn)行流場數(shù)值模擬與氣動性能求解。需要根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果不斷修正葉片幾何構(gòu)型，再反復(fù)求解流場，直至得到滿足目標(biāo)性能要求的葉片幾何構(gòu)型。重復(fù)調(diào)整驗證的過程計算量較大，工作周期長，設(shè)計過程繁瑣低效。為此提出了基于CFD技術(shù)的反問題設(shè)計方法，通過給定和控制葉片表面氣動參數(shù)分布，直接求解出滿足設(shè)計要求的葉片幾何構(gòu)型，目的性強(qiáng)、求解過程更為直觀、具有較高的設(shè)計效率。

Dang等[1-3]對反問題設(shè)計方法的研究從2維無黏設(shè)計計算逐步擴(kuò)展到3維黏性計算，研究對象也從亞聲速壓氣機(jī)擴(kuò)展到跨聲速軸流壓氣機(jī)，發(fā)展并改善了適用于反問題設(shè)計計算的滲透邊界條件，開發(fā)了INV3D軸流壓氣機(jī)葉片反問題設(shè)計程序，并成功地運(yùn)用于工程實際的改型設(shè)計中；Ghaly等[4]通過給定載荷和實際載荷之間的差異得到中弧面虛擬速度，基于此更新葉片幾何構(gòu)型；Hield[5]和Van Rooij等[6]研究了多級壓氣機(jī)的反問題設(shè)計方法，對級間氣動匹配過程進(jìn)行了極大的簡化，提升了反問題設(shè)計方法的工程實用性。在中國，王正明等[7-8]開展了2維反問題設(shè)計方法的研究，并建立了全3維黏性反問題設(shè)計方法；周新海等[9]通過有限體積法求解Euler方程，將反問題設(shè)計方法擴(kuò)展到跨聲速葉柵；楊策等[10]在葉片表面規(guī)定無量綱目標(biāo)速度分布，基于目標(biāo)速度分布和計算所得速度分布之間的差值來修正葉片吸壓力面坐標(biāo)，最終得到符合目標(biāo)的葉片幾何構(gòu)型；寧方飛等[11]構(gòu)造了葉片表面控制體，發(fā)展了葉片型線更新量與靜壓之間的關(guān)系，并將反問題設(shè)計應(yīng)用在工程實踐中。

可控擴(kuò)散葉型在20世紀(jì)80年代由PW公司提出。NASA的Sanz等[12-13]開發(fā)的可控擴(kuò)散葉型反問題設(shè)計程序 LINDES（Lewis Inverse Design Code）被廣泛應(yīng)用；Gelder和Schmid[14]采用可控擴(kuò)散葉型對靜子進(jìn)行重新設(shè)計，葉片數(shù)減半，達(dá)到了雙圓弧葉型的性能；Sanger和Shreeve[15]對其所設(shè)計的可控擴(kuò)散葉型靜子葉柵進(jìn)行與傳統(tǒng)雙圓弧葉型性能對比試驗，驗證了可控擴(kuò)散葉型具有更寬廣的穩(wěn)定工作范圍。在中國，劉波等[16]采用數(shù)值優(yōu)化技術(shù)提出了1種可控擴(kuò)散葉型的優(yōu)化設(shè)計方法；鐘兢軍等[17]對可控擴(kuò)散葉型的發(fā)展與設(shè)計方法進(jìn)行了系統(tǒng)的歸納和總結(jié)?？煽財U(kuò)散葉型的設(shè)計概念能夠為全3維黏性反問題設(shè)計定解條件給定方法的研究提供良好的借鑒。同時采用全3維黏性反問題設(shè)計，能夠進(jìn)一步提升可控擴(kuò)散葉型的設(shè)計精度。

本文在自行開發(fā)的壓氣機(jī)全3維黏性反問題計算程序CIDS[18]的基礎(chǔ)上，發(fā)展了全3維黏性可控擴(kuò)散葉型反問題設(shè)計方法。并選取NASA Stage35靜子葉片作為算例進(jìn)行驗證。

1 模型和計算方法

本文的反問題設(shè)計計算基于有限體積法求解全3維黏性Navier-Stokes方程。其中，對流通量空間離散采用Steger-Warming迎風(fēng)分裂格式，黏性通量計算采用2階中心差分格式；采用LU-SGS隱式格式進(jìn)行時間推進(jìn)來獲得方程的定常解；運(yùn)用當(dāng)?shù)貢r間步長和隱式殘差光順提高收斂速度、增加求解的穩(wěn)定性；湍流黏性的計算采用Bald-Lomax湍流模型，計算量較小，且計算效率較高。

