帶標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動擾動風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率模擬計算

王 琪， 薛 紅， 陳毛毛

(西安工程大學(xué)理學(xué)院， 西安 710600)

引 言

破產(chǎn)概率是衡量金融風(fēng)險和保險公司經(jīng)營穩(wěn)健性的重要尺度。關(guān)于破產(chǎn)理論的研究起源于由Lundberg和Cramér提出的L-C經(jīng)典風(fēng)險模型[1]。文獻(xiàn)[2]討論了經(jīng)典風(fēng)險模型最終破產(chǎn)概率的解析表達(dá)式，因有限時破產(chǎn)概率并沒有具體的計算公式，文獻(xiàn)[3]利用Monte-Carlo方法對經(jīng)典風(fēng)險模型在有限時間內(nèi)的破產(chǎn)概率值進(jìn)行了模擬計算。當(dāng)索賠到達(dá)過程不依賴于獨(dú)立性假設(shè)時，文獻(xiàn)[4]分析了風(fēng)險模型有限時破產(chǎn)概率的漸近性。此外，許多學(xué)者對L-C經(jīng)典風(fēng)險模型做了如下推廣：一方面，在對保險公司的歷史理賠額數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)，相較于輕尾分布而言，重尾分布更適合刻畫實際中的理賠額分布。當(dāng)不考慮風(fēng)險干擾時，唐啟鶴[5]等得到了重尾索賠風(fēng)險模型最終破產(chǎn)概率的一個等價式，文獻(xiàn)[6]討論了當(dāng)重大索賠額服從廣義Pareto分布時的最終破產(chǎn)概率估計值。文獻(xiàn)[7]基于條件泊松過程的空間分析法，討論了路徑依賴重尾索賠風(fēng)險模型的漸近有限時間破產(chǎn)概率。另一方面，由于現(xiàn)實中存在著投資收益和通貨膨脹等干擾因素，故加入擾動項的風(fēng)險模型會更貼合實際，Gerber在文獻(xiàn)[8]中首次用標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動來刻畫風(fēng)險干擾，并將其引入經(jīng)典風(fēng)險模型。當(dāng)索賠額序列服從指數(shù)分布，理賠次數(shù)服從Poisson過程時，文獻(xiàn)[9]討論了帶標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動擾動風(fēng)險模型的最終破產(chǎn)概率表達(dá)式，文獻(xiàn)[10]用鞍點(diǎn)法分析了最終破產(chǎn)概率的上下界。

當(dāng)索賠額序列服從重尾分布時，帶標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動擾動風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率沒有解析表達(dá)式，故本文提出了一種有效的帶標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動擾動風(fēng)險模型盈余軌道的模擬程序，運(yùn)用MATLAB R2016a軟件對帶標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動擾動風(fēng)險模型在有限時間內(nèi)的破產(chǎn)概率進(jìn)行Monte-Carlo模擬計算。并綜合考慮小額索賠、辦公用品、傭金等其他營業(yè)支出以及風(fēng)險干擾等影響因素，結(jié)合保險公司實際數(shù)據(jù)，對該公司在有限時間內(nèi)的破產(chǎn)概率進(jìn)行了數(shù)值模擬計算，以期計算結(jié)果更加符合實際。

1 風(fēng)險模型及破產(chǎn)概率模擬計算

1.1 經(jīng)典風(fēng)險模型

經(jīng)典風(fēng)險模型中，保險人在t時刻的盈余過程為[11]

(1)

其中：u是初始盈余，c為保費(fèi)率即單位時間內(nèi)的保費(fèi)收入。{Xi,i≥1}是第i次理賠額，具有同分布A且均值為μA。{N(t),t≥0}服從參數(shù)為λ的Poisson過程，表示[0,t]內(nèi)的理賠次數(shù)。

(2)

在風(fēng)險模型中，若索賠額序列{Xi,i≥1}服從廣義Pareto分布，索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}服從均值為μB的指數(shù)分布，最終破產(chǎn)概率的漸近結(jié)果如定理2所述。

定理2[6]假設(shè)索賠額{Xi,i≥1}是一列非負(fù)的上廣義負(fù)相依序列，具有共同分布A和有限均值μA；索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}是一列廣義負(fù)相依序列，具有共同分布和有限均值μB；并且索賠額序列{Xi,i≥1}與索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}相互獨(dú)立。若索賠額分布A屬于重尾分布族中的控制變換尾分布族，同時安全負(fù)荷條件即κ=cμB-μA>0成立，則最終破產(chǎn)概率滿足如下漸近結(jié)果：

(3)

1.2 經(jīng)典風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率模擬計算

當(dāng)索賠額服從重尾分布時，經(jīng)典風(fēng)險模型在有限時間內(nèi)的破產(chǎn)概率沒有明確表達(dá)式。結(jié)合經(jīng)典風(fēng)險模型盈余軌道的模擬程序思想[3]，假設(shè)索賠額序列服從廣義Pareto分布，對有限時間內(nèi)破產(chǎn)概率值進(jìn)行Monte-Carlo模擬計算。步驟如下：

