向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

■河南省濮陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué) 李佳穎

在高中數(shù)學(xué)教材中,平面向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容,也是新高考的一個(gè)亮點(diǎn),以向量為背景,一些傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題就有了新的內(nèi)涵。實(shí)際上,向量知識(shí)、向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用,它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”,能融數(shù)形于一體,能與高中數(shù)學(xué)的許多主干知識(shí)綜合,形成知識(shí)交匯點(diǎn)。下面從四個(gè)方面闡述向量在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用。

一、利用向量證明等式

例1 已知α、β是任意角,求證:c o s(α

證明:在單位圓上,以x軸為始邊作角α,終邊交單位圓于A,以x軸為始邊作角

小結(jié):對(duì)于某些恒等式證明,形式中含有c o s(α-β)或符合向量的坐標(biāo)運(yùn)算形式,可運(yùn)用向量的數(shù)量積定義和向量坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明。

二、利用向量證明不等式

小結(jié):當(dāng)求解問(wèn)題中含有乘積或乘方時(shí),可巧妙地利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,構(gòu)造向量解之。

三、利用向量求值

小結(jié):對(duì)于求值問(wèn)題,可巧妙地運(yùn)用向量的數(shù)量積定義,構(gòu)造等量關(guān)系求解。

四、利用向量求函數(shù)值域

小結(jié):巧妙構(gòu)造向量,可以解決條件最值問(wèn)題,特別是某些含有乘方之和或乘積之和的條件最值問(wèn)題,用向量證明更有獨(dú)特之處