概率統(tǒng)計(jì)經(jīng)典題突破

■河南省項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué) 張慧敏

高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中的概率統(tǒng)計(jì)是大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ),起著承上啟下的作用。高考對(duì)概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的考查主要是古典概型、幾何概型、統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)與方法。大題偏向于對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)、數(shù)據(jù)分析處理能力的考查。

一、經(jīng)典題突破

例1為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:c m)。根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布 N(μ,σ2)。

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望。

(2)一天內(nèi)抽檢的零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查。

①試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法的合理性。

②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:9.9510.19.969.9610.09.929.9810.010.29.9110.1310.09.2210.010.09.95

1.解答提示。

(2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0026,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小。因此,一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查,可見(jiàn)上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的。

2.考點(diǎn)定位與考查意圖。

本題考查了統(tǒng)計(jì)學(xué)在生產(chǎn)實(shí)踐中的應(yīng)用,根據(jù)抽樣統(tǒng)計(jì),進(jìn)行樣本數(shù)據(jù)分析,反映了利用科學(xué)的方法搜集、整理、分析和提供關(guān)于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象、某些特定事物發(fā)展規(guī)律的數(shù)學(xué)思想,著重考查數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力,以及應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力?？疾檎龖B(tài)分布、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、對(duì)立事件、隨機(jī)變量的概率與數(shù)學(xué)期望。概率統(tǒng)計(jì)重視實(shí)際應(yīng)用是考查的重點(diǎn),學(xué)生可以從解題過(guò)程中認(rèn)識(shí)到統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)在生產(chǎn)與生活中所起的作用。通過(guò)對(duì)問(wèn)題的解決,給學(xué)生展示了問(wèn)題的提出、模型的建立、數(shù)據(jù)的整理與分析、統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的應(yīng)用,從而形成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)指導(dǎo)社會(huì)實(shí)踐的意識(shí),提高學(xué)生的綜合實(shí)踐能力。

3.錯(cuò)誤原因。

概率統(tǒng)計(jì)中基本概念較多,理解不到位,文字閱讀量偏大,數(shù)據(jù)的信息點(diǎn)多,計(jì)算量偏大,對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高,概率統(tǒng)計(jì)解答題的實(shí)際背景新穎,對(duì)閱讀理解、推理分析、數(shù)據(jù)運(yùn)算的要求較高,因此難度較大。

4.復(fù)習(xí)建議。

重視考綱考點(diǎn)的變化,高考全國(guó)卷中的概率統(tǒng)計(jì)解答題一直都比較重視數(shù)學(xué)應(yīng)用側(cè)重于統(tǒng)計(jì)思想、數(shù)據(jù)分析與處理、結(jié)合生活實(shí)際的決策性問(wèn)題,突出應(yīng)用意識(shí)。

重視基本概念的梳理,概率與統(tǒng)計(jì)中的基本概念眾多,在復(fù)習(xí)備考過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生回歸教材,對(duì)教材中的基本概念進(jìn)行梳理。

重視基本原理的研究,高考全國(guó)卷中的概率統(tǒng)計(jì)解答題重點(diǎn)考查統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識(shí)、基本原理和基本方法,所以我們要加強(qiáng)對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的學(xué)習(xí)與研究。

例2某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖如圖1所示。

圖1

為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型。根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①:^y=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為12,…,7)建立模型②:^y=99+17.5t。

(Ⅰ)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值。

(Ⅱ)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠?并說(shuō)明理由。

1.解答提示。

(Ⅰ)利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為^y=-30.4+13.5×19=226.1(億元)。

利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為^y=99+17.5×9=256.5(億元)。

(Ⅱ)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠。

理由如下:

(1)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線y=-30.4+13.5t的上方和下方。這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)。2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近,這說(shuō)明從2010年開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì),利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型^y=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì),因此,利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠。

(2)從計(jì)算結(jié)果看,相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理。說(shuō)明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠。

2.考點(diǎn)定位與考查意圖。

通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型,解決實(shí)際問(wèn)題是高考考試要求的重要內(nèi)容。特別是伴隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái),人們常常需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)、文本、聲音、圖像等大量信息進(jìn)行數(shù)字化處理,使數(shù)學(xué)模型的研究領(lǐng)域與應(yīng)用領(lǐng)域得到極大拓展,特別是隨著統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的增加,為學(xué)生的數(shù)學(xué)建模提供了知識(shí)儲(chǔ)備和解題工具。在對(duì)其考查時(shí),可以從模型建立、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷确矫嬖O(shè)置問(wèn)題。在對(duì)數(shù)學(xué)建?？疾闀r(shí),更為注重根據(jù)題干中的精確數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,淡化對(duì)數(shù)據(jù)的分析和處理,試題以環(huán)境投資為背景,首先給出了環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的折線圖,旨在考查學(xué)生通過(guò)折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的能力。該題重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)模型建立的選擇,試題的設(shè)計(jì)有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),學(xué)生領(lǐng)會(huì)到統(tǒng)計(jì)與概率的思想方法在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用,形成自覺(jué)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)指導(dǎo)社會(huì)實(shí)踐的意識(shí),提高學(xué)生的綜合實(shí)踐能力。數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一種有效的工具。