①以天為單位，選取研究的時間總長度T，將時間區(qū)間[0,T]平均等分為n份，s=T/n為每一時間區(qū)間的長度。記m為發(fā)生破產(chǎn)的次數(shù)。

②確定初始盈余值u，單位時間內(nèi)的保費(fèi)收入c。

⑤重復(fù)第③步至第④步，利用MATLAB軟件總共進(jìn)行M次模擬。

⑥用m除以M可得到破產(chǎn)概率模擬值p。

例1對風(fēng)險模型的參數(shù)及分布作如下假設(shè)：

(i) 以天為單位，初始盈余u=20，單位時間的保費(fèi)收入c=5。

(ii) 索賠額序列{Xi,i≥1}服從參數(shù)為k1=0.0016,σ1=14.7580的廣義Pareto分布F(x)=1-(1+kx/σ)-1/k，均值μA=15。

(iii)理賠次數(shù){N(t),t≥0}服從參數(shù)為λ=1/5的 Poisson 過程，即索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}服從均值為μB=5的指數(shù)分布。

取小時間區(qū)間的長度s=0.1天，總時間長度T=1年，模擬盈余軌道如圖1所示。

圖1 經(jīng)曲風(fēng)險模型盈余軌道模擬圖

取s=0.001年，改變T的取值，分別用MATLAB軟件進(jìn)行M=104次模擬，可得有限期內(nèi)的破產(chǎn)概率模擬值，見表1。

表1 有限時間破產(chǎn)概率模擬值(重尾索賠)

根據(jù)例1中的假設(shè)，由式(3)計算得到最終破產(chǎn)概率值p1=0.3826。由表1可知，隨年限增長，破產(chǎn)概率模擬數(shù)值逐漸接近于最終破產(chǎn)概率p1，表明數(shù)值模擬計算合理有效。

1.3 帶標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動擾動風(fēng)險模型

由于現(xiàn)實中存在著投資收益和通貨膨脹等各種隨機(jī)干擾因素，故加入擾動項的風(fēng)險模型會更切合實際，Gerber[8]用標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動來刻畫風(fēng)險干擾，并將其引入經(jīng)典風(fēng)險模型，盈余過程為

(4)

其中：σ>0為波動常數(shù)，{B(t),t≥0}是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動，其余符號意義同經(jīng)典風(fēng)險模型，該模型也稱為跳-擴(kuò)散風(fēng)險模型。

若理賠次數(shù)服從參數(shù)為λ的Poisson過程，索賠額序列{Xi,i≥1}獨(dú)立同分布于均值為μA的指數(shù)分布A(x)，彭勤文[9]利用鞅論中的收斂定理得到帶擴(kuò)散擾動風(fēng)險模型的最終破產(chǎn)概率表達(dá)式。

定義1[12]設(shè)MX(r)為索賠額序列的矩母函數(shù)，則

定理3[9]當(dāng)σ≠0時，帶標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動擾動風(fēng)險模型的最終破產(chǎn)概率為

Ψ3(u)=(1+RμA)e-Ru

(5)

1.4 帶標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動擾動風(fēng)險模型的破產(chǎn)概率模擬計算

基于1.2節(jié)，本文設(shè)計了一種模擬帶標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動擾動風(fēng)險模型盈余軌道的程序思想，并結(jié)合Monte-Carlo方法，對風(fēng)險模型在有限時間內(nèi)的破產(chǎn)概率進(jìn)行了模擬計算。步驟如下：

①選取研究的時間總長度T。將[0,T]等分為n等份，每一小區(qū)間長度為s. 則共有n+1個區(qū)間端點(diǎn)，記為{0,s,2s,…,ns}. 記m為發(fā)生破產(chǎn)的次數(shù)。

②確定初始盈余值U(0)=u，單位時間內(nèi)保費(fèi)收入c，波動常數(shù)σ的取值。

③由指數(shù)分布生成索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}，并記錄下索賠發(fā)生的時刻{τk,k≥1}。之后，生成服從A分布的索賠額序列{Xi,i=1,…,j}。再生成標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動隨機(jī)數(shù)序列{Bhs,h=0,1,2,…,n}，它是獨(dú)立的正態(tài)過程，且滿足{B(h+1)s-Bhs}～N(0,s)。

④計算每一小時間區(qū)間[hs,(h+1)s]右端點(diǎn)時刻的盈余值，記為序列{Uh+1},(h=0,1,…,n-1)。若τk∈[hs,(h+1)s]，即在時間區(qū)間[hs,(h+1)s]上發(fā)生了額度為Xk的索賠，則不僅在右端點(diǎn)處加入擴(kuò)散擾動項σ·B(h+1)s，同時也要減去索賠額Xk，計算公式為Uh+1=Uh+c·s+σ·B(h+1)s-Xk；若未發(fā)生索賠，則僅在右端點(diǎn)處加入擾動項即可，計算公式修改為Uh+1=Uh+c·s+σ·B(h+1)s。若Uh+1<0，則終止本次計算，破產(chǎn)次數(shù)m加1。否則繼續(xù)計算下一區(qū)間右端點(diǎn)時刻的盈余值。

