LMI優(yōu)化算法在陸地自主車控制系統(tǒng)中的應(yīng)用

周振華，王茂，楊博媛

1.常州輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣工程與技術(shù)學(xué)院，江蘇 常州 213164 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間控制與慣性技術(shù)研究中心，黑龍江 哈爾濱 150001

陸地自主車的基礎(chǔ)模型就是一種室內(nèi)作業(yè)機(jī)器人，由于其在軍事領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用正受到學(xué)者們的普遍關(guān)注[1]。以陸地自主車為載體，在其基礎(chǔ)上匹配各種先進(jìn)監(jiān)控技術(shù)并應(yīng)用于復(fù)雜環(huán)境是目前大多數(shù)領(lǐng)域應(yīng)用的模式，如何對其實(shí)施簡單有效且方便執(zhí)行的控制策略是研究和推廣的關(guān)鍵[2]。陸地自主車典型的數(shù)學(xué)模型就是一類參數(shù)不確定廣義分段仿射系統(tǒng)，按照不同運(yùn)行速度將整個大系統(tǒng)區(qū)分為若干個帶仿射項(xiàng)的子系統(tǒng)，并在每一個子系統(tǒng)之間反復(fù)切換。目前，廣義系統(tǒng)魯棒控制問題已成為廣大學(xué)者研究的熱點(diǎn)之一，在傳統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)問題上考慮非脆弱性能引入的相關(guān)研究也取得了一些進(jìn)展[3-5]，所涉及的控制系統(tǒng)大多體現(xiàn)為離散時間系統(tǒng)，控制策略的設(shè)計(jì)方法大多采用分段Lyapunov函數(shù)法，在此基礎(chǔ)上結(jié)合相應(yīng)線性矩陣不等式的處理方法[6-9]。然而，在連續(xù)時間系統(tǒng)領(lǐng)域考慮時滯環(huán)節(jié)與非脆弱環(huán)節(jié)并存的魯棒控制設(shè)計(jì)方法卻未見報(bào)道。

本文主要研究內(nèi)容圍繞分段Lyapunov函數(shù)、投影定理以及幾個基本引理展開，在先前研究的基礎(chǔ)上引入非脆弱H-infinite保性能控制設(shè)計(jì)方法，對連續(xù)時間陸地自主車系統(tǒng)設(shè)計(jì)一種同時滿足魯棒H-infinite和二次型性能指標(biāo)的控制策略。最終，通過MATLAB仿真給出所提方法的有效性。

1 數(shù)學(xué)建模

陸地自主車的簡化數(shù)學(xué)模型如圖1所示，xzy用來表示地理直角坐標(biāo)系，xBoyB用來表示車體體位直角坐標(biāo)系，ψ則用來表示車體行進(jìn)的實(shí)時方向與實(shí)地物理坐標(biāo)系x軸方向的夾角，一般也稱方向角[10]。

圖1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

在數(shù)學(xué)建模過程之前，假定車體前進(jìn)方向就是本身的運(yùn)動方向，且用恒量u0表示，將自主車所受z方向的力矩T作為系統(tǒng)輸入，一段時間以后，對整個系統(tǒng)實(shí)施魯棒控制的最終目的在于保持恒速u0前進(jìn)的前提下，使得：y=0,ψ=0，此時可以列出如下方程：

(1)

其中各物理量的具體含義如表1所示。

表1 各物理量的具體含義

表2 不同區(qū)域取值范圍

利用泰勒公式將sinψ展開，忽略最高次項(xiàng)并整理為線性形式得

sinψ≈sinψi+cosψi(ψ-ψi),i=1,2,…,5

則式(1)可以進(jìn)一步改寫為式(2)：

(2)

式中：ψ∈Xi,i=1,2,…,5，對應(yīng)5個不同的工作點(diǎn)，取值分別為-2π/5、-2π/15、0、2π/15、2π/5。

取I=1 kgm2,k=0.01,u0=1 m/s,u=T為系統(tǒng)輸入，系統(tǒng)的狀態(tài)向量分別為角加速度、車體方向角、y方向的位移以及方向角速度，各狀態(tài)向量之間的關(guān)系如式(3)所示：

