橢圓新穎問題追蹤

■甘肅省隴南市禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校 楊 虎 撒 波

一、橢圓中的定點(diǎn)問題

例1 (2 0 1 8屆高三“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”1 0月聯(lián)考數(shù)學(xué))已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過

(1)求橢圓E的方程。

(2)在直線x=4上任取一點(diǎn)T(4,m)(m≠0),連接T A,T B,分別與橢圓交于M、N兩點(diǎn),判斷直線MN是否過定點(diǎn)。若過,求出該定點(diǎn);若不過,請說明理由。

解析:(1)設(shè)橢圓方程為m x2+n y2=1(m＞0,n＞0)。將A(-2,0),B(2,0),代入橢圓方程,得

綜上,直線MN恒過定點(diǎn)(1,0)。

點(diǎn)評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。第一問可以設(shè)出橢圓的方程為m x2+n y2=1,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求得m,n的值,即可得橢圓的方程;第二問聯(lián)立方程組,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以求得M、N的坐標(biāo),進(jìn)一步證明直線MN恒過定點(diǎn)(1,0)。追蹤:(2 0 1 6年湖南高中數(shù)學(xué)競賽試題已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A,F,B在直線x=4上的射影依次是D,K,E。

(1)求橢圓C的方程。

(2)連接A E,B D,試探求當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí),直線A E與B D是否相交于定點(diǎn)。若是,請求出定點(diǎn)的坐標(biāo),并給予證明若不是,請說明理由。

解析:(1)點(diǎn)在橢圓上,則b=3由離心率為得a=2。橢圓C的方程為

(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l⊥x軸,則A B E D為矩形,由對稱性知直線A E與B D相交于F K的中點(diǎn),由此猜想直線A E與B D相交于定點(diǎn)

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(4,y1)E(4,y2),直線A B的方程為y=k(x-1)聯(lián)立橢圓C的方程消去y得:

點(diǎn)評:直線方程與橢圓方程聯(lián)立是求解本題的突破口,由對稱性知直線A E與B D相交于F K的中點(diǎn)在證明時(shí)只需說明點(diǎn)在直線lAE上。又點(diǎn)N在直線lBD上,故兩直線相交于定點(diǎn)。

二、橢圓中的斜率問題

例2 已知橢圓的離心率是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上任意一點(diǎn),且△P F1F2的周長是6。

(1)求橢圓C的方程;

解析:(1),可知a=2c。因?yàn)椤鱌 F1F2的周長是6,所以2a+2c=6。解得a=2,c=1,所求橢圓方程

(2)橢圓的上頂點(diǎn)為M（0,3）,設(shè)過點(diǎn)M與圓T相切的直線方程為y=k x+3。

點(diǎn)評:本題中第一問橢圓的離心率已知,間接給出了a與c的關(guān)系,結(jié)合三角形的周長可解得b,則橢圓方程可求。第二問中主要利用了斜率公式以及函數(shù)的單調(diào)性來求解斜率的范圍。

追蹤:(廣東惠州市2 0 1 9屆高三第一次調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué))如圖1,橢圓b＞0)經(jīng)過點(diǎn)A(0,-1),且離心率為

圖1

(1)求橢圓E的方程。

(2)經(jīng)過點(diǎn)(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同兩點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)A),證明:直線A P與A Q的斜率之和為定值。

解析:(1)由題意知1,a=2,橢圓E的方程為

(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0。由題意知Δ＞0。設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),且x1x2≠0,則所以2,故直線A P與A Q的斜率之和為定值。

點(diǎn)評:本題主要考查了直線的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,是高考考查的熱點(diǎn)問題,求橢圓方程的方法就是由條件建立方程,利用好根與系數(shù)的關(guān)系求解。

三、橢圓中的范圍問題

例3已知P為橢圓個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作圓(x+1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別是A,B,則的取值范圍為( )。

圖2

點(diǎn)評:通過解直角三角形求出P A,P B的長,再利用向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的化簡變形,最后利用基本不等式求解,一氣呵成。