1.1 壓氣機(jī)葉片全3維反問題設(shè)計方法

本文通過給定葉片吸壓力面靜壓分布的方法，采用反問題求解相應(yīng)的葉片幾何構(gòu)型。在求解過程中，葉片型線在給定靜壓分布的作用下不斷更新，直至滿足設(shè)計要求。本文在課題組前期研究的基礎(chǔ)上[19]，采用黎曼不變量守恒構(gòu)造反問題計算邊界條件，構(gòu)建起吸壓力面靜壓分布與葉片型線更新量之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系

式中:v為采用給定靜壓與葉片表面實際靜壓差計算得到的葉片壁面的虛擬移動速度；p為靜壓；γ為比熱比；ρ為密度；上標(biāo)“+”和“-”分別表示葉片上、下表面。

用葉片吸壓力面的虛擬移動速度乘以1個虛擬時間步長，就得到葉片壁面的虛擬位移。葉片吸壓力面虛擬位移如圖1所示。

圖1 葉片吸壓力面虛擬位移

上述反問題設(shè)計方法理論是建立在2維基礎(chǔ)上的，很容易就能推廣到3維反問題設(shè)計中。在全3維反問題求解計算中，根據(jù)壓氣機(jī)子午流道形狀將子午面按照流道高度從低到高劃分網(wǎng)格截面。進(jìn)行反問題設(shè)計計算時，往往根據(jù)設(shè)計意圖，選取若干網(wǎng)格截面作為設(shè)計截面，計算得到其新的網(wǎng)格節(jié)點坐標(biāo)，其他非設(shè)計截面則采用插值求得。

在反問題設(shè)計過程中，為了避免葉片吸、壓力面型線出現(xiàn)“交叉”現(xiàn)象或者在前后緣出現(xiàn)“不閉合”現(xiàn)象，必須對葉片厚度變化做出一定的約束。首先，給定葉片上下表面設(shè)計區(qū)域的移動范圍，即給定葉片厚度變化的上下限，防止葉片“過薄”或者“過厚”，出現(xiàn)不合理的葉片形狀；其次，保證葉片前后緣厚度不變，以確保葉片吸、壓力面型線在前后緣處閉合。葉片幾何型線設(shè)計區(qū)域如圖2所示，設(shè)計者可根據(jù)強(qiáng)度或其他設(shè)計需求給定設(shè)計區(qū)域的具體范圍。

圖2 葉片幾何型線設(shè)計區(qū)域

在進(jìn)行反問題改型設(shè)計時，需要保證葉片的氣流折轉(zhuǎn)角達(dá)到設(shè)計目的。以葉片基元級建立控制體，控制體內(nèi)的氣體流動應(yīng)當(dāng)滿足動量矩守恒方程，在絕對坐標(biāo)系下的表達(dá)形式為

式中:M為動量矩；G為流經(jīng)控制體的氣體質(zhì)量流量；r為半徑；cθ為氣流絕對速度的切向分量。

控制體總動量矩M可通過葉片對氣流的切向作用力求出

式中:Aθ為葉片中弧面面積的切向分量；LE和TE分別表示葉片前緣和尾緣。

在葉片改型前后，只需保證葉片吸壓力面靜壓差從前緣到尾緣的積分相等，就能保證葉片氣流折轉(zhuǎn)角在改型前后一致。

1.2 可控擴(kuò)散葉型反問題設(shè)計

可控擴(kuò)散葉型屬于定制葉型，其設(shè)計目標(biāo)是要控制氣流沿葉片表面的流動過程，減弱氣流在葉片通道內(nèi)的激波強(qiáng)度，使氣體盡可能保持較好的流動狀態(tài)，降低激波與附面層之間的相互干擾，進(jìn)而減小流動損失?？煽財U(kuò)散葉型主要應(yīng)用于高亞聲速和低跨聲速葉型設(shè)計中，其進(jìn)口相對馬赫數(shù)為0.8~1.2。