(3)

通過建立系統(tǒng)各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，同時考慮系統(tǒng)時滯τ(t)帶來的影響，可以得到在廣義系統(tǒng)表述形式下的陸地自主車數(shù)學(xué)模型，如式(4)所示：

(4)

(5)

式中：Wi1、Ei1、Ei2和Ei3是預(yù)先指定的定常實(shí)數(shù)矩陣，Δi(t):Z+→Rs1×s2是一個未知的實(shí)值時變矩陣函數(shù)，并且包含Lebesgue可測量元素，具體如式(6)。

ΔiT(t)Δi(t)≤Is2

(6)

如果式(5)和式(6)同時成立，則稱系統(tǒng)具有容許的參數(shù)不確定性。

2 預(yù)備知識

2.1 狀態(tài)空間區(qū)域劃分

在仿射子系統(tǒng)中，線性化處理區(qū)間可描述為多面體區(qū)域的橢圓集合，其中Fi=2Ci/(βi-αi)，fi=-(βi+αi)/(βi-αi)；εi=x‖F(xiàn)ix+fi‖≤1，其中，i∈I。

對于每個橢圓區(qū)域，可以得到

(7)

因此，狀態(tài)空間可以分為兩大類區(qū)域I=I0∪I1，I0代表包含原點(diǎn)的fiTfi≤x(t)THx(t)，I1則代表其余的索引集合區(qū)域。

2.2 基本引理

定義1[11]考慮參數(shù)不確定體現(xiàn)為范數(shù)有界形式的離散廣義分段仿射系統(tǒng)(1)，其中u(t)=0：

1)如果存在z∈C使得det(zE-Ai)≠0，則稱廣義系統(tǒng)(1)是正則的，i∈I。

2)如果deg(det(zE-Ai))=rank(E),i∈I，則稱系統(tǒng)(1)是因果廣義系統(tǒng)。

3)用λ(E,Ai)表示離散廣義系統(tǒng)(1)的所有特征根，如果λ(E,Ai)?Dint(0,1)，則稱式(1)是穩(wěn)定的廣義系統(tǒng)。

4)如果稱廣義系統(tǒng)(1)是容許的，則系統(tǒng)(1)必定正則、因果，而且是穩(wěn)定的。

5)用ν1表示矩陣束(E,Ai)的一階向量，且非零向量ν1滿足Eν1=0，對于滿足Eνk=Aivk-1的非零特征向量νk(k≥2)，則稱為矩陣束(E,Ai)的k階特征向量。

定義2 本文所設(shè)計(jì)魯棒H-infinite非脆弱狀態(tài)反饋控制器：

式中：Ki∈Rnu×nx是控制器的增益矩陣；ΔKi(t)是控制器中的不確定項(xiàng)，ΔKi(t)=MKFK(t)NK；MK、NK是已知的適當(dāng)維數(shù)線性矩陣，并且FK(t)TFK(t)≤I。

引理1 對于適當(dāng)維數(shù)實(shí)矩陣M=MT、S、N和Δ(t)，若滿足ΔT(t)Δ(t)≤I，則當(dāng)且僅當(dāng)存在某個標(biāo)量ε>0時：M+SΔ(t)N+NTΔT(t)ST<0等價于M+εSST+ε-1NTN<0。

引理2 定義θ的矩陣函數(shù)R1(θ)、R2(θ)和R3(θ)，如下線性矩陣不等式LMI：

在不同的情況下等價于以下2個不等式：

3 主要結(jié)果

對于分段仿射系統(tǒng)(4)，考慮性能指標(biāo)：

(8)

本文所考慮彈性狀態(tài)反饋控制器由定義2給出，由此彈性控制器和連續(xù)廣義分段仿射系統(tǒng)(4)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)可以描述如下：