3.錯(cuò)誤原因。

不重視數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)應(yīng)用,數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)比較淡漠,不注重與實(shí)際的結(jié)合,難以對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的有用數(shù)據(jù)進(jìn)行處理與模型構(gòu)建。沒(méi)有計(jì)算的耐心和準(zhǔn)確度。

4.復(fù)習(xí)建議。

教材是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、形成基本技能的“藍(lán)本”,是高考試題的重要知識(shí)載體?？v觀新課程卷中的概率統(tǒng)計(jì)試題,大多數(shù)試題源于教材,特別是客觀題都是從課本上的練習(xí)題或習(xí)題改編的,即使是綜合題,也是由教材例、習(xí)題的組合、加工和拓展而成,充分表現(xiàn)出教材的基礎(chǔ)作用。復(fù)習(xí)階段必須按《教學(xué)大綱》和《考試說(shuō)明》對(duì)本部分內(nèi)容的要求,以課本的例、習(xí)題為素材,深入淺出、舉一反三地加以類(lèi)比、延伸和拓展,在“變式”上下功夫,力求對(duì)教材內(nèi)容融會(huì)貫通。

重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透,數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)的精髓,歷來(lái)是高考數(shù)學(xué)考查的重中之重。它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中。在概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法,概率統(tǒng)計(jì)為人們處理現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)信息,分析、把握隨機(jī)事件,提供了強(qiáng)有力的工具(計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率、求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差),也更加豐富、完善了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法,進(jìn)一步拓寬了知識(shí)的應(yīng)用空間。

重視概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用功能,由于新課程強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)性、現(xiàn)實(shí)性、大眾性,重視素質(zhì)教育與高考的兼容性,概率統(tǒng)計(jì)在社會(huì)現(xiàn)實(shí)中具有很高的應(yīng)用價(jià)值。在復(fù)習(xí)中要關(guān)注生活背景、社會(huì)現(xiàn)實(shí)、經(jīng)濟(jì)建設(shè)、科技發(fā)展等各個(gè)方面,并從中提煉出具有社會(huì)價(jià)值的數(shù)學(xué)應(yīng)用背景。應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生善于從普通語(yǔ)言中捕捉信息,將普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力,使學(xué)生能以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工具進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)交流。

二、跟蹤練習(xí)

例3某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬(wàn)人)的數(shù)據(jù),繪制了圖2所示的折線圖。根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )。

圖2

A.月接待游客逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7、8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月,波動(dòng)性更小,變化比較平穩(wěn)

解析：由折線圖可知,8月份以后的月接待游客量減少,A錯(cuò)誤;年接待游客量逐年增加,B正確;各年的月接待游客量高峰期大致在7、8月份,C正確;各年1月至6月的月接待游客量波動(dòng)性小,變化比較平穩(wěn),D正確。故選A。

例4為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位:c m)和身高y(單位:c m)的關(guān)系,從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生,根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系,設(shè)其回歸直線方程為該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24,據(jù)此估計(jì)其身高為( )。

A.160 B.163

C.166 D.170

解析：由題意得因?yàn)榛貧w直線方程恒過(guò)樣本中心點(diǎn)所以故選C。

例5某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品。檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件進(jìn)行檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立。

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0。

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值。已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用。

①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求E(X);

②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)?

分析：本題以企業(yè)在銷(xiāo)售過(guò)程中的成本控制問(wèn)題為背景,著眼于“最小化成本”的決策問(wèn)題,綜合考查了概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)。

解：(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為

令f′(p)=0,得p=0.1。

當(dāng)p∈(0,0.1)時(shí),f′(p)＞0;

當(dāng)p∈(0.1,1)時(shí),f′(p)＜0。

所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0=0.1。

(2)由(1)知,p=0.1。

①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y～B(180,0.1),X=20×2+2 5Y,即X=,X+2 5Y。

所以E(X)=E(40+2 5Y)=)4+2 5E(Y)=)4+25×所以(×0.1=490。

②如果對(duì)余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元。

由于E(X)＞400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。