追蹤:已知F1,F2分別為橢圓的上、下焦點(diǎn),F1是拋物線C2:x2=4y的焦點(diǎn),點(diǎn)M是橢圓C1與拋物線C2在第二象限的交點(diǎn),且

(1)求橢圓C1的方程;

(2)與圓x2+(y+1)2=1相切的直線l:y=k(x+t)(其中k t≠0)交橢圓C1于點(diǎn)A,B,若橢圓C1上一點(diǎn)P滿足求實(shí)數(shù)λ2的取值范圍。

四、橢圓中的參數(shù)問題

例4的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B。已知橢圓的離心率為。

(1)求橢圓的方程。

(2)設(shè)直線l:y=k x(k＜0)與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),l與直線A B交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均在第四象限。若△B PM 的面積是△B P Q面積的2倍,求k的值。

解析:(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知得又由a2=b2+c2,可得2a=3b。

(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2,y2),由題意知x2＞x1＞0,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-x1,-y1)。由△B PM的面積是△B P Q面積的2倍,可得|PM|=2|P Q|,從而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1。易知直線A B的方程為2x+3y=6,由方程組消去y,可得。由方程組消去,解得x=y1。由x2=5x1,可得 9k2+4=5(3k+2),兩邊平方,整理得1 8k2+2 5k+8

點(diǎn)評:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識,重點(diǎn)關(guān)注同學(xué)們用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì),運(yùn)算求解能力以及用方程思想解決問題的能力。追蹤:(2 0 1 8屆北京豐臺二模理科數(shù)學(xué)試題)已知橢圓=1(a＞b＞0)的長軸長為4,離心率,過右焦點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l與橢圓相交于M,N兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P(m,0),記直線PM,PN的斜率分別為k1,k2。

(1)求橢圓C的方程;

(2)若k1+k2=0,求m的值。

解析:(1)依題意得2a=4,所以a=2。,所以c=1,b2=a2-c2=3。

(2)橢圓的右焦點(diǎn)F(1,0)。設(shè)直線l:y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2)。聯(lián)立方程組得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0,Δ＞0成立。所以因?yàn)?,所以,即y1·(m-x2)+y2(m-x1)=0。

所以k(m-x2)(x1-1)+k(m-x1)·(x2-1)=0恒成立。因?yàn)閗≠0,所以(m+1)(x1+x2)-2x1x2-2m=0,即(m+1)·-2m=0,化簡得8k2(m+1)-8(k2-3)-2m(3+4k2)=0,解得m=4。

五、橢圓中的存在性問題

例5 已知橢圓的離心率,右焦點(diǎn)F到上頂點(diǎn)的距離為點(diǎn)C(m,0)是線段O F上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

(1)求橢圓的方程。

(2)判斷是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),使得并說明理由。

(2)由(1)得F(1,0)。由題意知0≤m≤1。假設(shè)存在滿足題意的直線l,設(shè)l的方程為y=k(x-1),由

點(diǎn)評:本題主要考查圓錐曲線的知識。第一問,根據(jù)題意解出a、b、c,即可求得橢圓的方程。第二問,假設(shè)存在滿足題意的直線代入橢圓方程,由分類討論可順利求解。

追蹤:(2 0 1 9屆廈門市湖濱中學(xué)高三理科數(shù)學(xué)第一次質(zhì)檢卷)橢圓＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,離心過F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)1且△A B F2的周長為8。

(1)求橢圓E的方程。

(2)設(shè)動(dòng)直線l:y=k x+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q。試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以P Q為直徑的圓恒過點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由。

解析:(1)因?yàn)閨A B|+|A F2|+|B F2|=8,所以|A F1|+|A F2|+|F1B|+|B F2|=8,4a=8,a=2。

因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0,y0),所以m≠0且Δ=0,即6 4k2m2-4(4k2+3)(4m2-1 2)=0,化簡得4k2-m2+3=0。(*)

假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件,由圖形對稱性知,點(diǎn)M必在x軸上。設(shè)M(x1,0),=0對滿足(*)式的m、k恒成立。因此,

故存在定點(diǎn)M(1,0),使得以P Q為直徑的圓恒過點(diǎn)M。