(9)

定理對于所提彈性控制器，如果存在對稱正定矩陣0

ETPiE≥0

(10)

(11)

i∈I0,(i,j)∈Ω

(12)

i∈I1,(i,j)∈Ω

證明在這里，采用的李雅普諾夫函數(shù)是定義在連續(xù)時間范疇內(nèi)的，具體廣義分段仿射李雅普諾夫函數(shù)形式表示如下：

設(shè)計(jì)控制策略的目的在于另閉環(huán)系統(tǒng)式(9)是容許的，根據(jù)連續(xù)時滯廣義分段仿射李雅普諾夫函數(shù)的形式，只需要保證不等式(13)成立。在這一過程中，對李雅普諾夫函數(shù)式兩邊沿閉環(huán)系統(tǒng)式(9)同時進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)一步得到式(13)：

xT(t)Piπ+πT(-εij-1I)π<0

(13)

進(jìn)一步，為保證閉環(huán)系統(tǒng)式(9)即是容許的又滿足魯棒性能指標(biāo)γ，另不等式(14)成立：

(14)

根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)式(9)中z(t)=Li(t)x(t)，則不等式(14)進(jìn)一步可以寫成如下形式：

xT(t)11x(t)+2πTPix(t)+xT(t)Piπ-wT(t)w(t)+

πT(-εij-1I)π+γ-2zT(t)z(t)+wT(t)DiTDiw(t)<0

其中：

?+

不等式(14)可進(jìn)一步改寫為如下形式，其中(i,j)∈Ω：

可以得到：

Ai(t)TPiAi(t)-ETPiE<0

(15)

這里，進(jìn)一步假定矩陣束(E,Ai(t))為非因果的。用一階特征向量ν1和它的Hermitian矩陣ν1*分別左乘和右乘式(15)。用文獻(xiàn)[10]的方法，證明因果性的同時也證明了矩陣束(E,Ai(t))的正則性。

進(jìn)一步將式(14)等同為如下形式：

其中：Λ=DiT(t)-I。

考慮系統(tǒng)性能指標(biāo)(8)，為了使閉環(huán)系統(tǒng)(9)同時滿足魯棒性能指標(biāo)和二次型性能指標(biāo)，只需要令如下不等式成立即可：

xT(t)Qx(t)+u(t)TRu(t)≤0

其中：u(t)=(Ki+ΔKi(t))x(t)，進(jìn)而得到如下不等式：

應(yīng)用引理2，可以得到如下不等式：

其中：

再次應(yīng)用引理2，可以得到如下不等式：

證畢。

本文定理給出了參數(shù)不確定時滯廣義分段仿射系統(tǒng)式(9)在連續(xù)時間范疇內(nèi)控制器存在的充分條件，將問題轉(zhuǎn)換為MATLAB中LMI工具箱的求解，尋求同時滿足魯棒性能指標(biāo)和二次型性能指標(biāo)的控制器增益。

4 分析仿真

首先，應(yīng)用本文所提定理設(shè)計(jì)陸地自主車分段仿射系統(tǒng)的非脆弱閉環(huán)控制器，證實(shí)本文所提控制方法的有效性，接下來通過對比參考文獻(xiàn)中所提閉環(huán)系統(tǒng)控制方法，證實(shí)本文所提控制方法的優(yōu)越性，給出此類離散廣義分段仿射系統(tǒng)魯棒H-infinite靜態(tài)輸出反饋控制器求取的正確途徑。

給定閉環(huán)控制系統(tǒng)的擾動輸入w(k)=10e-t，利用MATLAB7.0線性矩陣不等式工具箱中的mincx求解器，得到欲尋求的輸出反饋控制器增益矩陣：