可控擴(kuò)散葉型葉片表面氣流流動如圖3所示。從圖中可見，在葉片壓力面附近氣流速度變化不大，基本保持相對較低的馬赫數(shù)不變進(jìn)行流動；在葉片吸力面附近，氣流從前緣開始持續(xù)加速，達(dá)到峰值馬赫數(shù)，該峰值馬赫數(shù)由設(shè)計人員給定，一般不超過1.2或1.3，氣流在葉片吸力面附近形成1個超聲速區(qū)。但是由于相對馬赫數(shù)不高，所以不會產(chǎn)生較強(qiáng)的激波。氣流加速達(dá)到峰值馬赫數(shù)后，通過控制其后的擴(kuò)壓程度，使氣流平緩地進(jìn)行減速運(yùn)動，降低壁面附近的逆壓梯度，從而減小附面層分離發(fā)生的風(fēng)險，使氣流能夠保持較好的流動狀態(tài)，減少流動損失。前期研究表明，采用上述設(shè)計思路，能夠使葉型以較小的總壓損失在比較寬廣的范圍內(nèi)穩(wěn)定工作，同時使氣流在整個葉片都保持較好的流動狀態(tài)，不會發(fā)生明顯的附面層分離。

圖3 可控擴(kuò)散葉型葉片表面氣流流動

反問題設(shè)計方法是直觀地給出葉片吸壓力面氣動參數(shù)的分布規(guī)律，通過求解器直接計算得到葉片的幾何構(gòu)型。本文采用的反問題設(shè)計方法以葉片表面靜壓分布作為輸入目標(biāo)來進(jìn)行葉片型線設(shè)計計算。但是由于反問題計算是基于全3維黏性流場求解，在壁面附近采用無滑移邊界條件，氣流在葉片表面速度為0。因此本文采用等熵馬赫數(shù)對葉片表面附近的氣流速度進(jìn)行設(shè)計，然后再根據(jù)等熵流動關(guān)系，將葉片吸壓力面等熵馬赫數(shù)分布轉(zhuǎn)化為靜壓分布

式中:pref為參考壓力，本文選擇為靜子葉片進(jìn)口平均總壓；Maisen為葉片表面對應(yīng)的等熵馬赫數(shù)。

采用式（4）將葉片表面的等熵馬赫數(shù)分布轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的靜壓分布，輸入反問題設(shè)計計算。

可控擴(kuò)散葉型吸壓力面等熵馬赫數(shù)及其對應(yīng)的靜壓分布如圖4所示。從圖中可見，壓力面靜壓分布幾乎保持為1個常數(shù)，吸力面靜壓在前緣迅速降低，通過超聲速區(qū)后，經(jīng)歷了1個較為平緩的擴(kuò)壓過程，靜壓升高至設(shè)計值。按照可控擴(kuò)散葉型的設(shè)計規(guī)律給定葉片吸壓力面的靜壓分布，通過反問題設(shè)計計算，可以達(dá)到控制葉片表面流動狀態(tài)的目的。

圖4 可控擴(kuò)散葉型吸壓力面等熵馬赫數(shù)及其對應(yīng)的靜壓分布

按照上述思路，本文采用全3維黏性反問題設(shè)計方法進(jìn)行可控擴(kuò)散葉型設(shè)計的具體流程為:首先對葉片表面等熵馬赫數(shù)分布進(jìn)行設(shè)計；其次采用等熵流動關(guān)系將等熵馬赫數(shù)分布轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的靜壓分布，以其作為目標(biāo)靜壓輸入反問題設(shè)計計算，如圖5所示。

2 計算結(jié)果及分析

圖5 可控擴(kuò)散葉型反問題設(shè)計流程

本文選取NASA Stage 35靜子葉片作為算例，采用本文所發(fā)展的可控擴(kuò)散葉型設(shè)計方法，對其靜子葉片進(jìn)行改型設(shè)計，以驗證方法的準(zhǔn)確性和有效性。為了比較采用多圓弧葉型（Multiple Circular Arc Airfoil，MCA）的原始葉片幾何與反問題設(shè)計得到的可控擴(kuò)散葉型葉片幾何的氣動性能，以Stage35原型靜子葉片為初始幾何，重新設(shè)計葉片吸壓力面靜壓分布，按照如圖5所示流程進(jìn)行可控擴(kuò)散反問題設(shè)計計算。NASA Stage 35是小展弦比高負(fù)荷跨聲速壓氣機(jī)級，其進(jìn)口馬赫數(shù)為0.75左右。靜子葉片采用多圓弧葉型設(shè)計，共有46個葉片，葉尖稠度為1.3左右。在進(jìn)行反問題設(shè)計時，分別選取5%、30%、50%、70%、95%葉高處的截面為設(shè)計截面，葉片其余葉高處的截面通過插值得到。為了保證反問題計算過程穩(wěn)定，一般每10~20個時間推進(jìn)步長進(jìn)行1次反問題計算及葉片幾何型線更新。