⑤重復(fù)第③步至第④步，利用MATLAB軟件進(jìn)行M次模擬。

⑥用m除以M可得到破產(chǎn)概率模擬值p。

例2對風(fēng)險模型(4)的參數(shù)作如下假設(shè)：

(i) 以天為單位，初始盈余u=20，單位時間的保費(fèi)收入c=5。

(ii) 索賠額序列{Xi,i≥1}獨(dú)立同分布于均值為μA=15的指數(shù)分布。

(iii)理賠次數(shù){N(t),t≥0}服從參數(shù)為λ=1/5的 Poisson 過程，即索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}服從均值為μB=5的指數(shù)分布。

(iv) 取波動常數(shù)σ=15。

取小時間區(qū)間的長度s=0.1天，T=1年，盈余過程樣本軌道如圖2所示。

圖2 帶標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動擾動風(fēng)險模型盈余軌道模擬圖

對于不同參數(shù)σ，由式(5)可計算得到帶標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動擾動風(fēng)險模型的最終破產(chǎn)概率值。分別進(jìn)行M=106次模擬，利用Monte-Carlo方法模擬計算5年內(nèi)的破產(chǎn)概率值，見表2。

表2 帶標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動擾動風(fēng)險模型破產(chǎn)概率模擬值

由表2知：(1)有限時間破產(chǎn)概率模擬值接近于最終破產(chǎn)概率值，證明了程序的合理有效性。(2)不同σ的取值對有限時間破產(chǎn)概率模擬數(shù)值及最終破產(chǎn)概率值都存在顯著影響。

2 實證分析

2.1 模型選取

考慮保險公司辦公用品、傭金等其他營業(yè)支出對破產(chǎn)概率值的影響，用帶漂移項的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動刻畫其他營業(yè)支出及風(fēng)險干擾，記為W(t)=-μt+σB(t)～N(-μt,σ2t),t≥0。其中非負(fù)常數(shù)μ表示單位時間的其他營業(yè)平均支出，其余符號意義同模型(4)。盈余過程可整合寫為如下形式：

(6)

2.2 數(shù)據(jù)選取

中國太平洋財產(chǎn)保險股份有限公司(簡稱太平洋財險)成立于2001年11月，注冊資本為95億元。通過《中國保險年鑒2015》[13]和《中國保險年鑒2016》[14]，可得表3和表4中的數(shù)據(jù)信息(數(shù)額單位：百萬元，時間間隔單位：天)。

表3 太平洋財險2014年和2015年基本數(shù)據(jù)信

表4 太平洋財險2014年和2015年重大索賠數(shù)據(jù)

2.3 模型的參數(shù)估計及分布檢驗

(2) 結(jié)合表4中的數(shù)據(jù)，運(yùn)用MATLAB R2016a、SPSS 16.0軟件進(jìn)行分析，確定索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}和索賠額序列{Xi,i≥1}所服從的分布。

假設(shè)索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}服從指數(shù)分布，運(yùn)用SPSS 16.0軟件進(jìn)行參數(shù)估計，并通過單樣本K-S檢驗來驗證這一假設(shè)，如圖3所示。此檢驗在顯著性水平α=0.05下進(jìn)行，圖3表明漸近顯著性(雙側(cè))值大于α，不能拒絕原假設(shè)，即{W(t),t≥0}服從均值為μB=9.0886的指數(shù)分布。

圖3 指數(shù)分布K-S檢驗

圖4 QQ圖擬合效果

(3) 分別取表3中的2014年初和2015年初的盈余值為初始值，對一年后的盈余值即2014年底和2015年底的盈余值進(jìn)行計算，相比表3中的真實值U11和U21仍存在偏差，見表5。

表5 太平洋財險2014年和2015年年末盈余值

用擴(kuò)散擾動項來刻畫偏差則εi～N(0,σ2t)，研究期限為一年，即t=365d。根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計中正態(tài)總體方差估計方法[15-16]，參數(shù)σ的估計式

(7)

2.4 有限時間內(nèi)破產(chǎn)概率模擬計算

取太平洋財險在2015年年底的總資產(chǎn)為初始盈余即U0=125 011.21百萬元，結(jié)合2.3節(jié)中的參數(shù)估計值，取總時間長度T=5年，時間小區(qū)間長度s=0.1天，利用MATLAB軟件對該公司在2020年底的破產(chǎn)概率進(jìn)行Monte-Carlo模擬計算，結(jié)果見表6。

表6 太平洋財險在2020年底的破產(chǎn)概率模擬值

3 結(jié)束語

由于帶標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動擾動的重尾索賠風(fēng)險模型在有限時間內(nèi)的破產(chǎn)概率及最終破產(chǎn)概率都沒有解析表達(dá)式，本文針對這一問題提出了一種模擬帶標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動擾動風(fēng)險模型盈余軌道的有效程序。并結(jié)合太平洋財產(chǎn)保險公司實際數(shù)據(jù)，進(jìn)一步考慮其他營業(yè)支出及風(fēng)險干擾兩大影響因素，利用Monte-Carlo方法對該公司在有限時間內(nèi)的破產(chǎn)概率進(jìn)行了數(shù)值模擬計算，使得計算結(jié)果更加切合實際。