K1=9.278 1,K2=6.567 8,K3=7.002 1,

K4=0.213 6,K5=17.731 1

最終，保證此類離散廣義分段仿射系統(tǒng)不僅是漸近穩(wěn)定的，而且同時滿足一定的魯棒H-infinite性能指標(biāo)和二次型性能指標(biāo)：γ=21.425 4。

數(shù)值仿真所給閉環(huán)控制系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖2所示。

圖2 閉環(huán)操作系統(tǒng)響應(yīng)曲線

接下來，將本文所提控制器設(shè)計(jì)方法和文獻(xiàn)[12]中所提算法進(jìn)行對比，定義該陸地自主車中廣義矩陣E=I，此時系統(tǒng)降為正常系統(tǒng)，如式(16)所示。

(16)

考慮系統(tǒng)存在擾動輸入w(k)=10e-t的情況，根據(jù)表3所示將車體行進(jìn)速度取為不同階段的值，利用本文定理和文獻(xiàn)[12]中的結(jié)果分別計(jì)算獲得的最小魯棒H-infinite性能指標(biāo)γ。通過觀察表3中針對不同速度下的性能指標(biāo)，進(jìn)一步證實(shí)本文所提控制策略具有一定的卓越性。

表3 幾種行進(jìn)速度下的H-infinite性能指標(biāo)γ

值得注意的是，當(dāng)車體速度u0≥2 m/s時，文獻(xiàn)[12]中所提算法將無法求得最小魯棒H-infinite性能指標(biāo)γ，即當(dāng)擾動輸入存在時，采用本文所提定理具有更好的魯棒性，可以針對更多情況下的車體行進(jìn)速度找到非脆弱狀態(tài)輸出反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)同時具有魯棒H-infinite性能指標(biāo)γ和二次型性能指標(biāo)。

表4 不同區(qū)域取值范圍

表中ψ∈Χi,i=1,2,3對應(yīng)3個不同的工作點(diǎn)，取值分別為：-2π/15，0，2π/15。

同樣，根據(jù)本文定理以及文獻(xiàn)[12]中所提算法對式(2)在各個線性工作點(diǎn)附近做線性化處理，基于此種方法得到非脆弱反饋控制器，最終在區(qū)域Χ2內(nèi)使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定于平衡點(diǎn)(0,0,0)處，從而達(dá)到控制目的。

考慮系統(tǒng)存在擾動輸入w(k)=10e-t的情況，通過本文定理構(gòu)造閉環(huán)控制器，再利用MATLAB7.0線性矩陣不等式工具箱中的mincx求解器進(jìn)行演算，求得欲尋求的輸出反饋非脆弱控制器增益矩陣：

K1=14.964 5,K2=23.453 5,K3=5.547 8

此時，針對陸地自主車運(yùn)行時的各物理量取為：I=1.5kgm2,k=0.05,u=T為系統(tǒng)輸入。利用本文定理和文獻(xiàn)[12]中的結(jié)果分別計(jì)算獲得的最小魯棒H-infinite性能指標(biāo)γ，使得由非脆弱狀態(tài)輸出反饋控制器構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)同時具有魯棒H-infinite性能指標(biāo)γ和二次型性能指標(biāo)，2個閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線由圖3、4給出。

圖3 閉環(huán)操作系統(tǒng)響應(yīng)曲線(根據(jù)本文所提定理所得)

圖4 閉環(huán)操作系統(tǒng)響應(yīng)曲線(根據(jù)參考文獻(xiàn)所得)

對仿真過程所得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析比較可以看出，基于本文所提出方法設(shè)計(jì)的非脆弱保性能控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)(9)漸近穩(wěn)定，H-infinite擾動抑制度γ=86.900 2，且存在一個性能上界J<6.754 7，滿足欲達(dá)到的設(shè)控制目的。另一方面，根據(jù)文獻(xiàn)[12]中所提算法設(shè)計(jì)的控制器同樣使得閉環(huán)系統(tǒng)(9)漸近穩(wěn)定，同時得到閉環(huán)系統(tǒng)的H-infinite干擾抑制度γ=17.095 4。