圖6 30%葉高處截面吸壓力面等熵馬赫數(shù)分布及其對應(yīng)的靜壓分布

圖7 50%葉高處截面吸壓力面等熵馬赫數(shù)分布及其對應(yīng)的靜壓分布

圖8 70%葉高處截面吸壓力面等熵馬赫數(shù)分布及其對應(yīng)的靜壓分布

進(jìn)行等熵馬赫數(shù)分布設(shè)計時對不同葉高截面處采用相似的設(shè)計規(guī)律。為了避免在葉片通道內(nèi)產(chǎn)生激波，控制葉片吸力面峰值馬赫數(shù)為1.0，壓力面和尾緣出口馬赫數(shù)均為0.56。同時，本文是在保證總載荷不變的情況下，比較改型前后葉片幾何的總體氣動性能，因此要保證改型前后氣流在靜子葉片中的轉(zhuǎn)折角不發(fā)生變化，即在改變?nèi)~片吸壓力面靜壓分布時，需確保其載荷沿流向積分不變。吸壓力面等熵馬赫數(shù)分布采用B樣條曲線構(gòu)造。不同設(shè)計截面吸壓力面等熵馬赫數(shù)分布及其對應(yīng)的靜壓分布分別圖6～8所示。將靜壓分布作為目標(biāo)輸入反問題設(shè)計程序進(jìn)行計算，從圖7～9中目標(biāo)靜壓與反問題計算結(jié)果的靜壓分布的對比可見，反問題計算結(jié)果（紅線所示）與設(shè)計目標(biāo)（藍(lán)色圓圈）符合性較好，基本滿足設(shè)計意圖，很好地實現(xiàn)給定的吸壓力面靜壓分布。按照等熵流動關(guān)系將其轉(zhuǎn)換成等熵馬赫數(shù)分布可見，葉片吸壓力面馬赫數(shù)與設(shè)計目標(biāo)吻合較好，氣流在葉片表面的流動符合可控擴(kuò)散葉型的流動特點。氣流在吸力面前緣連續(xù)加速達(dá)到峰值馬赫數(shù)，然后經(jīng)過平緩的減速擴(kuò)壓過程，最后達(dá)到給定的出口尾緣馬赫數(shù)，而在壓力面其流動速度基本保持不變，按照給定的馬赫數(shù)勻速流動。

從圖6～8中還可見，葉片前半部分吸壓力面靜壓差明顯要比后半部分大，表明設(shè)計時葉片前半部分載荷較大。3個不同葉高位置處反問題設(shè)計得到的可控擴(kuò)散葉型與原始多圓弧葉型幾何的對比如圖9所示。從圖中可見，通過反問題設(shè)計得到的可控擴(kuò)散葉型與原始多圓弧葉型有明顯區(qū)別，由于葉片前半部分承受載荷較大，可控擴(kuò)散葉型葉片前半部分曲率變化較大。

圖9 不同葉高位置處反問題設(shè)計得到的可控擴(kuò)散葉型與原始多圓弧葉型幾何的對比

不同葉高位置處反問題設(shè)計得到的可控擴(kuò)散葉型與原型葉片通道內(nèi)相對馬赫數(shù)等值線分布對比如圖10～12所示。從圖中可見，反問題設(shè)計得到的可控擴(kuò)散葉型靜子葉片通道內(nèi)氣流的流動結(jié)構(gòu)較好地滿足了設(shè)計目標(biāo)。葉片通道內(nèi)氣流峰值馬赫數(shù)為1.0左右，沒有產(chǎn)生較強(qiáng)的激波，在40%弦長處出現(xiàn)了局部的超聲速區(qū)域，由于控制了峰值馬赫數(shù)的大小，降低了激波的強(qiáng)度，從而有效控制了激波損失。同時，由于對葉片吸力面后半部分的擴(kuò)壓程度進(jìn)行控制，降低了附面層分離的風(fēng)險，氣流在葉片吸力面后半部分的擴(kuò)壓流動較為合理。對比原始多圓弧葉型靜子葉片可以發(fā)現(xiàn)，原雙圓弧葉型的靜子葉片吸力面加速區(qū)靠近前緣部分，且在這部分區(qū)域加速比較明顯，峰值馬赫數(shù)位置靠近葉片前緣，而改型后形成的可控擴(kuò)散葉型的靜子葉片，其吸力面的峰值馬赫數(shù)及其位置均由設(shè)計者給定，峰值馬赫數(shù)為1.0左右，大約在葉片弦長2/3處達(dá)到，壓力面的相對馬赫數(shù)基本沒有變化，氣流按照設(shè)計給定速度從前緣流動到尾緣。

圖10 30%葉高位置處反問題葉型與原型葉片馬赫數(shù)分布對比

圖11 50%葉高位置處反問題葉型與原型葉片馬赫數(shù)分布對比

圖12 70%葉高位置處反問題葉型與原型葉片馬赫數(shù)分布對比

帶有原始葉型和反問題設(shè)計得到的可控擴(kuò)散葉型靜子葉片的壓氣機(jī)級設(shè)計點總體氣動性能對比見表1。從表中可見，本文改型設(shè)計得到的可控擴(kuò)散葉型靜子，其壓氣機(jī)級總體性能要優(yōu)于原型的，其中流量增加了0.33%，總壓比提升了0.36%，絕熱效率提高了0.61%。

表1 NASA Stage 35原型與反問題氣動性能對比

為了進(jìn)一步驗證反問題設(shè)計得到的可控擴(kuò)散葉型靜子葉片以及整個壓氣機(jī)級在設(shè)計轉(zhuǎn)速下的氣動性能，本文對其進(jìn)行設(shè)計轉(zhuǎn)速下的特性計算，并與原型進(jìn)行對比。由反問題設(shè)計得到的可控擴(kuò)散葉型與原始多圓弧葉型壓氣機(jī)級效率和壓比特性曲線對比如圖13所示。從圖中可見，改型后的壓氣機(jī)級的堵點流量有所增加，壓比與原型的相比基本不變，而在近喘振工況點效率比原型的有所提高。

圖13 NASA Stage 35反問題設(shè)計與原始壓氣機(jī)級效率和壓比特性曲線對比

3 結(jié)論

本文在課題組全3維黏性反問題設(shè)計方法的基礎(chǔ)上，發(fā)展了可控擴(kuò)散葉型的全3維反問題設(shè)計方法，通過等熵流動關(guān)系建立起吸壓力面靜壓分布與葉片表面氣流速度之間的關(guān)系。以Stage 35為設(shè)計實例，對其靜子葉片進(jìn)行可控擴(kuò)散葉型反問題改型設(shè)計。通過分析對比得到以下結(jié)論:

（1）反問題設(shè)計計算結(jié)果很好地滿足了給定的設(shè)計條件，得到的靜壓分布與給定靜壓分布吻合較好，驗證了本文所采用的全3維黏性反問題設(shè)計方法的準(zhǔn)確性和有效性。

（2）以可控擴(kuò)散葉型流動結(jié)構(gòu)為設(shè)計目標(biāo)，發(fā)展了1種基于全3維黏性反問題計算的可控擴(kuò)散葉型反問題設(shè)計方法。通過合理設(shè)計葉片表面的馬赫數(shù)分布，求解得到滿足設(shè)計目標(biāo)的葉型幾何，其葉片通道內(nèi)的流動結(jié)構(gòu)符合可控擴(kuò)散葉型的流動特點。通過算例對比分析，壓氣機(jī)設(shè)計點和非設(shè)計點的性能均得到提升，驗證了本文發(fā)展的可控擴(kuò)散葉型全3維反問題設(shè)計方法的有效性。

（3）本文在全3維環(huán)境下開展可控擴(kuò)散葉型設(shè)計，拓寬了全3維黏性反問題設(shè)計的應(yīng)用范圍，為反問題設(shè)計中定解條件的給定方法提供了新思路。在進(jìn)行反問題設(shè)計時，可以合理組織葉片表面流動結(jié)構(gòu)，根據(jù)設(shè)計需求給定葉片表面的氣動參數(shù)分布，采用反問題設(shè)計方法求解出滿足設(shè)計目標(biāo)的葉片幾何構(gòu)型。