將圖3、4所示結(jié)果進(jìn)行對比，不難得出如下結(jié)論：應(yīng)用本文所提定理進(jìn)行設(shè)計(jì)的控制器由于考慮了閉環(huán)系統(tǒng)二次D-穩(wěn)定性，對比閉環(huán)系統(tǒng)魯棒H-infinite性能指標(biāo)與文獻(xiàn)[12]中所提算法得到的控制器的相同性能指標(biāo)，結(jié)果有一定的下降，即在相同初始條件下，閉環(huán)控制系統(tǒng)(9)在考慮二次D-穩(wěn)定性的同時使得系統(tǒng)魯棒性能有一定幅度的下降[13]。

通過圖3、4呈現(xiàn)出來的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線，不難得出如下結(jié)論：隨著系統(tǒng)響應(yīng)時間的不斷疊加，分別有不同的系統(tǒng)表現(xiàn)體現(xiàn)在通過本文定理以及文獻(xiàn)[12]中所提算法得到的2個閉環(huán)控制系統(tǒng)中[14]。從系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間上來看，本文所提定理由于考慮系統(tǒng)二次D-穩(wěn)定性，導(dǎo)致圖3中曲線首次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值時所用的調(diào)節(jié)時間更多，這表明基于文獻(xiàn)[12]中所提算法搭建的控制系統(tǒng)在調(diào)節(jié)速度上更加優(yōu)秀；將狀態(tài)曲線第1次達(dá)到波峰的2個時間做比較，狀態(tài)曲線在圖3中表現(xiàn)出良好的上升勢頭，并且2個波峰之間的時間間隔更短，2個最大值的絕對值之比在穩(wěn)態(tài)時大約為3∶1，這也說明圖3中系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線不僅具備足夠的穩(wěn)定裕度，還具有更合理的衰減比；隨著系統(tǒng)時間再次疊加且經(jīng)歷過渡過程后，圖3、4中曲線最終所達(dá)到的新穩(wěn)態(tài)值與預(yù)先期望值之間的誤差都保持在相對小的范圍內(nèi)，這充分說明無論是本文定理還是文獻(xiàn)[12]中所提算法都可以構(gòu)造較好調(diào)節(jié)精度的閉環(huán)控制系統(tǒng)；另外，在控制系統(tǒng)超調(diào)量指標(biāo)上，圖3中系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線明顯優(yōu)于圖4中曲線，且擁有更小的最大余差值。至于圖3、4中狀態(tài)響應(yīng)曲線的振蕩周期和頻率方面，圖3中的響應(yīng)曲線略有優(yōu)勢[15]。

5 結(jié)論

本文在對陸地自主車系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)上，將其歸納為一類廣義時滯系統(tǒng)，且考慮該系統(tǒng)具有范數(shù)有界形式的參數(shù)不確定性。在數(shù)值仿真證實(shí)所提方法有效性的基礎(chǔ)上，得到以下結(jié)論：

1)考慮擾動的此類時滯系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性可以通過求解一組包含參變量的LMIs得到，且系統(tǒng)具有較低的保守性。

2)在求解該類線性矩陣不等式的過程中，采用廣義分段仿射Lyapunov函數(shù)、投影定理以及基本引理相結(jié)合的方式是可行且有效的。

3)將運(yùn)用線性矩陣不等式LMI算法求取魯棒H-infinite反饋控制器增益矩陣的思想運(yùn)用到連續(xù)時間廣義系統(tǒng)，具有一定的優(yōu)越性。

4)通過對比以往切換控制算法的實(shí)例，證明所提方法具備一定的有效性和卓越性。在存在未知情況下外部干擾和測量噪聲時，此類系統(tǒng)濾波器的設(shè)計(jì)問題將會成為今后廣大學(xué)者研究的一個熱點(diǎn)，對該類系統(tǒng)閉環(huán)濾波器同時考慮擾動存在的情況也有待于后續(xù)的研究。